成都四十九中高2023級(jí)高二下學(xué)期3月監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試題卷一、單選題1.是數(shù)列的（）A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第8項(xiàng) D.第9項(xiàng)2.已知等差數(shù)列中，，則等于（）A.56 B.53 C.55 D.543.由公差的等差數(shù)列組成一個(gè)新的數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（）A.新數(shù)列不是等差數(shù)列 B.新數(shù)列是公差為d等差數(shù)列C.新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列 D.新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列4.中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.則最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里5.正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值是（）A.2 B.3 C.4 D.56.等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A.281 B.651 C.701 D.7917.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10二、多選題9.已知等比數(shù)列的公比為且成等差數(shù)列，則的值可能為（）A. B.1 C.2 D.310.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.11.2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，這個(gè)政策就是我們所說(shuō)的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精疲力竭.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫(huà)法是這樣的：正方形的邊長(zhǎng)為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，….下列說(shuō)法正確的是（）A.從正方形開(kāi)始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為B.使得不等式成立的最大值為4C.D.數(shù)列的前項(xiàng)和三、填空題12.在等差數(shù)列中，，，求____13.數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，則______．14.若正整數(shù)m，n的公約數(shù)只有1，則稱m，n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則____________.四、解答題15.在等差數(shù)列中，已知公差，．（1）判斷和是否是數(shù)列中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．16已知數(shù)列，若，且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．17.等比數(shù)列中，，數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.18.年月日，小劉從各個(gè)渠道融資萬(wàn)元，在某大學(xué)投資一個(gè)咖啡店，年月日正式開(kāi)業(yè)，已知開(kāi)業(yè)第一年運(yùn)營(yíng)成本為萬(wàn)元，由于工人工資不斷增加及設(shè)備維修等，以后每年成本增加萬(wàn)元，若每年的銷售額為萬(wàn)元，用數(shù)列表示前年的純收入．（注：純收入前年的總收入前年的總支出投資額）（1）試求年平均利潤(rùn)最大時(shí)年份（年份取正整數(shù)）并求出最大值．（2）若前年的收入達(dá)到最大值時(shí)，小劉計(jì)劃用前年總收入的對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修，請(qǐng)問(wèn)：小劉最早從哪一年對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修（年份取整數(shù)）？并求小劉計(jì)劃裝修的費(fèi)用．19.已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩根，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的都成立，求的取值范圍．

成都四十九中高2023級(jí)高二下學(xué)期3月監(jiān)測(cè)考試數(shù)學(xué)試題卷一、單選題1.是數(shù)列的（）A.第6項(xiàng) B.第7項(xiàng) C.第8項(xiàng) D.第9項(xiàng)【答案】A【解析】【分析】利用觀察法分析數(shù)列的規(guī)律即可.【詳解】觀察條件式可知原數(shù)列為：，而，即為第6項(xiàng)，故選：A2.已知等差數(shù)列中，，則等于（）A.56 B.53 C.55 D.54【答案】D【解析】【分析】利用計(jì)算公差，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)果.【詳解】由得，故，則.故選：D.3.由公差的等差數(shù)列組成一個(gè)新的數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（）A.新數(shù)列不是等差數(shù)列 B.新數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列C.新數(shù)列是公差為2d的等差數(shù)列 D.新數(shù)列是公差為3d的等差數(shù)列【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知根據(jù)等差數(shù)列定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是公差為2d的等差數(shù)列.故選：C4.中國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思為：“有一個(gè)人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.則最后一天走了（）A.4里 B.16里 C.64里 D.128里【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，相當(dāng)于求，直接套公式求即可.【詳解】由題意得此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且前6項(xiàng)和為252.設(shè)首項(xiàng)為，則有，解得：=128.∴故選：A【點(diǎn)睛】（1）數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見(jiàn)考查形式：求解應(yīng)用性問(wèn)題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（2）等差（比）數(shù)列問(wèn)題解決的基本方法：基本量代換．5.正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由韋達(dá)定理、等比數(shù)列性質(zhì)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意得，所以.故選：A.6.在等差數(shù)列中，，，設(shè)，則（）A.281 B.651 C.701 D.791【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件,求出等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式,判斷正數(shù)、負(fù)數(shù)項(xiàng),再求出.【詳解】等差數(shù)列中,由,得公差,則,顯然當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以故選：C7.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用倒序相加法，可得答案.【詳解】，，故選：B.8.