第23頁（共23頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版八年級同步經(jīng)典題精練之平行四邊形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?長春校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個(gè)條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°2．（2024秋?長春校級期末）如圖，在?ABCD中，∠ADC的平分線DE交BC于點(diǎn)E，若AB＝11，BE＝4，則AD的長為（）A．15 B．11 C．20 D．523．（2025?山東模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M為邊AD上一點(diǎn)，AM＝2DM，BM平分∠ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)，若EF＝3cm，則AB的長為（）A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm4．（2024秋?麗水期末）如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．則DE?AF的值是（）A．122 B．62 C．12 D5．（2024秋?鋼城區(qū)期末）如圖，小華注意到蹺蹺板靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，可以與地面構(gòu)成一個(gè)△ABC，蹺蹺板中間的支撐桿EF垂直于地面（E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)），若EF＝35cm，則點(diǎn)B距離地面的高度為（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm二．填空題（共5小題）6．（2024秋?建湖縣期末）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱OM經(jīng)過AB的中點(diǎn)O，OM與地面CD垂直于點(diǎn)M，OM＝30cm，當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時(shí)，另一端B離地面的高度為cm．7．（2024秋?重慶期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝AC，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，OM＝1，則△ABCD的周長為．8．（2024秋?西山區(qū)校級期末）如圖，若平行四邊形ABCD的周長為22cm，AC，BD相交于點(diǎn)O且BD為5cm，則△ABD的周長為．9．（2024秋?濰坊期末）如圖，?ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，則EC＝．10．（2024秋?鯉城區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥CD，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，連接CE．已知AC＝6，BD＝10，則△CDE的周長是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?長春校級期末）四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，則四邊形ABCD的面積為．12．（2024秋?廈門期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC且交CB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．證明BE＝CF．13．（2024秋?紫金縣期末）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，BD是對角線．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四邊形BEDF的面積．14．（2024秋?鋼城區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段PD＝；CQ＝；QE＝（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？15．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，延長CD至點(diǎn)E，使CD＝DE，連接AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面積．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版八年級同步經(jīng)典題精練之平行四邊形參考答案與試題解析題號12345答案AADAB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?長春校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個(gè)條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．∠B+∠C＝180°【考點(diǎn)】平行四邊形的判定．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】A【分析】由AB∥CD，AB＝CD，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形ABCD是平行四邊形，可判斷A符合題意；由AB∥CD，AD＝BC，可知四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形，而不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，可判斷B不符合題意；由AB∥CD，AB＝BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，可判斷C不符合題意；由AB∥CD，得∠B+∠C＝180°，可知由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，可判斷D不符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故A符合題意；∵AB∥CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故B不符合題意；∵由AB∥CD，AB＝BC，不能推導(dǎo)出AB＝CD，∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故C不符合題意；∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴由AB∥CD，∠B+∠C＝180°，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故D不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定，正確理解和運(yùn)用平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?長春校級期末）如圖，在?ABCD中，∠ADC的平分線DE交BC于點(diǎn)E，若AB＝11，BE＝4，則AD的長為（）A．15 B．11 C．20 D．52【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義；等腰三角形的判定．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】由∠ADC的平分線DE交BC于點(diǎn)E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四邊形的性質(zhì)得CD＝AB＝11，AD∥BC，則∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，則CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠ADC的平分線DE交BC于點(diǎn)E，∴∠ADE＝∠CDE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝11，∴CD＝AB＝11，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD＝11，∵BE＝4，∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15，故選：A．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，推導(dǎo)出∠CDE＝∠CED是解題的關(guān)鍵．3．（2025?山東模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M為邊AD上一點(diǎn)，AM＝2DM，BM平分∠ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BM，CM的中點(diǎn)，若EF＝3cm，則AB的長為（）A．5.5cm B．5cm C．4.5cm D．4cm【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)E，點(diǎn)F分別是BM，CM中點(diǎn)，∴EF是△BCM的中位線，∵EF＝3cm，∴BC＝2EF＝6cm，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6cm，∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠MBC，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠MBC，∴∠AMB＝∠ABM，∴AM＝AB，∵AM＝2MD，∴AM＝AB=23AD＝4故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?