漢陽一中、江夏一中、洪山高中2024-2025學(xué)年度下學(xué)期2月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標(biāo)為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先把拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程再求出焦點坐標(biāo)即可.詳解】由拋物線可得，可得焦點坐標(biāo)為.故選：D.2.已知直線與平行，則（）A.或3 B.0或3 C.0或 D.或0或3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行的條件，列式計算并驗證得解.【詳解】由直線與平行，得，解得或或，當(dāng)時，兩直線重合，不符合題意；或符合題意，所以或.故選：B3.記為等比數(shù)列的前項和，若，則（）A.63 B.64 C.127 D.128【答案】C【解析】【分析】利用基本量法可求首項和公式，再利用求和公式可求.【詳解】由條件可知，的公比，由題意得，，解得，所以．故選：C.4.已知直線與雙曲線相交于、兩個不同點，點是的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點差法可求得，結(jié)合可得出雙曲線的離心率的值.【詳解】設(shè)點、，由題意可得，因為點是的中點，則，因為，這兩個等式作差可得，所以，，因此，雙曲線的離心率為.故選：D.5.如圖，已知平行四邊形，，且，沿對角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時，則A與C之間距離為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的線性運算及數(shù)量積公式計算模長即可.【詳解】已知平行四邊形，，且，，，平面與平面所成角的余弦值為，，，，，則，即與之間距離為，故選：C．6.已知數(shù)列的通項公式為，則當(dāng)取得最小值時，（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用作商法判斷數(shù)列單調(diào)性，得出數(shù)列的最小值即可得解.【詳解】由，則，令，則，由，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，又，，所以，即為數(shù)列的最小值，故當(dāng)取得最小值時，.故選：B7.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一個動點，若，則動點在（）A.直線上 B.圓上 C.拋物線上 D.橢圓上【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知將化為，在底面內(nèi)構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求動點軌跡.【詳解】由，由平面，平面，則，所以，底面是邊長為的正方形，在平面內(nèi)構(gòu)建如下圖示的直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，即動點在圓上.故選：B8.定義：，兩點間的“M距離”為把到兩定點，的“距離”之和為常數(shù)的點的軌跡叫“橢圓”，則“橢圓”的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接法求出曲線方程，通過其對稱性質(zhì)先研究它在第一象限的特征，進而得到整個圖形特征，求得其面積.【詳解】設(shè)，則“橢圓”方程是，即，將換為可得，即，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱；將換為可得，即，所以“橢圓”關(guān)于軸對稱；將換為，換為可得，即，所以“橢圓”關(guān)于原點對稱；研究“橢圓”在第一象限圖象，當(dāng)時方程為，是一條線段，端點坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時方程為，表示一條線段，端點坐標(biāo)分別為，，結(jié)合曲線的對稱性，“橢圓”大致圖象如圖：四邊形是直角梯形，上底長為，下底長為，高為，所以梯形面積為，所以“橢圓”面積為故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出“橢圓”的方程，結(jié)合其對稱性，只需分析在第一象限部分的情形.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若方程，所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（）A.曲線C可以表示圓 B.若曲線C是橢圓，則C.曲線C不可能表示直線 D.若，則C為雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)時，化簡方程可判斷出正確；曲線是橢圓，則，解出可判斷不正確；由，，，可判斷出正確；若，則，可判斷出正確．【詳解】當(dāng)時，方程，化為，表示圓，所以正確；曲線是橢圓，則，解得，所以不正確；由，，，所以曲線不可能表示直線，所以正確；若，則，為雙曲線，所以正確；故選：ACD10.已知直三棱柱中，，點為的中點，則下列說法正確的是（）A.B.平面C.異面直線與所成的角的余弦值為D.直三棱柱的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計算的坐標(biāo)和的坐標(biāo)即可判斷A，計算平面的法向量，計算即可判斷B，由分別計算即可判斷C，對于D先計算出外接球的半徑，根據(jù)球的表面積公式即可判斷D.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.對于A：，所以，故A正確；對于B：，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；對于C：，則，所以，即異面直線與所成的角的余弦值為，故C錯誤；對于D：因為，直三棱柱的外接球的半徑為，則有，所以直三棱柱的外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.11.（多選）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A，只需要依次對賦值計算即得；對于B，先推理得到，由得，從而得數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，由通項公式計算即得；對于C，利用錯位相減法求和即得；對于D，根據(jù)條件將分成奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和，利用C項結(jié)論和等比數(shù)列的求和公式計算即得.【詳解】對于A，由，因，可得，，故A正確；對于B，當(dāng)時，（*），因，則，故由（*）可得，則，即數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，則有，可得，故B正確；對于C，由，可得，上面兩式相減可得，可得，故C錯誤；對于D，由，，可得：，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線與直線有公共點，則k的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】通過化簡知曲線是圓心為，半徑為的上半圓，再借助數(shù)形結(jié)合的方法，利用直線與半圓相切時直線的斜率可得結(jié)果.【詳解】直線過定點，由得，故曲線是圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示：

