第十四章

整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法14.1.1同底數(shù)冪的乘法整式的乘法與因式分解

整式的乘法因式分解整式的乘法冪的乘方同底數(shù)冪的乘法積的乘方整式的乘法乘法公式平方差公式完全平方公式提公因式法公式法1.理解同底數(shù)冪的乘法法則并運(yùn)用法則解決一些實(shí)際問題，發(fā)展運(yùn)算、推理能力和應(yīng)用意識(shí)。2.會(huì)用數(shù)學(xué)的思維推導(dǎo)“同底數(shù)冪的乘法法則”，使學(xué)生初步理解特殊到一般、一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律，發(fā)展學(xué)生觀察、歸納、類比等能力。3.在小組合作交流中,培養(yǎng)協(xié)作精神、探究精神,增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解并掌握同底數(shù)冪的乘法法則.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

一種電子計(jì)算機(jī)每秒可進(jìn)行1億億(1016

)次運(yùn)算，它工作103s可進(jìn)行多少次運(yùn)算？列式：1016×103怎樣計(jì)算1016×103呢？an指數(shù)冪底數(shù)=a·a····a

n個(gè)a

an

表示的意義是什么？其中a、n、an分別叫做什么?知識(shí)點(diǎn)

同底數(shù)冪的乘法法則學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】（-a）n

表示的意義是什么？底數(shù)、指數(shù)分別是什么？

25=.

25表示什么？

10×10×10×10×10可以寫成什么形式?10×10×10×10×10=.2×2×2×2×2105

（乘方的意義）（乘方的意義）想一想=a（）.

式子103×102的意義是什么？103與102

的積

這個(gè)式子中的兩個(gè)因式有何特點(diǎn)？底數(shù)相同103×102

=

=10（）；

23×22=

=

=2（）

（10×10×10）×（10×10）（2×2×2）×（2×2）2×2×2×2×255a3×a2=（a

a

a）3個(gè)a（a

a）2個(gè)a=a

a

a

a

a5個(gè)a5請(qǐng)同學(xué)們觀察下列各算式的左右兩邊，說說底數(shù)、指數(shù)有什么關(guān)系？103×102=10（）

23×22

=2（）

a3×a2

=a（）555

=10（）；

=2（）；=a（）

.

3+23+23+2猜想:

am

·an=?(m、n都是正整數(shù))

分組討論，并嘗試證明你的猜想是否正確.猜想:am·an=(m、n都是正整數(shù))am+n

am

·

an

=（aa…a）m個(gè)a（aa…a）n個(gè)a（乘方的意義）=aa…a(m+n)個(gè)a（乘法結(jié)合律）=am+n（乘方的意義）即am

·an

=am+n

(當(dāng)m、n都是正整數(shù))猜想與證明am·an

=am+n

(m、n都是正整數(shù))同底數(shù)冪相乘，底數(shù)，指數(shù).

不變相加運(yùn)算形式運(yùn)算方法

冪的底數(shù)必須相同，相乘時(shí)指數(shù)才能相加.如43×45=43+5=48同底數(shù)冪的乘法的性質(zhì)am·an·ap=am+n+p

（m、n、p都是正整數(shù)）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，是否也具有這一性質(zhì)呢？怎樣用公式表示？想一想同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則am·an

=am+n

(m、n都是正整數(shù))

am·an·ap=am+n+p

（m、n、p都是正整數(shù)）

例1

計(jì)算：（1）（2）（3）（4）同底數(shù)冪的乘法的法則的運(yùn)用素養(yǎng)考點(diǎn)1（5）(b+2)3·(b+2)4·(b+2)解：(1)

x2·x5

=x2+5=x

7.(2)

a·a6

=a1+6=a7.a=a1=（-2）1+4+3=（-2）8=256

(3)

(-2)×(-2)4×(-2)3思考：該式中相同的底數(shù)是多少？-2

(4)xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1.