已知數(shù)列滿足，，若成立，則的最大值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】分析可知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可得，根據(jù)題意利用裂項(xiàng)相消法可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，可得，可得數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，則，即，則，可得，因?yàn)椋傻?，解得，即所求的最大值?.故選：B.二、多選題9.已知等比數(shù)列的公比為且成等差數(shù)列，則的值可能為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】AC【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比的值．【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)?又是公比為的等比數(shù)列，所以由，得，即，解得或.故選：10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.【答案】BC【解析】【分析】由題意得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式可判斷ABD；進(jìn)一步有，由此可判斷C.【詳解】由題意可知，故B正確D錯(cuò)誤；所以，故A錯(cuò)誤；而，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：BC.11.2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見(jiàn)》，這個(gè)政策就是我們所說(shuō)的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精疲力竭.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫(huà)法是這樣的：正方形的邊長(zhǎng)為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，….下列說(shuō)法正確的是（）A.從正方形開(kāi)始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為B.使得不等式成立的的最大值為4C.D.數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，找出計(jì)算規(guī)律，得到，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，，所以，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以C正確；由連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為，所以A正確；又由，即，所以，所以為等比數(shù)列，令，可得，因?yàn)?，所以B不正確；又由，所以D正確.故選：ACD.三、填空題12.在等差數(shù)列中，，，求____【答案】484【解析】【分析】利用等差數(shù)列片段和性質(zhì)有，結(jié)合已知求，即可得的值.【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)有，∴．∴故答案：48413.數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，則______．【答案】2191【解析】【分析】，對(duì)分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】數(shù)列是以公差的等差數(shù)列;.,數(shù)列是以公比的等比數(shù)列;..故答案為：2191.14.若正整數(shù)m，n的公約數(shù)只有1，則稱m，n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義求得和，進(jìn)而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可求解.【詳解】小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是2的倍數(shù)，即，共個(gè)，所以與互質(zhì)的數(shù)有個(gè)，即；小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是3倍數(shù)，即，共個(gè)，所以與互質(zhì)的數(shù)有個(gè)，即；所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：四、解答題15.在等差數(shù)列中，已知公差，．（1）判斷和是否是數(shù)列中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】等差數(shù)列中，公差，，，，，令，，不是數(shù)列中的項(xiàng)，令，，是數(shù)列中的項(xiàng)，是第21項(xiàng)小問(wèn)2詳解】16.已知數(shù)列，若，且．（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可，求出的通項(xiàng)，即可得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以是以為首?xiàng)、為公比的等比數(shù)列，所以，則.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以.17.等比數(shù)列中，，數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出公比，再代入求出，即可求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)作差即可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，在等比數(shù)列中，，，所以，所以，所以，所以，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以.【小問(wèn)2詳解】因，所以，所以，，兩式相減得，即，也即.18.年月日，小劉從各個(gè)渠道融資萬(wàn)元，在某大學(xué)投資一個(gè)咖啡店，年月日正式開(kāi)業(yè)，已知開(kāi)業(yè)第一年運(yùn)營(yíng)成本為萬(wàn)元，由于工人工資不斷增加及設(shè)備維修等，以后每年成本增加萬(wàn)元，若每年的銷售額為萬(wàn)元，用數(shù)列表示前年的純收入．（注：純收入前年的總收入前年的總支出投資額）（1）試求年平均利潤(rùn)最大時(shí)的年份（年份取正整數(shù)）并求出最大值．（2）若前年的收入達(dá)到最大值時(shí)，小劉計(jì)劃用前年總收入的對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修，請(qǐng)問(wèn)：小劉最早從哪一年對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修（年份取整數(shù)）？并求小劉計(jì)劃裝修的費(fèi)用．【答案】（1）到年或年，年平均利潤(rùn)最大，最大值為萬(wàn)元；（2）小劉最早從年對(duì)咖啡店進(jìn)行重新裝修，計(jì)劃裝修費(fèi)用為萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）每年的運(yùn)營(yíng)成本構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，每年的銷售額是一個(gè)常數(shù)列，根據(jù)題意，列出等式年平均利潤(rùn)為，之后應(yīng)用基本不等式，結(jié)合求得結(jié)果；（2）由（1）知，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及的條件，得到當(dāng)或時(shí)，取得最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件可知，每年的運(yùn)營(yíng)成本構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，則年平均利潤(rùn)為，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．但，且或時(shí)，．此時(shí)，取最大值．到年或年