第15頁（共15頁）2024-2025學年下學期初中數(shù)學北師大新版八年級同步經(jīng)典題精練之分式方程一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?巢湖市期末）若關(guān)于x的分式方程2x+mA．m＞﹣6 B．m≠2 C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣42．（2024秋?普陀區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．3x+13=5C．-5x=13．（2024秋?裕華區(qū)期末）已知關(guān)于x的分式方程kx-2A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．34．（2024秋?中山市期末）解分式方程2xA．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1 C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+15．（2024秋?九龍坡區(qū)期末）初二1班同學們計劃購進A，B兩種水果送給社區(qū)養(yǎng)老院，其中A種水果的售價比B種水果的售價低4元，用240元購進A種水果的數(shù)量是用160元購進B種水果數(shù)量的2倍，求A種水果的售價？若設A種水果的售價為x元，則根據(jù)題意可列方程為（）A．240x×2=160x+4C．240x=160x二．填空題（共5小題）6．（2024秋?寶山區(qū)期末）如果x＝﹣1是關(guān)于x的方程1x+2x+1=ax7．（2024秋?寶山區(qū)期末）如果分式a-2ba-b的值為1，那么b8．（2024秋?普陀區(qū)期末）定義：如果一個關(guān)于x的分式方程ax=b的解是x=1a+b，那么我們把這樣的分式方程稱為和解方程．例如方程2x=-4就是和解方程．已知關(guān)于x9．（2024秋?如東縣期末）若關(guān)于x的分式方程2x+1-kx+1=1的解是負數(shù)，則10．（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）對于代數(shù)式m和n，定義運算“?”：m?n=3m-n+4mn，例如：4?2=3×4-2+44×2=74，若（x+1）?（x﹣2）三．解答題（共5小題）11．（2024秋?藁城區(qū)期末）解方程：（1）22（2）2x12．（2024秋?合川區(qū)期末）解下列分式方程：（1）5x（2）3x13．（2024秋?邗江區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的分式方程1-mx-14．（2024秋?墊江縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問題解方程：x-解：設y=x-1x，則原方程化為：y-4y=0，方程兩邊同時乘解得：y＝±2，經(jīng)檢驗：y＝±2都是方程y-4y=0的解，∴當y＝2時，x-當y＝﹣2時，x-1x=-2，解得：x=13，經(jīng)檢驗：x∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=1問題：（1）若在方程x-14x-xx（2）若在方程x-1x+1-4x（3）模仿上述換元法解方程：x-15．（2024秋?開福區(qū)校級期末）某市為治理污水，保護環(huán)境，需鋪設一段全長為4800米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加20%，結(jié)果提前20天完成鋪設任務．（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過36萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？

2024-2025學年下學期初中數(shù)學北師大新版八年級同步經(jīng)典題精練之分式方程參考答案與試題解析題號12345答案DADDD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?巢湖市期末）若關(guān)于x的分式方程2x+mA．m＞﹣6 B．m≠2 C．m＞﹣6且m≠2 D．m＞﹣6且m≠﹣4【考點】分式方程的解．【答案】D【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求m的取值范圍．【解答】解：去分母，得2x+m＝3（x﹣2），2x+m＝3x﹣6，解得：x＝m+6，∵2x∴m+6＞0∴m＞﹣6，∵x≠2，∴m≠﹣4，∴m＞﹣6且m≠﹣4．故選：D．【點評】此題考查了分式方程的解，注意在任何時候都要考慮分母不為0．2．（2024秋?普陀區(qū)期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．3x+13=5C．-5x=1【考點】分式方程的定義．【專題】分式方程及應用；數(shù)感．【答案】A【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：A中方程分母中不含未知數(shù)，它不是分式方程；B，C，D中方程符合分式方程的定義，它們是分式方程；故選：A．【點評】本題考查分式方程的定義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?裕華區(qū)期末）已知關(guān)于x的分式方程kx-2A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【考點】分式方程的增根．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】D【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到x﹣2＝0，據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．故選：D．【點評】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．4．（2024秋?