麗水期末）如圖，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．則DE?AF的值是（）A．122 B．62 C．12 D【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】過A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出AH=22AB＝22，由平行四邊形的性質(zhì)推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面積公式得到DE?AF＝AD?AH＝12【解答】解：過A作AH⊥BC于H，∵∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=22AB=22×∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AF⊥DE，∴△EAD的面積=12AD?AH=12∴DE?AF＝6×22=122故選：A．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式得到AD?AH＝DE?AF．5．（2024秋?鋼城區(qū)期末）如圖，小華注意到蹺蹺板靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，可以與地面構(gòu)成一個(gè)△ABC，蹺蹺板中間的支撐桿EF垂直于地面（E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)），若EF＝35cm，則點(diǎn)B距離地面的高度為（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題．【解答】解：∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，EF＝35cm，∴BC＝2EF＝70（cm），∴點(diǎn)B距離地面的高度為70cm．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?建湖縣期末）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱OM經(jīng)過AB的中點(diǎn)O，OM與地面CD垂直于點(diǎn)M，OM＝30cm，當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時(shí)，另一端B離地面的高度為60cm．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】三角形；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】60．【分析】判斷出OM是△ABE的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BE＝2OM．【解答】解：∵O是AB的中點(diǎn)，OM垂直于地面，BE垂直于地面，∴OM∥BE，∴OM是△ABE的中位線，∴BE＝2OM＝2×30＝60（cm），另一端B離地面的高度為60cm，故答案為：60．【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?重慶期末）如圖，在?ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝AC，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，OM＝1，則△ABCD的周長為8．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】8．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD，進(jìn)而利用三角形中位線定理得出BC＝2OM，進(jìn)而利用等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD，AB＝CD，OB＝OD，∵點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，∴OM是△DBC的中位線，∴BC＝2OM＝2，∵∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∴?ABCD的周長＝2×4＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OB＝OD解答．8．（2024秋?西山區(qū)校級期末）如圖，若平行四邊形ABCD的周長為22cm，AC，BD相交于點(diǎn)O且BD為5cm，則△ABD的周長為16cm．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力．【答案】16cm．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝BC，CD＝AB，求出AD+AB＝11cm，再結(jié)合BD＝5cm即可解答．【解答】解：∵平行四邊形ABCD的周長為22cm，∴AD＝BC，CD＝AB，AD+AB+BC+CD＝22cm，∴AD+AB＝11cm，∵AC，BD相交于點(diǎn)O且BD為5cm，∴△ABD的周長為：AD+AB+BD＝11+5＝16（cm），故答案為：16cm．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的對邊相等．9．（2024秋?濰坊期末）如圖，?ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，則EC＝2cm．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】2cm．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根據(jù)線段的和差即可解決問題．【解答】解：在?ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝DAE，∵AD∥BC，∴∠BEA＝DAE，∴∠BAE＝BAE，∴BE＝AB＝3cm，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm），故答案為：2cm．【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解決本題的關(guān)鍵是得到BE＝AB．10．（2024秋?鯉城區(qū)校級期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥CD，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于點(diǎn)E，連接CE．已知AC＝6，BD＝10，則△CDE的周長是4+213．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】4+213．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得OC＝OA=12AC＝3，OD＝OB=12BD＝5，而AC⊥CD，OE⊥AC，則∠ACD＝90°，AE＝CE，所以CD=OD2-OC2=4，則AD=AC2+CD2=2【解答】解：∵四邊ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝10，∴OC＝OA=12AC＝3，OD＝OB=12∵AC⊥CD，OE⊥AC，∴∠ACD＝90°，AE＝CE，∴CD=OD∴AD=AC2∵∠ECD+∠ECA＝90°，∠EDC+∠EAC＝90°，∠ECA＝∠EAC，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE＝AE=12AD∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝4+13+13∴故答案為：4+213．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等角的余角相等、勾股定理等知識，證明DE＝CE＝AE是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?長春校級期末）四邊形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，則四邊形ABCD的面積為44．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）44．【分析】（1）證△ABF≌△CDE（SAS），得AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，再證AB∥CD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED＝∠AFB＝90°，在△ABF和△CDE中，AF=∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵CF＝3，EF＝5，∴AC＝AE+EF+CF＝11，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴四邊形ABCD的面積＝2S△ABC＝2×12×11×4故答案為：44．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?廈門期末）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC且交CB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F．