騰沖市第八中學(xué)2024—2025學(xué)年下學(xué)期高二第一次月考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘：滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．本卷為試題卷，考生必須在答題卡上解題作答，答案書(shū)寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效．選擇題作答必須用2B鉛筆填涂．2．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交給監(jiān)考教師．一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知由樣本數(shù)據(jù)組成一個(gè)樣本，可得到回歸直線(xiàn)方程為，且，則樣本點(diǎn)的殘差為（

）A．0.3 B．-0.3 C．1.3 D．-1.32．某校為了豐富課后服務(wù)活動(dòng)，提高學(xué)校辦學(xué)水平和教育質(zhì)量，開(kāi)設(shè)近20門(mén)選修課供學(xué)生自愿選擇.甲、乙2名同學(xué)都對(duì)其中的合唱、足球、籃球、機(jī)器人課程感興趣，若這2名同學(xué)從這4門(mén)課程中各自任選一門(mén)課程參加，則不同的選法有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．16種3．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則成功概率（

）A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.74．甲、乙、丙等6人相約到電影院看電影，恰好買(mǎi)到了六張連號(hào)的電影票．若甲、乙兩人必須相鄰，則不同的坐法共有（

）A．120種 B．240種 C．360種 D．720種5．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，則A． B． C．2 D．6．為促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)游戲：甲、乙兩袋中裝有大小、材質(zhì)均相同的球，其中甲袋中為4個(gè)黑球和6個(gè)白球，乙袋中為3個(gè)黑球和5個(gè)白球.顧客要從甲袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋中，充分混合后，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出1個(gè)球，若從乙袋中取出的球是黑球，則獲得100元消費(fèi)券，否則獲得50元消費(fèi)券.則顧客獲得100元消費(fèi)券的概率為（

）A． B． C． D．7．一個(gè)袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和3個(gè)黑球，若不放回地依次任取兩個(gè)球，設(shè)事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，則在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A． B．1 C．0 D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列結(jié)論不正確的是（

）A．男人、女人中患色盲的頻率分別為0.038，0.006B．男、女患色盲的概率分別為，C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲與性別是有關(guān)的D．不能說(shuō)明患色盲與性別是否有關(guān)10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，線(xiàn)段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．該正方體的外接球體積為B．底面半徑為，高為的圓錐體能夠被整體放入該正方體C．三棱錐的體積為定值D．當(dāng)與重合時(shí)，異面直線(xiàn)與所成的角為11．已知為隨機(jī)事件，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為互斥事件，則 B．若為互斥事件，則C．若相互獨(dú)立，則 D．若，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.13．過(guò)三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.14．同時(shí)拋擲5枚均勻的硬幣160次，設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)1枚正面向上，4枚反面向上的次數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望是.四?解答題：本題共5小題，共77分?解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15．新冠疫情下，為了應(yīng)對(duì)新冠病毒極強(qiáng)的傳染性，每個(gè)人出門(mén)做好口罩防護(hù)工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨(dú)立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級(jí)別，三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過(guò)濾等級(jí)；工序加工質(zhì)量層次均為高時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為100等級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為99.97%)；工序的加工質(zhì)量層次為高，工序至少有一個(gè)質(zhì)量層次為低時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為99等級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為99%)；其余均為95級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為95%)．表①:表示三道工序加工質(zhì)量層次為高的概率；表②:表示加工一個(gè)口罩的利潤(rùn)．表①

工序概率表②口罩等級(jí)100等級(jí)99等級(jí)95等級(jí)利潤(rùn)/元(1)表示一個(gè)口罩的利潤(rùn)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于工廠中工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)環(huán)節(jié)對(duì)工序進(jìn)行升級(jí)．在升級(jí)過(guò)程中，每個(gè)口罩檢測(cè)成本增加了()元時(shí)，相應(yīng)的工序加工層次為高的概率在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了;試問(wèn)：若工廠升級(jí)方案后對(duì)一個(gè)口罩利潤(rùn)的期望有所提高，則與應(yīng)該滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系?16．如圖是我國(guó)2010年至2018年總量（單位：萬(wàn)億元）的折線(xiàn)圖．注：年份代碼1~9分別對(duì)應(yīng)年份2010~2018．(1)由折線(xiàn)圖看出，可用一元線(xiàn)性回歸模型擬合y與年份代碼t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（精確到0.001）；(2)建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并據(jù)此預(yù)測(cè)2022年我國(guó)總量．參考數(shù)據(jù)：，參考公式：相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為17．如圖，在四棱臺(tái)中，平面．底面是平行四邊形，，，連接、，設(shè)交點(diǎn)為，連接．

