湖北省四校2025年數(shù)學(xué)試題高考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則為()A． B． C． D．2．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．43．已知l，m是兩條不同的直線(xiàn)，m⊥平面α，則“”是“l(fā)⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．5．下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．7．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．8．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．9．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④10．在中，在邊上滿(mǎn)足，為的中點(diǎn)，則（）.A． B． C． D．11．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．412．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知a，b均為正數(shù)，且，的最小值為_(kāi)_______.14．在三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為_(kāi)_______.15．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.16．在中，角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，滿(mǎn)足，，則的面積為_(kāi)_．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線(xiàn)的普通方程和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（）.設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，要使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.20．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）已知點(diǎn)在棱上且，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為.（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線(xiàn)上的點(diǎn)到距離的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

分別求解出集合的具體范圍，由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)榧?，，所以故選：C本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算，考查基本運(yùn)算能力.2．B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以?xún)蓚€(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r，若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件，故選：A.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題4．A【解析】

本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D；根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無(wú)限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng),且無(wú)限接近于0時(shí),接近于,，此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.5．C【解析】

首先求出函數(shù)的定義域，其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即可排除A、D，再根據(jù)時(shí)函數(shù)值，排除B，即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)椋鋱D象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到，∵為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，∴B項(xiàng)不正確.故選：C本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng)，屬于中檔題.6．B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，且，∴.∵的符號(hào)無(wú)法判斷，故與，與的大小不確定，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，對(duì)，則，故B正確.故選：B.本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解．【詳解】，，，．故選：C．本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用．掌握正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．8．B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.9．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，且存在，使.所以當(dāng)時(shí)，；由于為偶函數(shù)，所以時(shí)，所以的最大值為，所以③錯(cuò)誤.依題意，，當(dāng)時(shí)，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述，正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選：C本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10．B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因?yàn)椋?，?故選：B.本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.11．B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設(shè)，則，易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．12．A【解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，故答案為：.本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為，在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.14．【解析】

設(shè)，可表示出，由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長(zhǎng)的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設(shè)則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長(zhǎng)的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當(dāng)時(shí)，．故答案為：．本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和．15．【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值，即得出所求切線(xiàn)的斜率，再運(yùn)用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)的方程.【詳解】令，，所以，又，所求切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線(xiàn)的斜率，屬于基礎(chǔ)題.16．．【解析】

由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合余弦定理可求，代入，計(jì)算可得所求．【詳解】解：把看成關(guān)于的二次方程，則，即，即為，化為，而，則，由于，可得，可得，即，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解得：（負(fù)的舍去），．故答案為．本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）曲線(xiàn)的普通方程為；直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，將曲線(xiàn)的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式，將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)（1）求出曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，分別聯(lián)立射線(xiàn)與曲線(xiàn)以及射線(xiàn)與直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，求出和，即可求出.【詳解】解：（1）因?yàn)椋閰?shù)），所以消去參數(shù)，得，所以曲線(xiàn)的普通方程為.因?yàn)樗灾本€(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.設(shè)的極徑分別為和，將（）代入，解得，將（）代入，解得.故.本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，還考查極徑的運(yùn)用和兩點(diǎn)間距離，屬于中檔題.18．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求得切線(xiàn)的斜率，則切線(xiàn)方程得解；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則.所以.又，故所求切線(xiàn)方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋缓项}意.②當(dāng)時(shí)，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，，，所以，只需，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，屬綜合中檔題.19．（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類(lèi)討論求解不等式即可；（2）先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，恒成立，；②當(dāng)時(shí)，，即，；③當(dāng)時(shí)，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）上述三式相加可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，故得證.本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類(lèi)討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識(shí)可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標(biāo)系，可求得面PAB的法向量，再運(yùn)用線(xiàn)面角的向量求法，可求得直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點(diǎn)，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),故面面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建系如圖所示,則，，，,設(shè)是平面PAB的法向量,，令，則,,直線(xiàn)NE與平面所成角的余弦值為.本題考查空間的面面平行的判定，以及線(xiàn)面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.21．,；，證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中，的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1），其中，[，其中，（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，成立，②假設(shè)時(shí)，猜想成立即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜想成立由①②對(duì)成立本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、三角恒等變換、歸納與猜想和數(shù)學(xué)歸納法;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;熟練掌握用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟是求解本題