證明BE＝CF．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】證明見解答．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥DC，AB＝DC，則∠ABE＝∠C，而∠E＝∠DFC＝90°，即可根據(jù)“AAS“證明△ABE≌△DCF，則BE＝CF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠C，∵AE⊥BC且交CB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠E＝∠DFC＝90°，在△ABE和△DCF中，∠E∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ABE≌△DCF是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?紫金縣期末）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，BD是對角線．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB＝90°，BD＝DE＝2，求四邊形BEDF的面積．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）23．【分析】（1）根據(jù)“SAS”及平行四邊形的性質(zhì)證明；（2）根據(jù)勾股定理及平行四邊形的判定和性質(zhì)求解．【解答】（1）證明：在?ABCD中，有AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，∵E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，∴AE=12AB，CF=∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，AD=∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）解：∵∠ADB＝90°，E，為邊AB的中點(diǎn)，∴DE=12AB＝∴AB＝4，∴AD=AB2∴S△ABD=12AD?DB＝2∴S△BDE=3在?ABCD中，有AB＝CD，AB∥CD，∵E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，∴AE=12AB，CF=∴AE＝CF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，∴S?BEDF＝2S△BDE＝23．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?鋼城區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段PD＝6﹣t；CQ＝2t；QE＝8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6）（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；列代數(shù)式．【專題】行程問題；整式；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）6﹣t，2t，8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6）；（2）當(dāng)t＝2或t=143時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，【分析】（1）AD＝6，BC＝16，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得PD＝6﹣AP，BE＝CE＝8，則QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，而CQ＝2t，AP＝t，則PD＝6﹣t；若點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，則2t＝8，求得t＝4；若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則t＝6，所以當(dāng)0＜t＜4時(shí)，則QE＝8﹣2t，當(dāng)4＜t＜6時(shí)，則QE＝2t﹣8，于是得到問題的答案；（2）由PD∥QE，可知當(dāng)PD＝QE時(shí)，以P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，再分兩種情況討論，一是當(dāng)0＜t＜4，且PD＝QE時(shí)，則6﹣t＝8﹣2t；二是當(dāng)4＜t＜6，且PD＝QE時(shí)，則6﹣t＝2t﹣8，解方程求出相應(yīng)的t值即可．【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，∴PD＝6﹣AP，BE＝CE=12BC＝∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，∴AP＝t，∴PD＝6﹣t；∵點(diǎn)Q同時(shí)以每秒2個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，∴CQ＝2t，若點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，則2t＝8，解得t＝4；若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則t＝6，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，則QE＝8﹣2t，當(dāng)4＜t＜6時(shí)，則QE＝2t﹣8，故答案為：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8．（2）∵AD∥BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BC上，∴PD∥QE，∴當(dāng)PD＝QE時(shí)，以P、Q、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，當(dāng)0＜t＜4，且PD＝QE時(shí)，則6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2；當(dāng)4＜t＜6，且PD＝QE時(shí)，則6﹣t＝2t﹣8，解得t=14綜上所述，當(dāng)t＝2或t=143時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E，【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查一元一次方程的應(yīng)用、平行四邊形的判定、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，延長CD至點(diǎn)E，使CD＝DE，連接AE．（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面積．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）△ACE的面積是85．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，因?yàn)檠娱LCD至點(diǎn)E，使CD＝DE，所以AB∥DE，AB＝DE，則四邊形ABDE是平行四邊形；（2）連接OE，由?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，得OA＝OC=12AC＝4，由AC平分∠BAE，得∠BAC＝∠EAC，由AB∥CD，得∠BAC＝∠ECA，則∠EAC＝∠ECA，所以AE＝CE＝6，則OE⊥AC，所以∠AOE＝90°，求得OE=AE2-OA2=25，則S【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵延長CD至點(diǎn)E，使CD＝DE，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．（2）解：連接OE，∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC＝8，∴OA＝OC=12AC＝∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE＝6，∴OE⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴OE=AE2∴S△ACE=12AC?OE=12×8×∴△ACE的面積是85．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運(yùn)算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級運(yùn)算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號，什么時(shí)要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問題1．在同一個(gè)式子或具體問題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．2．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．3．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE6．線段垂直平分線的性質(zhì)（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．8．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相