函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究TOC\o"1-2"\h\z\u1緒論 11.1研究的意義 11.2研究內(nèi)容 21.3研究方法 22函數(shù)與方程思想的理論基礎(chǔ) 32.1函數(shù)與方程思想的含義 32.2函數(shù)與方程思想的聯(lián)系 42.3函數(shù)與方程思想現(xiàn)有研究 43高中生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想現(xiàn)狀 53.1函數(shù)與方程思想調(diào)查目的、工具、對象 63.2數(shù)據(jù)收集與處理 63.3調(diào)查結(jié)果與結(jié)論 74提高高中生函數(shù)與方程思想應(yīng)用水平的具體建議 164.1對學(xué)生的建議 164.2從性別因素提建議 174.3從年級方面提建議 185函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用研究 205.1函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化 205.2用函數(shù)與方程的思想解決關(guān)于不等式類型的問題 205.3用函數(shù)與方程的思想研究平面向量的問題 215.4函數(shù)與方程的思想在數(shù)列中的應(yīng)用 215.5函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用 236研究總結(jié)和啟示 246.1研究總結(jié) 246.2研究的不足與展望 25參考文獻(xiàn) 1摘要：學(xué)好數(shù)學(xué)，不僅僅包括掌握數(shù)學(xué)教材上的定義、定理等基礎(chǔ)知識，更重要的是掌握所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)中重要思想方法之一，是解決數(shù)學(xué)問題的一種工具，它貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)之中．本文采用問卷的方式從學(xué)生總體角度，性別角度，年級角度分析高中生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想的現(xiàn)狀，針對影響高中生函數(shù)與方程思想的性別因素與年齡因素提出相應(yīng)的建議，并探討函數(shù)與方程思想方法在不等式、平面向量、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用．希望本研究可以為教師提供部分教學(xué)借鑒，提升教師教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供一定的協(xié)助和引導(dǎo)．關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；函數(shù)與方程思想方法；應(yīng)用1緒論1.1研究的意義生活中處處存在數(shù)學(xué)，從小到大，一直在接觸，學(xué)好數(shù)學(xué)的意義在于可以利用數(shù)學(xué)的思想來幫助大家認(rèn)識物質(zhì)世界，引導(dǎo)人們把數(shù)學(xué)思維應(yīng)用到實(shí)際生活中去，用數(shù)學(xué)邏輯看待問題，以推理性思維方式對信息進(jìn)行整合和輸出，找到解決問題的路徑，許多看似完全不屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題，其實(shí)都需要用數(shù)學(xué)邏輯去解決.數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性的學(xué)科，同學(xué)們基本上從一開始學(xué)習(xí)就接觸數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)的過程中要求熟練掌握其中滲透的一些思維和方法，在大腦發(fā)育、邏輯能力的提高和綜合能力發(fā)展等方面都體現(xiàn)出了至關(guān)重要的影響力，數(shù)學(xué)思想的教育貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體系，涵蓋在各個(gè)知識點(diǎn)領(lǐng)域，如函數(shù)、幾何分析等，在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想可以說至關(guān)重要，數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)為應(yīng)對和解決一切數(shù)學(xué)問題的思維能力以及其他學(xué)科、生活實(shí)踐中處理問題的能力.這種思想不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著作用，還滲透到現(xiàn)實(shí)的各方面，通過不斷解決問題熟練運(yùn)用這種思維方式，反過來使數(shù)學(xué)思維得到訓(xùn)練，能更靈活運(yùn)用到其他問題上.