中山市期末）解分式方程2xA．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1 C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】D【分析】根據(jù)解分式方程的方法，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可得出答案．【解答】解：2x方程兩邊同時乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．故選：D．【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2024秋?九龍坡區(qū)期末）初二1班同學們計劃購進A，B兩種水果送給社區(qū)養(yǎng)老院，其中A種水果的售價比B種水果的售價低4元，用240元購進A種水果的數(shù)量是用160元購進B種水果數(shù)量的2倍，求A種水果的售價？若設A種水果的售價為x元，則根據(jù)題意可列方程為（）A．240x×2=160x+4C．240x=160x【考點】由實際問題抽象出分式方程．【專題】分式方程及應用；應用意識．【答案】D【分析】根據(jù)用240元購進A種水果的數(shù)量是用160元購進B種水果數(shù)量的2倍，列方程即可．【解答】解：設A種水果的進價為x元，則B種水果的進價為（x+4）元，由題意，得，240x=故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答時根據(jù)條件建立方程是關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?寶山區(qū)期末）如果x＝﹣1是關(guān)于x的方程1x+2x+1=ax【考點】分式方程的增根．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】﹣2．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將x＝﹣1代入整式方程計算即可求出a的值．【解答】解：分式方程去分母得：x+1+2x＝a，即3x+1＝a，∵x＝﹣1是關(guān)于x的方程1x∴把x＝﹣1代入3x+1＝a得到﹣3+1＝a，即a＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．7．（2024秋?寶山區(qū)期末）如果分式a-2ba-b的值為1，那么b【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】0．【分析】讓所給代數(shù)式的值為1，列式求解即可．【解答】解：由題意得：a-2方程兩邊都乘a﹣b得：a﹣2b＝a﹣b，解得：b＝0，經(jīng)檢驗，b＝0是原分式方程的解，故答案為：0．【點評】本題考查了分式是值，解分式方程；掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?普陀區(qū)期末）定義：如果一個關(guān)于x的分式方程ax=b的解是x=1a+b，那么我們把這樣的分式方程稱為和解方程．例如方程2x=-4就是和解方程．已知關(guān)于x【考點】解分式方程；分式方程的解．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】20242025【分析】根據(jù)題意可得關(guān)于x的分式方程nx=2024-n的解是x=【解答】解：由題意可得關(guān)于x的分式方程nx=2024-n的解是則2024n＝2024﹣n，解得：n=2024故答案為：20242025【點評】本題考查解分式方程，分式方程的解，結(jié)合已知條件得到分式方程的解是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?如東縣期末）若關(guān)于x的分式方程2x+1-kx+1=1的解是負數(shù)，則k的取值范圍是k＞【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應用；一元一次不等式（組）及應用；運算能力．【答案】k＞1且k≠2．【分析】首先根據(jù)解分式方程的步驟，求出關(guān)于x的分式方程2x+1-【解答】解：根據(jù)題意可知，化簡分式方程可得，2﹣k＝x+1，解得：x＝1﹣k，∵1﹣k＜0，且1﹣k≠﹣1，∴k＞1且k≠2．故答案為：k＞1且k≠2．【點評】此題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握相應的運算法則是關(guān)鍵．10．（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）對于代數(shù)式m和n，定義運算“?”：m?n=3m-n+4mn，例如：4?2=3×4-2+44×2=74，若（x+1）?（x﹣2）【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】﹣9．【分析】根據(jù)新定義運算，求得(x+1)?(，即得答案．【解答】解：∵(xAx∴A+∴2A﹣B＝﹣9．故答案為：﹣9．【點評】本題考查了新定義運算，分式的加減運算，正確理解新定義運算的方法是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?藁城區(qū)期末）解方程：（1）22（2）2x【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】（1）無解；（2）x=1【分析】利用去分母將分式方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【解答】解：（1）原方程去分母得：2（2x+1）＝4，整理得：2x+1＝2，解得：x=1當x=12時，（2x+1）（2x﹣1）＝則x=1故原方程無解；（2）原方程去分母得：4x+2x+6＝7，解得：x=1檢驗：當x=16時，2x+6≠故原方程的解為x=1【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?合川區(qū)期末）解下列分式方程：（1）5x（2）3x【考點】解分式方程．