(5)(b+2)3·(b+2)4·(b+2)=(b+2)3+4+1=(b+2)8(-2)×(-2)4×(-2)3≠-21+4+3=-28=-256方法點(diǎn)撥不要忽略指數(shù)是“1”的因式，如：a·a6≠a0+6.2.底數(shù)是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，通常把底數(shù)看成一個(gè)整體來運(yùn)算，如：下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，怎樣改正？（1）b5·b5=2b5

（

）

（2）b5+b5=b10（）（3）x5·x5=x25

(

)

（4）y5·y5=2y10(

)（5）c·c3=c3(

)

（6）m+m3=m4(

)

×

b5·b5=b10

×

b5+b5=2b5×

x5·x5=x10

×

y5·y5=y10×

c·c3=c4×

m+m3=m+m3素養(yǎng)考點(diǎn)2同底數(shù)冪的乘法的法則的逆運(yùn)用例2

已知：am=4，an=5.求am+n

的值.分析：把同底數(shù)冪的乘法法則逆運(yùn)用，可以求出值.解：am+n=am

·

an（逆運(yùn)算）

=4×5=20

當(dāng)冪的指數(shù)是和的形式時(shí)，可以逆運(yùn)用同底數(shù)冪乘法法則，將冪指數(shù)和轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘，然后把冪作為一個(gè)整體帶入變形后的冪的運(yùn)算式中求解.歸納總結(jié)已知2x=3,2y=6,試寫出2x+y的值.解：2x+y

=2x×2y=3×6=181.x3·x2的運(yùn)算結(jié)果是（）A.x2 B.x3 C.x5 D.x63.

8×4=2x，則x=

C23×22255

=

.2.如果an-2an+1=a11,則n=

.64.計(jì)算:(1)

x

n·xn+1;(2)(x+y)3·(x+y)4.解:xn

·xn+1=am·an=am+n

解:(x+y)3·(x+y)4=(x+y)3+4=(x+y)7公式中的a可代表一個(gè)數(shù)、字母、式子等.xn+(n+1)=x2n+15.已知：am=2，an=3.求am+n

=？解：am+n=am

·

an

（逆運(yùn)算）

=2×3=6

學(xué)到了什么？知識(shí)

同底數(shù)冪相乘，底數(shù)

指數(shù)

（注：這個(gè)性質(zhì)也適用于三個(gè)及三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘）方法

“特殊→一般→特殊”例子公式應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)

（1）不要忽略指數(shù)是“1”的因式.（2）底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，通常把底數(shù)看成一個(gè)整體來運(yùn)算.am·an

=am+n

(m、n正整數(shù))不變相加

1.

同底數(shù)冪相乘，

?.2.

am

·

an

＝

(

m

，

n

都是正整數(shù)).底數(shù)不變，指數(shù)相加am＋

n

1.

計(jì)算

x3·

x2的結(jié)果是(

B

)A.

x6B.

x5C.

x2D.

x

2.

下列各式的結(jié)果等于26的是(

B

)A.

2＋25B.

2·25C.

23·22D.

24＋22BB課后作業(yè)3.

下列各式中，不能用同底數(shù)冪的乘法法則化簡的是(

B

)A.

(

a

＋

b

)(

a

＋

b

)2B.

(

a

－

b

)(

a

＋

b

)2C.

－(

a

－

b

)(

b

－

a

)2D.

－(

a

－

b

)·(

b

－

a

)2·(

a

－

b

)24.

下列計(jì)算正確的是(

D

)A.

b2·

b2＝

b8B.

x2＋

x4＝

x6C.

a3·

a3＝

a9D.

a8

a

＝

a95.

若

ax

＝4，

ay

＝3，則

ax＋

y

＝

?.BD12

解：(1)

x

·

xn－1＝

xn

.(2)(－

a

)2·(－

a

)3＝(－

a

)5＝－

a5.

6.

計(jì)算：7.

已知

am

＝3，

an

＝5，求

am＋

n＋2的值.解：

am＋

n＋2

＝

am

·

an

·

a2＝3×5×

a2＝15

a2.第十四章整式的乘法與因式分解14.1整式的乘法《14.1.1同底數(shù)冪的乘法》同步練習(xí)

同底數(shù)冪的乘法1.