值得注意的是所提到的思想方法其實(shí)是屬于一種工具的范疇，是利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題必不可少的工具，只不過有些工具在日常生活中會(huì)經(jīng)常用到，有些工具只是當(dāng)一個(gè)擺設(shè)，但是歸根結(jié)底，每種工具都有自身的作用和價(jià)值.這些工具就好像是代步的汽車一樣，如果沒有汽車，那么人類就無法遠(yuǎn)行，沒有這些所謂的數(shù)學(xué)工具，就無法順利的解決數(shù)學(xué)問題．把數(shù)學(xué)方法滲透到教學(xué)之中，突出數(shù)學(xué)工具的作用，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值和作用，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)和整個(gè)教育體系的實(shí)際運(yùn)用目的，促進(jìn)學(xué)生將課堂上掌握的知識充分內(nèi)化，真正吸收和理解，構(gòu)建出自身完整的知識體系．學(xué)生通過加強(qiáng)理論和生活的鏈接，把數(shù)學(xué)思想貫穿到解決問題的具體環(huán)節(jié)，通過發(fā)現(xiàn)、分析和推理、論證等思維慣性，不斷提高用數(shù)學(xué)思想解決問題的意識，成為具備優(yōu)秀數(shù)學(xué)能力的國家人才力量后備軍.1.2研究內(nèi)容（1）對象的選擇本文選取的調(diào)研對象是昭通市民族中學(xué)的在校學(xué)生，這所學(xué)校位于云南省昭通市，在校高中生、初中生共有一千二百余人，教師共二百名．該學(xué)校頗具民族特色，除了普通的初中和高中班級，還特別設(shè)立了民族班級，師范班級、預(yù)科班級、少數(shù)民族專門班級等．根據(jù)本文研究的具體需要，選擇了民族中學(xué)中高二年級文理科普通班學(xué)生作為調(diào)查對象進(jìn)行問卷和測試卷調(diào)查．（2）研究內(nèi)容本文將高中在校學(xué)生列為研究對象，將學(xué)生群體對于函數(shù)與方程思想方法掌握和認(rèn)知情況作為調(diào)查要素，研究函數(shù)和方程思想的發(fā)展現(xiàn)狀，并嘗試探析函數(shù)與方程思想方法在測試卷中的應(yīng)用研究．（3）研究的創(chuàng)新點(diǎn)創(chuàng)新點(diǎn)：對高中高一階段函數(shù)，學(xué)生的理論數(shù)學(xué)邏輯思維進(jìn)行有效的系統(tǒng)培養(yǎng)，是在新課改課程要求下數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一個(gè)重要組成環(huán)節(jié)部分，在高中教學(xué)階段一直以來起著非常關(guān)鍵性的指導(dǎo)作用．對于這一創(chuàng)新思想教育方法的學(xué)術(shù)論文雖然不在少數(shù)，但都僅僅只是停留在關(guān)于解決不同類型的考題，或者只是停留在關(guān)于解決中考、高考題，欠缺了對于高中階段函數(shù)與數(shù)論方程學(xué)的思想教學(xué)方法及其數(shù)學(xué)實(shí)踐現(xiàn)狀上的分析．結(jié)合目前學(xué)生掌握程度，采用問卷法的方式對學(xué)生掌握的現(xiàn)狀進(jìn)行分析研究，以彌補(bǔ)這一研究空缺．1.3研究方法（1）問卷調(diào)查法．調(diào)查問題的設(shè)計(jì)主要包括以下幾個(gè)方面：關(guān)于數(shù)學(xué)科目的興趣情況、老師對該學(xué)科的教育現(xiàn)狀、學(xué)生對于數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識與理解等等．民族中學(xué)高二共有20個(gè)班級，主要分重點(diǎn)班、瑞麟班，本次調(diào)查的調(diào)查對象范圍是針對這兩種班級的學(xué)生進(jìn)行抽選的學(xué)生隨機(jī)選擇班級進(jìn)行調(diào)查．（2）應(yīng)用研究法．收集近期不同區(qū)域的重要測試中的試題，歸納函數(shù)和方程的思想在相關(guān)題目中的運(yùn)用情況及出現(xiàn)概率，歸納出該方法在考核項(xiàng)目中的實(shí)際應(yīng)用和出題偏好．（3）資料收集法．通過網(wǎng)絡(luò)資料庫查詢和閱覽室、圖書館調(diào)查資料，獲得所需資源材料，進(jìn)行分類和歸納整合．