當(dāng)直線與半圓相切時，設(shè)切線傾斜角為，，則，∴切線的斜率，所以曲線與直線有公共點，則k的取值范圍是.故答案：.13.設(shè)是數(shù)列的前項和，且，則__________.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)再化簡得出，即可求出通項公式再計算即可求值.【詳解】因為，左右同時乘以，則，又因為，所以是以1為首項以1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.14.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長軸長為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，過切點E，F(xiàn)作出雙球模型的軸截面，利用圓的切線性質(zhì)及橢圓的定義求解作答.【詳解】過切點E，F(xiàn)作出雙球模型軸截面，設(shè)球分別與圓錐的同一條母線切于A，B兩點，有，過作于點C，則四邊形是矩形，于是，，又，從而，設(shè)直線AB與平面的交點為P，則有，，所以橢圓的長軸長.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓A經(jīng)過兩點，，且圓心A在直線上.（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點且與圓A相切的直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）判斷直線符合題意，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)出切線的方程，利用點到直線的距離公式來求得正確答案.【小問1詳解】設(shè)圓心為，半徑為r，由，得，得，點A的坐標(biāo)為，圓半徑，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】畫出圓的圖象如下圖所示，由圖可知，直線過點，且與圓相切，當(dāng)過點與圓相切的直線斜率存在時，設(shè)切線方程為，到直線的距離，解得，所以切線方程為.綜上所述，切線方程為或.16.記為數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）若，求整數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用構(gòu)造法以及整體代換思想可得是以為首項、為公比的等比數(shù)列，從而得出結(jié)論；（2）利用分組求和法以及等比數(shù)列的前n項和求解即可.【小問1詳解】已知，，，是以為首項、為公比的等比數(shù)列，．【小問2詳解】由（1）可知，，，，；由，可得，為整數(shù)，的最小值為2026．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面，點在棱PB上，且平面ACE.（1）求證：為PB的中點；（2）求平面ACE與平面ACD夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接BD交AC于點，連接EF，由平面，得到，再由為BD的中點證明；（2）先證明OF，OC，OP兩兩垂直，再以為坐標(biāo)原點，OF，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ACE的法向量為，易知是平面ACD的一個法向量，由求解.【小問1詳解】證明：連接BD交AC于點，連接EF，因為底面ABCD是矩形，所以為BD的中點，因為平面平面PBD，平面平面，所以，又因為為BD的中點，所以為PB的中點.【小問2詳解】解：取CD的中點，連接PO，F(xiàn)O，因為底面ABCD為矩形，所以，因為為CD的中點，所以，，所以，又因為平面平面ABCD，平面平面平面，所以平面ABCD，所以，所以O(shè)F，OC，OP兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點，OF，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得，，則，由上可知為平面ACD的一個法向量，設(shè)平面ACE的法向量為，則令，則，所以，所以，所以平面ACE與平面ACD夾角的正弦值為.18.已知橢圓：上的點到焦點距離最短為，到焦點距離最長為．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于，兩點，且橢圓的左、右焦點分別為，，，的面積分別為，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，進而解出，求得，進而求解即可；（2）當(dāng)直線的斜率不存在，可得，當(dāng)直線的斜率存在時，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達定理以及三角形面積公式表示出，進而結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】由題意，，解得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，，當(dāng)直線的斜率不存在時，，則；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以，，由于異號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為．綜上所述，的最大值為．19.已知拋物線（為正整數(shù)），為直線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，記點的縱坐標(biāo)分別為（其中）．（1）證明：成等差數(shù)列；（2）若，記等差數(shù)列的公差為．（i）用和表示；（ii）初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支．初等數(shù)論中有如下定理：若兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)為1，且這兩個正整數(shù)的乘積是某個正整數(shù)的平方，則這兩個正整數(shù)都為完全平方數(shù)．請用該定理證明下面的問題：若為正奇數(shù)，為正整數(shù)，且這三個數(shù)兩兩之間的最大公約數(shù)都為1，證明：一定可以表示為某兩個正整數(shù)的平方之和．【答案】（1）證明見解析（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理以及中點坐標(biāo)公式即可求得之間的關(guān)系；（2）（i）由第一問的結(jié)論結(jié)合兩點間的距離公式可以得到關(guān)系式；（ii）由已知條件的信息，通過證明來說明.【小問1詳解】由題意有，點，設(shè)直線的斜