(1)證明：；(2)若，且二面角大小為60°，求三棱錐外接球的表面積．18．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)求的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；(3)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由．19．已知，函數(shù)，.(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)證明：存在唯一的極值點(diǎn)；(3)若存在，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案題號(hào)12345678910答案ADCBCBDCABDBC題號(hào)11答案BCD1．A【分析】先將中心代入回歸方程求出，將代入回歸方程求得，結(jié)合殘差的定義即可求解.【詳解】由題意知，將點(diǎn)代入，得，所以，將代入，解得，所以樣本點(diǎn)的殘差為.故選：A2．D【分析】根據(jù)題意甲乙兩人均有4種選課方法，應(yīng)用分步乘法即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，甲乙兩人均有4種選課方法，所以2名同學(xué)從這4門(mén)課程中各自任選一門(mén)課程參加的方法有種.故選：D3．C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可得解.【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：，解得.故選：C.4．B【分析】利用相鄰問(wèn)題捆綁法計(jì)算即可.【詳解】由題意可知不同的坐法有.故選：B5．C【分析】根據(jù)三角形面積公式以及正弦定理即可聯(lián)立方程求解.【詳解】由題意得，解得，故選:C．6．B【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率及條件概率公式求出概率，再利用全概率公式計(jì)算即得.【詳解】記顧客獲得100元消費(fèi)券的事件為，從甲袋中取出黑球的事件為，則，，，所以.故選：B7．D【分析】先求各事件概率再利用條件概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率為：.故選：D.8．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由可得：，所以，故選：C9．ABD【分析】根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)，可判定A不正確；根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可判斷B不正確，結(jié)合概率的大小關(guān)系和獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判定C正確，D不正確.【詳解】對(duì)于A中，男人、女人中患色盲的頻率分別為，，故A不正確；對(duì)于B中，，分別為男人、女人中患色盲的頻率，并不是男、女患色盲的概率，故B不正確；對(duì)于C、D中，由男人中患色盲的比例為，女人中患色盲的比例為，可得，又由，所以患色盲與性別是有關(guān)的，故C正確，D不正確．故選：ABD．10．BC【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，求得外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式，可判定A不正確；根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可判定B正確；由正方體性質(zhì)，證得平面，結(jié)合題意公式，求得，可判定C正確；當(dāng)與重合時(shí)，與上底面中心重合，把異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與所成的角，在中，求得，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】記該正方體的外接球半徑為，可得，解得，所以外接球體積為，所以A不正確；將該圓錐的頂點(diǎn)放在正方體上表面中心，底面圓為正方體下表面內(nèi)切圓時(shí)，恰好可以放得下底面半徑為，高為的圓錐體，所以B正確；如圖（1）所示，由正方體性質(zhì)，可得是矩形，且，連接交于點(diǎn)，因?yàn)檎叫?，可得，又由平面，且平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，所以是點(diǎn)到平面的距離，且，所以（定值）所以C正確；

如圖（2）所示，當(dāng)與重合時(shí)，與上底面中心重合，連接與交于點(diǎn)，連接，可得，所以異面直線(xiàn)與所成的角，即為直線(xiàn)與所成的角，在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.