（4）文獻(xiàn)研究法．查找相關(guān)問題的現(xiàn)有研究文獻(xiàn)資料，研究、分析當(dāng)前學(xué)術(shù)觀點(diǎn)，結(jié)合當(dāng)前實(shí)際和自身情況，做進(jìn)一步探析論．2函數(shù)與方程思想的理論基礎(chǔ)2.1函數(shù)與方程思想的含義函數(shù)基本思想教學(xué)方法是一種泛指用數(shù)學(xué)函數(shù)的一些基本概念和基本性質(zhì)、方法來分析數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行邏輯推理、解決問題的思想方法，它是一種抽象的思路，進(jìn)而用來解決抽象問題的教學(xué)思想．它是高中數(shù)學(xué)階段用來進(jìn)行現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程解題的一種重要思維指導(dǎo)方法和教學(xué)策略，通過考慮對應(yīng)、運(yùn)動(dòng)、變化、相依等的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，從實(shí)踐中善于挖掘問題并用數(shù)學(xué)邏輯思維尋找出解決問題的思路，到達(dá)化解具體問題的基本手段．由于數(shù)學(xué)函數(shù)較為抽象，學(xué)生單純地想要依靠函數(shù)命題意義和基礎(chǔ)理論知識解答抽象問題的學(xué)習(xí)難度很高，這就必然要求學(xué)生必須熟練一定的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基本思想，才能達(dá)到化繁為簡，才能達(dá)到正確有效地理清數(shù)學(xué)函數(shù)的基本性質(zhì)，只有在實(shí)踐中才能找到抽象化的問題，并找到抽象問題解決的突破口，進(jìn)而才能達(dá)到完美地解答抽象問題的教學(xué)目標(biāo)．高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綜合程度較高，所涵蓋的函數(shù)式數(shù)量多、復(fù)雜性強(qiáng).特別是反比例函數(shù)、冪函數(shù)、復(fù)合函數(shù)，涉及的題目往往運(yùn)算量很大，要求學(xué)生必須在熟練掌握基礎(chǔ)公式的基礎(chǔ)上反復(fù)練習(xí)，才能靈活掌握和運(yùn)用．這些函數(shù)還常伴隨著圖形呈現(xiàn)，如定義域、值域和區(qū)間等．另外，有些函數(shù)還體現(xiàn)出與有物像之間的關(guān)聯(lián)，這是由函數(shù)本身的特性決定的，如在方程和不等式等中的體現(xiàn)．這種函數(shù)式的思維引導(dǎo)方法在初中學(xué)習(xí)生活中它的應(yīng)用非常普遍，它被廣泛認(rèn)為是在高中學(xué)習(xí)生活中最重要的一種思維引導(dǎo)方法．方程思想及應(yīng)用：往往把所要探索和研究的一個(gè)問題當(dāng)中未知量和其中的不同已知量之間形成一個(gè)相等大小或者數(shù)量的關(guān)系，通過構(gòu)造一個(gè)方程來建立自己的方程，并且理解一個(gè)方程求出其中不同已知量的取值，這種將其中不同的未知量進(jìn)行溝通，通過綜合運(yùn)算解決問題，得到答案的思想，就是一般意義上所稱的方程思想．方程思想體現(xiàn)在生活實(shí)際中的各個(gè)方面，在學(xué)校中，單是體育運(yùn)動(dòng)軌跡就能反應(yīng)出各種關(guān)于解析幾何、數(shù)列等方程思想的具體應(yīng)用．2.2函數(shù)與方程思想的聯(lián)系函數(shù)與方程在思想上是緊密鏈接的，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論上，方程被簡單定義為“含有未知數(shù)的等式”，其實(shí)這種概括遠(yuǎn)不足以覆蓋其本質(zhì)內(nèi)涵，甚至忽略了函數(shù)方程的模型思維，方程所展現(xiàn)的似乎是兩邊具體事物的等價(jià)特征，函數(shù)強(qiáng)調(diào)的則為特定事物的具體演化規(guī)律，這是二者之間的根本差別．函數(shù)方程的一個(gè)基礎(chǔ)概念就是一個(gè)函數(shù)的實(shí)際圖像和函數(shù)軸向的交點(diǎn)關(guān)系，作為坐標(biāo)，函數(shù)也都同樣可以被我們當(dāng)作一個(gè)函數(shù)方程；某些函數(shù)的實(shí)際關(guān)系我們甚至可以簡單地把它看成就是一個(gè)函數(shù)方程，某些函數(shù)的實(shí)際關(guān)系我們甚至可以簡單地把它看成是一個(gè)函數(shù)的實(shí)際關(guān)系，在我們開始要求和理解某些實(shí)際數(shù)學(xué)問題時(shí)，函數(shù)與其中的一個(gè)方程概念思想常常都會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化并且相互聯(lián)系滲透．