計(jì)算

a2·

a

＝(

D

)A.

a

B.

3

a

C.

2

a2D.

a32.

計(jì)算－

a3·3

a

的結(jié)果是(

D

)A.

3

a3B.

－3

a3C.

3

a4D.

－3

a4DD3.

【教材第96頁例1改編】下列計(jì)算正確的是(

D

)A.

x3·

x4`＝

x12B.

a

·

a7＝

a7C.

(－2)×(－2)4×(－2)3＝－256D.

xm

·

x3

m－1＝

x4

m－14.

已知

x

＋

y

－3＝0，則2

x

×2

y

的值為(

B

)A.

64B.

8C.

6D.

12DB思路點(diǎn)撥5.

(

x

－

y

)3·(

y

－

x

)＝

?.【解析】(

x

－

y

)3·(

y

－

x

)＝－(

x

－

y

)3·(

x

－

y

)＝－(

x

－

y

)3＋1＝－(

x

－

y

)4.

改變括號(hào)內(nèi)的符號(hào)的同時(shí)，括號(hào)外的符號(hào)也要改變.－(

x

－

y

)4

6.

計(jì)算：(1)

a4·

a5；解：

a4·

a5＝

a4＋5＝

a9.(2)(－3)5×(－3)2；解：(－3)5·(－3)2＝(－3)5＋2＝(－3)7＝－37.(3)

b

·

b2·

b4；解：

b

·

b2·

b4＝

b1＋2＋4＝

b7.(4)(－

y

)·(－

y

)2·(－

y

)3；解：(－

y

)·(－

y

)2·(－

y

)3＝(－

y

)1＋2＋3＝(－

y

)6＝

y6.(5)(－

x

)2·

x3.解：(－

x

)2·

x3＝

x2·

x3＝

x2＋3＝

x5.

同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算7.

若

xa

＝5，

xb

＝10，則

xa＋

b

的值是(

C

)A.

10B.

15C.

50D.

40【解析】∵

xa

＝5，

xb

＝10，∴

xa＋

b

＝

xa

·

xb

＝5×10＝50.8.

已知3

x

＝

y

，則3

x＋1＝(

D

)A.

y

B.

1＋

y

C.

3＋

y

D.

3

y

【解析】∵3

x

＝

y

，∴3

x＋1＝3

x

×3＝3

y

.CD9.

已知

x3·

xa＋1＝

x7，那么

a

的值

?.【解析】∵

x3·

xa＋1＝

x7，∴3＋

a

＋1＝7.∴

a

＝3.10.

已知3

x

＝5，則－3

x＋2的值為

?.【解析】－3

x＋2＝－3

x

×32＝－5×9＝－45.3

－45

11.

規(guī)定a*b＝2

a

×2

b

，求：(1)求1*3；解：1*3＝21×23＝16.(2)若2*(2

x

＋1)＝64，求

x

的值.

12.

若

x

，

y

為正整數(shù)，且2

x

·2

y

＝25，則

x

，

y

的值有(

A

)A.

4對(duì)B.

3對(duì)C.

2對(duì)D.

1對(duì)【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，得

x

＋

y

＝5，又∵

x

，

y

為正整數(shù)，∴有4對(duì).A13.

已知25×5

x

×5＝55，則

x5的值為

?.【解析】25×5

x

×5＝

52×5

x

×5＝52＋

x＋1＝55，故2＋

x

＋1＝5，解得

x

＝2.∴

x5＝25＝32.32

14.

計(jì)算：(1)

yn－1·

y2·

y

＋

yn－2·

y3·

y

；解：原式＝

yn＋2＋

yn＋2＝2

yn＋2.(2)(

m

－

n

)4·(

m

－

n

)·(

n

－

m

)3.解：原式＝－(

m

－

n

)4·(

m

－

n

)·(

m

－

n

)3＝－(

m

－

n

)4＋1＋3＝－(

m

－

n