11．BCD【分析】根據(jù)互斥事件性質(zhì)可求得A錯(cuò)誤，B正確，再由相互獨(dú)立事件性質(zhì)可得C正確，利用對(duì)立事件及條件概率公式可得D正確.【詳解】對(duì)于A，若為互斥事件，則，即可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，又為互斥事件，則，又，即B正確；對(duì)于C，若相互獨(dú)立，則,所以，即C正確；對(duì)于D，若，所以；可得，所以，即D正確.故選：BCD12．6【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，第項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)即時(shí)，系數(shù)為有理數(shù)，這樣的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為6，故答案為：613．【分析】首先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再代入3點(diǎn)，即可求解.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得，得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：14．【詳解】試題分析：因拋擲一次，出現(xiàn)一次正面向上，次正面向下的概率為，且枚硬幣出現(xiàn)一次正面向上，次正面向下的概率都相同，而且各次試驗(yàn)中事件是相互獨(dú)立，所以服從二項(xiàng)分布，故其數(shù)學(xué)期望.考點(diǎn)：二項(xiàng)分布及運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以同時(shí)拋擲枚硬幣的實(shí)驗(yàn)為背景，考查的是隨機(jī)變量的概率分布中的二項(xiàng)分布的概率和數(shù)學(xué)期望的求法問(wèn)題.解答時(shí)要先確定該分布為二項(xiàng)分布，然后再選擇運(yùn)用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式進(jìn)行求解.解答本題的難點(diǎn)是如何該事件的概率符合二項(xiàng)分布.本題在解答時(shí)借助題設(shè)中的條件求出的出現(xiàn)一次正面向上，次正面向下的概率為，再結(jié)合各次試驗(yàn)的過(guò)程中概率是獨(dú)立的且概率相同.從而確定該事件的概率分布服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而運(yùn)用公式求出數(shù)學(xué)期望是.15．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)()【分析】（1）由題意可知：的可能取值為，，，分別求出100等級(jí)，99等級(jí)，95等級(jí)的概率，列分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（2）改良后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的可能取值為，，，分別求出改良后100等級(jí)，99等級(jí)，95等級(jí)的概率，求出數(shù)學(xué)期望與比較即可.【詳解】（1）的可能取值為，，，；；；所以的分布列為（2）設(shè)升級(jí)后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，則的可能取值為，，；；；所以，由得，解得，所以與滿(mǎn)足的關(guān)系為().16．(1)答案見(jiàn)詳解；(2)，110.69萬(wàn)億元．【分析】（1）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)從而判斷y與t的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；（2）根據(jù)公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，將代入方程即可求得結(jié)果．【詳解】（1）由題得，

．說(shuō)明y與t的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)，可用一元線(xiàn)性回歸模型擬合．（2），由可得．，所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程將代入得．所以預(yù)測(cè)2022年我國(guó)總量為110.69萬(wàn)億元．17．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，得到，故平面，得到，結(jié)合⊥，得到線(xiàn)面垂直，證明出結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)二面角的大小列出方程，求出，進(jìn)而作出輔助線(xiàn)，得到外接球球心，列出方程，求出外接球半徑，得到外接球表面積.【詳解】（1）連接，因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，，，所以為等邊三角形，底面為菱形，則上底面也為菱形，又，故，又四點(diǎn)共面，故，因?yàn)椋?，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫裕?/p>

因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，故⊥，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，故，設(shè)，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，，故，平面的法向量為，故，二面角大小為60°，即，解得，

取的中點(diǎn)，由于⊥，故三棱錐外接球的球心在平面的投影為，連接，過(guò)點(diǎn)作平行，交于，設(shè)，則，，又，由勾股定理得，，故，解得，故三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球表面積為.18．(1)(2)(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)以及離心率解方程組可求得橢圓E的方程；（2）思路一：利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)的性質(zhì)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式整理可得結(jié)論；思路二：求得橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，再由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程；（3）思路一：假設(shè)存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的相異的兩點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可得線(xiàn)段中點(diǎn)與點(diǎn)A重合，假設(shè)不成立；思路二：利用點(diǎn)差法求出，聯(lián)立直線(xiàn)方程可得點(diǎn)與點(diǎn)A重合，不合題意，可得結(jié)論.【詳解】（1）橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得，因此可得橢圓E的方程為；（2）由（1）可知，，思路一：由題意可知，，如下圖所示：設(shè)角平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)為，則得或又易知其斜率為正，∴的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)為思路二：橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為，所以的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)，即（3）思路一：假設(shè)存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，∴線(xiàn)段中點(diǎn)為在的角平分線(xiàn)上，即，解得；因此與點(diǎn)A重合，舍去，故不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．思路二：假設(shè)存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)，由點(diǎn)差法可得，即；∴，因此，聯(lián)立可得與點(diǎn)A重合，舍去，故不存