所以，方程的概念思想與一個(gè)函數(shù)的概念思想之間必然有著密不可分的相互聯(lián)系．而身為一個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，必須首先要充分弄清楚一個(gè)函數(shù)的概念思想和其中的一個(gè)方程概念思想之間的相互聯(lián)系，才能更好地將其思想傳授給學(xué)生．2.3函數(shù)與方程思想現(xiàn)有研究游麗瓊的《函數(shù)與方程思想方法例談》：主要詳細(xì)介紹了等差，等比數(shù)列的各個(gè)通項(xiàng)公式，和項(xiàng)的求和及該公式與等差函數(shù)之間總是存在著很大的一種密切關(guān)系．主要闡述了等差函數(shù)與方程等比等差數(shù)列之間的密切關(guān)系，并試圖透過若干例的問題分析來詳細(xì)說明其實(shí)際上的應(yīng)用．郭文元在《淺談數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想概念內(nèi)涵》中這樣寫道：新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求數(shù)學(xué)教育必須要面向所有的全體學(xué)生，并且要體現(xiàn)其基礎(chǔ)、普及和可持續(xù)發(fā)展的特征.數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想概念是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)研究中經(jīng)常會(huì)碰到的兩個(gè)重要觀念．楊海珍、李艷在《數(shù)學(xué)思想方法的作用與滲透》中主要是對于介紹數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教育中的作用，以及如何加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的教育的主要路線等相關(guān)問題進(jìn)行了初步的探討．楊春元在《函數(shù)與方程思想在不等式數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》里運(yùn)用的是相等關(guān)系這種常見方法，作為學(xué)生們常用的基本方法和熟悉的通道，研究數(shù)學(xué)中關(guān)于不等關(guān)系等．他的研究證明，通過列舉實(shí)例代入的方法能夠判斷大小，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．通過函數(shù)圖像能夠得出不等式的相關(guān)求解集，運(yùn)用列方程來表明不等式中的區(qū)域范圍，搭建起各方面的具體應(yīng)用．曾雪萍在其著作《函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化問題在高考題中的體現(xiàn)》中選取了高考數(shù)學(xué)試卷中的不同類型的題目，其中一類題目的特征是分別運(yùn)用不同的考查方式，對學(xué)生掌握函數(shù)與方程的思想應(yīng)用能力進(jìn)行測評．具體來說，就是分段方程函數(shù)和方程時(shí)間的邏輯判斷，針對分段方程中不同的實(shí)根交點(diǎn)轉(zhuǎn)為兩個(gè)分段函數(shù)里面的實(shí)際圖像反映出來．又如選取2012年高考山東數(shù)學(xué)卷高考文科12題（該類試題主要考查一元二次分段函數(shù)與反比的實(shí)例分段函數(shù)的實(shí)際圖像，函數(shù)與兩個(gè)方程轉(zhuǎn)化問題以及如何充分利用導(dǎo)函數(shù)理論來深入研究分段函數(shù)在數(shù)學(xué)性質(zhì)的實(shí)際綜合應(yīng)用）：2012年高考福建語文卷15題（該類試題主要內(nèi)容是重點(diǎn)考查一次分段方程函數(shù)，二次分段函數(shù)，新函的定義分段函數(shù)等幾個(gè)方面的基礎(chǔ)內(nèi)容，考查分段函數(shù)和兩個(gè)方程的基本關(guān)系，函數(shù)和兩個(gè)方程之間的關(guān)系思想）．綜上所述，現(xiàn)階段關(guān)于函數(shù)與方程的思想研究已經(jīng)存在大量文獻(xiàn)，這個(gè)思想在各領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值和重要性不斷吸引更多學(xué)者注入精力投入研究．