2024-2025學(xué)年度高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘；卷面分值：120分；注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上3.本次考試允許使用函數(shù)型計算器，凡使用計算器的題目，最后結(jié)果精確到0.01第I卷（選擇題）一、單選題1.已知集合，則（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解不等式后，利用交集的基本運算即可求解.【詳解】由題，可得集合或，集合，則，故選:D.2.已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，設(shè)：，：在區(qū)間中至少有一個零點，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分必要條件的判斷方法即可求解.【詳解】由題意可知，函數(shù)fx在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，當(dāng)時，由函數(shù)零點存在定理可得，函數(shù)fx在區(qū)間中至少有一個零點，即能推出；若函數(shù)fx在區(qū)間中至少有一個零點時，不一定成立，即推不出，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.已知，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判斷，逐一分析各選項即可得解.【詳解】對于，當(dāng)時，，所以是假命題，則是真命題，對于，當(dāng)時，，所以是真命題，則是假命題，對于AB，由于是假命題，故AB錯誤；對于D，由于是假命題，故D錯誤；對于C，由于是真命題，是真命題，故C正確.故選：C.4.已知為虛數(shù)單位，若，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算求解.【詳解】若，則，故選：A.5.已知，，則（

）A.2 B.2 C. D.10【答案】A【解析】【分析】利用向量的運算以及向量的模長計算公式，進(jìn)行求解即可.【詳解】故選：A.6.已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（

）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由基本不等式求函數(shù)的最小值即可.【詳解】∵x∈1,+∞，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立.故選：A.7.不等式的解集是，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】從“不等式的解集是”這一條件分別求出a、b，再解不等式即可.【詳解】因為不等式的解集是，所以不等式可化為，即，得到，.因此為，可化為，解得，所以該不等式的解集為.故選：A.8.已知，則下列不等式中一定成立的是（

）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】A、B、D選項可舉反例證明，C選項可以通過作差比較法來證明．【詳解】A選項，當(dāng)，，時，，故不一定成立；B選項，當(dāng)，，時，，故不一定成立；C選項，，因為，所以，，，即，，故選項C成立；D選項，當(dāng)時，，故不一定成立．故選：C．9.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可.【詳解】四個選項中的每個函數(shù)的定義域都為，A.函數(shù)是奇函數(shù)；B.函數(shù)是偶函數(shù)，但在上是增函數(shù)；C.函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)；D.函數(shù)是非奇非偶函數(shù).故選：C.10.設(shè)，，，則（

）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】已知在上為增函數(shù)，且，由于，所以，即，又為增函數(shù)，且，所以，即，所以.故選：C.11.已知函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式題意，求出和的表達(dá)式，再依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】因為函數(shù)，所以，；對于A選項，，是奇函數(shù)但在上單調(diào)遞減，不符合題意；對于B選項，，不是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，不符合題意；對于C選項，，不是奇函數(shù)但在上單調(diào)遞增，不符合題意；對于D選項，，是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，符合題意.故選：D.12.若直線，是函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則（

）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的對稱性和周期性計算即可.【詳解】因為直線，是函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸，則函數(shù)的最小正周期為：，解得.故選：A.13.若一扇形的圓心角的弧度數(shù)為2，且該扇形的半徑為7，則該扇形的弧長為（

）A. B. C.14 D.【答案】C【解析】【分析】利用扇形的弧長公式即可得解.【詳解】因為扇形的圓心角的弧度數(shù)為2，半徑為7，所以該扇形的弧長為.故選：C.14.已知數(shù)列滿足，，則（

）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，求出數(shù)列的前幾項得出規(guī)律即可得解.【詳解】因為數(shù)列滿足，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以數(shù)列是以這三個數(shù)為周期循環(huán)的數(shù)列，因為，所以.故選：.15.已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用與的關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，不符合題意，所以.故選：D.16.若異面直線的方向向量與的方向向量的夾角為，則與所成的角為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由異面直線所成角的定義即可得解.【詳解】由異面直線所成角的定義可知，異面直線所成角的范圍是，因為異面直線的方向向量與的方向向量的夾角為，所以與所成的角為，即.故選：B.17.拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合題意即可求解．【詳解】因為拋物線，所以，所以準(zhǔn)線方程為．故選：B．18.若雙曲線滿足，則的離心率為（

