第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級同步經(jīng)典題精練之圓的對稱性一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，AD=CD=BC，且∠AOB＝A．90° B．80° C．70° D．60°2．（2024秋?瑞安市校級期末）如圖，在⊙O中，將弦AB繞圓心O順時針旋轉(zhuǎn)得到弦CD，若∠A＝35°，則∠COD的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．145°3．（2024秋?西華縣期末）下列說法中，正確的是（）A．長度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，等弦對等弧 C．優(yōu)弧一定比劣弧長 D．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等4．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=BD，若∠AOC＝130°，則∠A．130° B．80° C．65° D．50°5．（2024?寧城縣模擬）如圖，以O(shè)為圓心的MN，C、D三等分MN，連MN、CD，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，則∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD二．填空題（共5小題）6．（2024秋?巴南區(qū)期末）如圖，⊙O為四邊形ADBC的外接圓，AB＝AC，若D是AB的中點，且DE＝2，AC＝8，則⊙O的半徑為，BC＝．7．（2024秋?泗陽縣期末）在⊙O中，弦AB＝3，圓心角∠A0B＝60°，則⊙O的半徑為．8．（2024秋?陽谷縣期中）在半徑為1的⊙O中，弦AB的長為1，則弦AB所對弧的度數(shù)．9．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝40°，則∠AOE＝10．（2024秋?金鳳區(qū)期末）如圖是一種古老的灌溉工具水車的平面示意圖，其主體是一個圓形，被分成8等份，三角形OAB是水車的支架，水車的支架固定不動，主體可繞著圓心O旋轉(zhuǎn)，已知∠AOB＝60°，若OC平分∠AOB，則∠BOD的度數(shù)為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?甘井子區(qū)期末）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AC＝DB，AC與DB交于點M．求證：MA＝MD．12．（2024秋?增城區(qū)期末）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求證：BD=13．（2024秋?西崗區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB、CD于點E，且AB＝CD．求證：AC＝BD．14．（2024秋?紅塔區(qū)期中）已知：如圖，OA、OB為⊙O的半徑，C、D分別為OA、OB的中點．求證：AD＝BC．15．（2024秋?高坪區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，AC=CB，CD⊥AO于點D，CE⊥OB于點（1）求證：AD＝BE．（2）若AD＝DO，r＝3，求CD長．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級同步經(jīng)典題精練之圓的對稱性參考答案與試題解析題號12345答案BADDD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，AD=CD=BC，且∠AOB＝A．90° B．80° C．70° D．60°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】與圓有關(guān)的計算；推理能力．【答案】B【分析】由AD=CD=BC可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC，再結(jié)合圖形和∠【解答】解：∵AD=CD=BC，∠∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC，又∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，∴3∠BOC+120°＝360°，∴∠BOC＝80°．故選：B．【點評】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，掌握在同圓中同弧或等弧所對的圓心角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?瑞安市校級期末）如圖，在⊙O中，將弦AB繞圓心O順時針旋轉(zhuǎn)得到弦CD，若∠A＝35°，則∠COD的度數(shù)為（）A．110° B．120° C．130° D．145°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】A【分析】由等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”以及三角形的內(nèi)角和定理，可以求出∠AOB＝110°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB＝CD，由“在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等”可知∠AOB＝∠COD，從而求解．【解答】解：由條件可知∠B＝∠A＝35°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣35°＝110°．∴CD＝AB，∴∠COD＝∠AOB＝110°．故選：A．【點評】本題考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由圓的性質(zhì)“在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等”知道∠COD＝∠AOB，以及正確求出∠AOB的度數(shù)．3．（2024秋?西華縣期末）下列說法中，正確的是（）A．長度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，等弦對等弧 C．優(yōu)弧一定比劣弧長 D．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認識．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)等弧、優(yōu)弧、劣弧的定義以及圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理判斷即可．【解答】解：A、能夠重合的弧是等弧，說法錯誤，故選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，等弦所對的劣弧和劣弧相等，優(yōu)弧和優(yōu)弧相等，說法錯誤，故選項不符合題意；C、優(yōu)弧一定比劣弧長，說法錯誤，條件是同圓或等圓中，故選項不符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，說法正確，故選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系以及圓的認識，解題的關(guān)鍵是掌握圓心角，弧，弦之間的關(guān)系．4．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=BD，若∠AOC＝130°，則∠A．130° B．80° C．65° D．50°【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對應(yīng)的圓周角相等解答．【解答】解：∵∠AOC＝130°，∴∠BOC＝180°﹣130°＝50°，∵BC=∴∠BOC＝∠BOD＝50°．故選：D．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握定理以及推論是解題的關(guān)鍵．5．（2024?寧城縣模擬）如圖，以O(shè)為圓心的MN，C、D三等分MN，連MN、CD，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，則∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；平行線的判定．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】D【分析】連接ON、MC、DN，過點O作OE⊥CD交CD于點E，根據(jù)圓周角定理判斷A；根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理判斷B；根據(jù)垂徑定理、平行線的判定定理判斷C，根據(jù)兩點之間線段最短判斷D．【解答】解：連接ON、MC、DN，過點O作OE⊥CD交CD于點E，∵CM=∴∠COM＝∠COD，A選項結(jié)論正確，不符合題意；∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，∴△OMN為等邊三角形，∴∠MON＝60°，∵CM=∴∠AOB＝20°，B選項結(jié)論正確，不符合題意；∵OE⊥CD，∴CE=∴ME=∴OE⊥MN，∴MN∥CD，C選項結(jié)論正確，不符合題意；∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D選項結(jié)論錯誤，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦直徑的關(guān)系、垂徑定理、平行線的判定，掌握圓心角、弧、弦直徑的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?