3高中生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想現(xiàn)狀通過分析現(xiàn)有的研究文獻(xiàn)，結(jié)合實(shí)際問卷資料收集的方法，對高中生群體在函數(shù)和思想方程學(xué)習(xí)領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀進(jìn)行分析．本次調(diào)查問卷的選取對象是云南省昭通市民族中學(xué)的300名學(xué)生．根據(jù)問卷調(diào)查，首先能夠清楚調(diào)查學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想的過程中所呈現(xiàn)出來的學(xué)習(xí)態(tài)度、知識掌握情況等現(xiàn)狀；其次是觀察相關(guān)因素對于數(shù)學(xué)思想的掌握和應(yīng)用方面的影響，如性別、年級、文理學(xué)科等，同時(shí)，給接下來研究學(xué)生函數(shù)與方程思想應(yīng)用水平的其他具體問題作基礎(chǔ)．3.1函數(shù)與方程思想調(diào)查目的、工具、對象3.1.1調(diào)查目的本研究的出發(fā)點(diǎn)是通過探析現(xiàn)階段高中學(xué)生關(guān)于函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)水平，進(jìn)而探索高中生關(guān)于該思想的理解和應(yīng)用．通過問卷調(diào)查方法，進(jìn)一步掌握高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)情況；并通過觀察發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)用函數(shù)與方程思想方法上存在缺陷和問題，針對所出現(xiàn)的問題，提出指導(dǎo)方案，為教師和學(xué)生提供一定的幫助．3.1.2調(diào)查工具本文使用了問卷調(diào)查的方法，通過實(shí)地采取數(shù)據(jù)，直觀了解數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想在教育中的實(shí)際反映．問卷設(shè)計(jì)為函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（詳見附錄1）．本次調(diào)查研究，在問卷中一共做了9類問題設(shè)計(jì)，題目形式全部是選擇，便于調(diào)查受眾作答，同時(shí)節(jié)約時(shí)間成本.調(diào)查試卷中，前四道題和第八題的設(shè)計(jì)是為了了解學(xué)生關(guān)于基礎(chǔ)知識理解，第五道題是考察關(guān)于學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度情況，第六道題是掌握學(xué)生利用函數(shù)與方程思想的意識，第5-6題是調(diào)查學(xué)生對函數(shù)于方程思想的運(yùn)用情況，第7題和第9題是調(diào)查學(xué)生是否養(yǎng)成了良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．3.1.3調(diào)查對象本文選取的調(diào)研對象是昭通市民族中學(xué)的在校學(xué)生，具體把該民族中學(xué)高中生作為調(diào)查對象進(jìn)行問卷調(diào)查．針對不同的年級采取總數(shù)量相同樣本，為了保證調(diào)查結(jié)果的客觀性和可參考價(jià)值，樣本的采集來源分別平均取自于不同的班級．3.2數(shù)據(jù)收集與處理調(diào)查問卷的對象和收集情況：本次調(diào)查的學(xué)校針對學(xué)生高考文理科的不同，在高一的第二學(xué)期進(jìn)行了班級分類，并且針對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力水平對班級的情況進(jìn)行了歸類.為了保證調(diào)查結(jié)果更加客觀有效，參考價(jià)值強(qiáng)，運(yùn)用了隨機(jī)抽樣的方式，把高中全體學(xué)生作為整體樣本進(jìn)行采集，避免因?yàn)榭颇坎顒e、學(xué)習(xí)水平的差異造成調(diào)查結(jié)果的偏差．本次調(diào)查分別從高中三個(gè)年級的學(xué)生中采樣，每個(gè)年級發(fā)放100份問卷，共計(jì)三百份．問卷測試結(jié)束后，現(xiàn)場回收，其中高一年級回收99份（1人缺席），高二年級回收100份，高三年級回收96份（4人缺席），一共收回295份，回收率為98.3%．對收集的學(xué)生問卷調(diào)查進(jìn)行閱讀和審查，不存在作廢的問卷，最終有效問卷為295份，有效率為98.3%．表3-1調(diào)查問卷有效的綜合分布情況．