）A.32 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線離心率的定義，列出式子計算即可.【詳解】雙曲線滿足，由雙曲線離心率的定義，雙曲線的離心率為，故選：C.19.某校高一年級有900名學(xué)生，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個容量為81的樣本，其中抽取男生和女生的人數(shù)分別為，則該校高一年級的女生人數(shù)為（

）A.350 B.400 C.500 D.550【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣方法，結(jié)合抽樣比，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，該校高一年級女生人數(shù)人．故選：B．20.將某學(xué)校一次物理測試學(xué)生的成績統(tǒng)計如下圖所示，則估計本次物理測試學(xué)生成績的平均分為（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（

）A.68 B.70 C.72 D.74【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率直方圖計算平均數(shù)即可.【詳解】由圖可知，，解得，故其平均分為：，故選：C第II卷（非選擇題）二、填空題21.已知角在第二象限，且，

則_____________.【答案】##【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求出，最后由正切的二倍角公式求解即可.【詳解】由題意可得，，又角在第二象限，所以，，所以.故答案為：.22.在等差數(shù)列中，，則__________.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以，，故.故答案為：.23.已知空間向量滿足，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得到內(nèi)積為，即可求解.【詳解】因為空間向量滿足，所以，所以.故答案為：.24.已知橢圓的長軸長為8，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)長軸長和離心率得到，即可求解.【詳解】因為橢圓C:x2a2所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：25.已知某種科技產(chǎn)品的利潤率為，預(yù)計5年內(nèi)與時間月)滿足函數(shù)關(guān)系式其中為非零常數(shù)).若經(jīng)過12個月，利潤率為，經(jīng)過24個月，利潤率為，那么當(dāng)利潤率達(dá)到以上，至少需要經(jīng)過________________個月(用整數(shù)作答，參考數(shù)據(jù)：）【答案】40【解析】【分析】根據(jù)利潤與時間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意求出，即可求解.【詳解】因為利潤與時間的函數(shù)關(guān)系式為，由題意知，，解得，令，解得，由，解得，所以至少需要經(jīng)過40個月，故答案為：40三、解答題26.已知函數(shù).（1）求函數(shù)y=fx（2）若函數(shù)y=fx在區(qū)間上有且只有兩個極大值點，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過三角恒等變換將化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而可得單調(diào)減區(qū)間.（2）根據(jù)正弦型函數(shù)極大值點取值范圍，結(jié)合題意可得.【小問1詳解】因為.由，則，令，解得，所以函數(shù)y=fx在上的單調(diào)遞減區(qū)間為【小問2詳解】由，則，因為函數(shù)y=fx所以，解得，即實數(shù)的取值范圍.27.設(shè)Sn是等差數(shù)列的前項和，，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和Sn的最值.【答案】（1），（2）最大值為，無最小值【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)即可求解；（2）先求出等差數(shù)列的前n項和，進(jìn)而求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，所以，則，所以，；【小問2詳解】由（1）可知，令，解得，，其為二次函數(shù)，因為，所以其圖像開口向下，對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.因為，所以當(dāng)或，取最大值，最大值為.28.如圖，在正三棱柱中，，點、分別為、的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)向量、數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果．（2）利用平面的法向量的求法列方程組解得平的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)點面距離與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果．【小問1詳解】如圖，在正三棱柱中，設(shè)，的中點分別為，，連接，則，又平面，所以平面，又平面，所以，，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，因為為的中點，所以，從而，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【小問2詳解】因為為的中點，所以，因此，.設(shè)為平面的一個法向量，則，即，不妨取，同理可得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.29.某公司的入職面試中有4道難度相當(dāng)?shù)念}目，王陽答對每道題的概率都是0.7，若每位面試者共有4次機(jī)會，一旦某次答對抽到的題目、則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨立的.（1）求王陽第三次答題通過面試的概率；（2）求王陽最終通過面試的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件概率公式求解即可.（2）先求王陽未通過面試的概率，再結(jié)合對立事件概率公式求解即可.【小問1詳解】記“王陽第三次答題通過面試”為事件，若王陽第三次答題通過面試，則前次均不通過，所以王陽第三次答題通過面試的概率為.【小問2詳解】記“王陽最終通過面試”為事件，王陽未通過面試的概率為，所以王陽最終通過面試的概率.30.已知圓心為的圓經(jīng)過