巴南區(qū)期末）如圖，⊙O為四邊形ADBC的外接圓，AB＝AC，若D是AB的中點，且DE＝2，AC＝8，則⊙O的半徑為5，BC＝485【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】5，485【分析】連接AO并延長交BC于H點，連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，根據(jù)垂徑定理的推論得OD⊥AB，則AE＝BE＝4，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，解方程得到⊙O的半徑為5，再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AB＝AC得到AB=AC，接著根據(jù)垂徑定理的推論得到H⊥BC，BH＝CH，然后利用勾股定理得到BH2+OH2＝52，BH2+（5+OH）2＝82，則解方程組可求出BH，從而得到【解答】解：連接AO并延長交BC于H點，連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OD＝r，OE＝r﹣2，∵AC＝8，∴AB＝8，∵D是AB的中點，∴OD⊥AB，∴AE＝BE=12AB＝在Rt△AOE中，（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5，即⊙O的半徑為5，∵AB＝AC，∴AB=∴AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△OBH中，BH2+OH2＝52①，在Rt△ABH中，BH2+AH2＝AB2，即BH2+（5+OH）2＝82②，②﹣①得25+10OH＝64﹣25，解得OH=7∴BH=5∴BC＝2BH=48故答案為：5，485【點評】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和勾股定理．7．（2024秋?泗陽縣期末）在⊙O中，弦AB＝3，圓心角∠A0B＝60°，則⊙O的半徑為3．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理證明△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到答案．【解答】解：∵OA＝OB，∠A0B＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝AB＝3．故答案為：3．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系和等邊三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意證明△AOB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?陽谷縣期中）在半徑為1的⊙O中，弦AB的長為1，則弦AB所對弧的度數(shù)60°或300°．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】弦AB的長恰好等于⊙O的半徑，則△OAB是等邊三角形，則∠AOB＝60°；而弦AB所對的弧有兩段，一段是優(yōu)弧，一段是劣弧；因此本題要分類討論．【解答】解：如圖：∵OA＝OB＝AB＝1，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴弦AB所對弧的度數(shù)為60°或300°．故答案為：60°或300°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系和等邊三角形的判定和性質(zhì)，要注意的是弦AB所對的圓周角有兩種情況，需分類討論，以免漏解．9．（2024?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD＝40°，則∠AOE＝【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】60°．【分析】由圓心角、弧、弦的關(guān)系推出∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，由平角定義即可求出∠AOE的度數(shù)．【解答】解：∵BC=CD=DE，∠∴∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，∴∠AOE＝180°﹣40°×3＝60°．故答案為：60°．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是由圓心角、弧、弦的關(guān)系推出∠BOC＝∠DOE＝∠COD．10．（2024秋?金鳳區(qū)期末）如圖是一種古老的灌溉工具水車的平面示意圖，其主體是一個圓形，被分成8等份，三角形OAB是水車的支架，水車的支架固定不動，主體可繞著圓心O旋轉(zhuǎn)，已知∠AOB＝60°，若OC平分∠AOB，則∠BOD的度數(shù)為15°．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運算能力．【答案】15°．【分析】因為水車主體是一個圓形，被分成8等份，因此可以求出每一等份的度數(shù)，由∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，由角度差即可求解．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠BOC=12∠AOB＝∵∠COD＝360°÷8＝45°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝45°﹣30°＝15°．故答案為：15°．【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確所求的各角和已知角度之間的和差關(guān)系．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?甘井子區(qū)期末）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，AC＝DB，AC與DB交于點M．求證：MA＝MD．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AC＝DB，得AC=BD，所以CD=AB，所以∠DAM＝∠【解答】證明：∵AC＝DB，∴AC=∴AC-∴CD=∴∠DAM＝∠ADM，∴MA＝MD．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系是關(guān)鍵．12．（2024秋?增城區(qū)期末）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求證：BD=【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】推理能力．【答案】證明見解析過程．【分析】根據(jù)圓心角、弧及弦之間的關(guān)系即可解決問題．【解答】證明：∵AB＝CD，∴AB=∴AB+∴BD=【點評】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知圓心角、弧及弦之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?西崗區(qū)期末）如圖，在⊙O中，弦AB、CD于點E，且AB＝CD．求證：AC＝BD．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，即可證明問題．【解答】證明：∵AB＝CD，∴AB=∴AC=∴AC＝BD．【點評】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．14．（2024秋?紅塔區(qū)期中）已知：如圖，OA、OB為⊙O的半徑，C、D分別為OA、OB的中點．求證：AD＝BC．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用SAS證明△AOD≌△BOC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AD＝BC．【解答】證明：∵OA，OB為⊙O的半徑，C，D分別為OA，OB的中點，∴OA＝OB，OC＝OD．在△AOD與△BOC中，∵OA=∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴AD＝BC．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角15．（2024秋?高坪區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，AC=CB，CD⊥AO于點D，CE⊥OB于點（1）求證：AD＝BE．（2）若AD＝DO，r＝3，求CD長．【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；勾股定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOC＝∠BOC，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明結(jié)論；（2）求出OD，根據(jù)勾股定理即可求出CD．【解答】（1）證明：連接OC，∵AC=∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE，在△COD和△COE中，∠COD∴OD＝OE，∵OA＝OB，∴AD＝BE；（2）解：∵AD＝DO，r＝3，∴AD＝DO=3∵CD⊥OA，∴CD=O【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、勾股定理，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

考點卡片1．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．4．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．5．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2