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】（1）x＝5；（2）x＝2．【分析】（1）先通過方程兩邊乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后檢驗整式方程的解是不是分式方程的解；（2）先通過方程兩邊乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后檢驗整式方程的解是不是分式方程的解．【解答】解：（1）原方程去分母得5+2（x﹣7）＝﹣（x﹣6），5+2x﹣14＝﹣x+6，2x+x＝6+14﹣5，3x＝15，x＝5，檢驗：當x＝5時，x﹣7≠0，∴x＝5是原分式方程的解；（2）方程組整理得3+x（x﹣3）＝（x﹣3）2，3+x2﹣3x＝x2﹣6x+9，x2﹣x2﹣3x+6x＝9﹣3，3x＝6，x＝2，檢驗：當x＝2時，x﹣3≠0，∴x＝2是原分式方程的解；【點評】本題考查了解分式方程．熟練掌握解分式方程是關(guān)鍵．13．（2024秋?邗江區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的分式方程1-mx-【考點】分式方程的解；解一元一次不等式．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】m＜4且m≠3．【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【解答】解：方程兩邊同時乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2，解得x＝4﹣m．∵x為正數(shù)，∴4﹣m＞0，解得m＜4，∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3，∴m的取值范圍是m＜4且m≠3．【點評】本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解答此題的關(guān)鍵．14．（2024秋?墊江縣期末）閱讀下面材料，解答后面的問題解方程：x-解：設y=x-1x，則原方程化為：y-4y=0，方程兩邊同時乘解得：y＝±2，經(jīng)檢驗：y＝±2都是方程y-4y=0的解，∴當y＝2時，x-當y＝﹣2時，x-1x=-2，解得：x=13，經(jīng)檢驗：x∴原分式方程的解為x＝﹣1或x=1問題：（1）若在方程x-14x-xx（2）若在方程x-1x+1-4x（3）模仿上述換元法解方程：x-【考點】換元法解分式方程．【專題】閱讀型．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）和（2）將所設的y代入原方程即可；（3）利用換元法解分式方程，設y=x-1x+2，將原方程化為【解答】解：（1）將y=x-（2）將y=x-（3）原方程化為：x-設y=x-方程兩邊同時乘y得：y2﹣1＝0解得：y＝±1，經(jīng)檢驗：y＝±1都是方程y-當y＝1時，x-當y＝﹣1時，x-1x經(jīng)檢驗：x=∴原分式方程的解為x=【點評】本題考查了分式方程的解法，關(guān)鍵是如何換元，題目比較好，有一定的難度．15．（2024秋?開福區(qū)校級期末）某市為治理污水，保護環(huán)境，需鋪設一段全長為4800米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加20%，結(jié)果提前20天完成鋪設任務．（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過36萬元．該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用．【專題】分式方程及應用；運算能力．【答案】（1）原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，48米；（2）該公司原計劃最多應安排10名工人施工．【分析】（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道（1+20%）x＝1.2x，根據(jù)原計劃的時間＝實際的時間+20，列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率計算出原計劃的工作天數(shù)，進而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過36萬元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可．【解答】解：（1）設原計劃每天鋪設管道x米，則實際施工每天鋪設管道（1+20%）x＝1.2x米，∴48001.2∴x＝40，經(jīng)檢驗x＝40是分式方程的解，∴1.2x＝48，則原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，48米，答：原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，48米；（2）設該公司原計劃應安排y名工人施工，4800÷40＝120（天），∴300×120y≤360000，∴y≤10，則該公司原計劃最多應安排10名工人施工．【點評】此題考查了分式方程的應用，以及一元一次不等式的應用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．

考點卡片1．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個方程是否為分式方程主要是看這個方程的分母中是否含有未知數(shù)．2．分式方程的解求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應如下檢驗：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時，一定要檢驗．4．換元法解分式方程1、解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．5．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根．（3）檢驗增根的方法：把由分式方程化成的整式方程