表3-1有效問卷的分布性別高一高二高三合計(jì)女生474741135男生525355160合計(jì)9910096295接下來，對學(xué)生調(diào)查問卷結(jié)果進(jìn)行認(rèn)真統(tǒng)計(jì)、分析，計(jì)算各選項(xiàng)的百分比，同時(shí)采用統(tǒng)計(jì)軟件Excel對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行輸入、處理，制作表格、餅狀圖或柱狀圖，清晰反映各項(xiàng)情況．3.3調(diào)查結(jié)果與結(jié)論結(jié)合學(xué)生調(diào)查問卷以及調(diào)查問卷的結(jié)果，得出學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想時(shí)的現(xiàn)狀，并總結(jié)出性別因素，年級因素對高中生函數(shù)與方程思想的理解與運(yùn)用水平產(chǎn)生影響的結(jié)論．3.3.1從學(xué)生總體角度去分析（1）大部分同學(xué)對函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)知識有一個(gè)基本的認(rèn)識，但認(rèn)知水平不高．以下表3-2和圖3-1綜合反映了學(xué)生關(guān)于函數(shù)與方程理解與認(rèn)識的相關(guān)調(diào)查數(shù)據(jù)．表3-2學(xué)生對函數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識的認(rèn)識內(nèi)容選項(xiàng)1、你了解函數(shù)與方程思想的基本含義嗎？非常了解10%基本了解78%不了解12%2、你對函數(shù)與方程思想的運(yùn)算過程和步驟的掌握是否明確？清晰12%一般清晰62%不清晰26%圖3-1通過表3-1，圖3-2，發(fā)現(xiàn)約占10%的高中生對函數(shù)與方程的定義有一個(gè)準(zhǔn)確的了解，有78%的高中生函數(shù)與方程的定義有一個(gè)基本的了解，對函數(shù)與方程的定義表示能夠基本理解的占比約為12%；大概有12%的高中生表示清楚掌握函數(shù)與方程的基本步驟，約為62%的高中生能夠基本清楚函數(shù)與方程的基本步驟，約26%的高中生表示關(guān)于函數(shù)與方程步驟的掌握情況為不清晰．由以上數(shù)據(jù)可得出結(jié)論：大部分學(xué)生對函數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識有一個(gè)基本的認(rèn)識，但認(rèn)知水平不高．（2）關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度，占比約為50%的高中生還認(rèn)識不到數(shù)學(xué)思維的重要性，學(xué)習(xí)態(tài)度存在攜帶的情況，需要敲響警鐘，進(jìn)一步端正．表3-3，圖3-2是老師在課堂上將函數(shù)與方程思想傳授給學(xué)生的過程中，大家學(xué)習(xí)態(tài)度的反映情況．表3-3學(xué)習(xí)態(tài)度反饋情況表內(nèi)容選項(xiàng)3、課堂上老師傳達(dá)函數(shù)與方程思想時(shí)，你持什么樣的學(xué)習(xí)態(tài)度？認(rèn)真學(xué)習(xí)，主動(dòng)思考57%簡單聽課，被動(dòng)思考40%感覺無用，幾乎不聽3%圖3-2根據(jù)表3-3和圖3-2的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)情況，可以看出，在老師講解函數(shù)與方程思想的過程中，態(tài)度特別端正并能主動(dòng)思考問題的學(xué)生僅占57%.反觀另外一個(gè)極端，有一小部分學(xué)生態(tài)度十分惡劣，課堂上根本不聽老師講課，更不會(huì)思考問題，這部分學(xué)生占比約3%．其余40%的學(xué)生態(tài)度一般，學(xué)習(xí)情況比較被動(dòng)，學(xué)習(xí)的效果也很難讓人滿意．總結(jié)以上數(shù)據(jù)可以得知：綜合計(jì)算有50%左右的高中生需要進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)積極性，端正基本態(tài)度．（3）有近一半的學(xué)生關(guān)于函數(shù)與方程思維的意識不夠強(qiáng)．表3-4，圖3-3是學(xué)生的函數(shù)與方程意識的統(tǒng)計(jì)結(jié)果．表3-4學(xué)生的函數(shù)與方程意識內(nèi)容選項(xiàng)4、你會(huì)在課后總結(jié)有關(guān)函數(shù)與方程的題目嗎？經(jīng)常47%偶爾48%從不5%圖3-3通過表3-3，圖3-3發(fā)現(xiàn)有47%的學(xué)生的函數(shù)與方程意識比較強(qiáng)，約5%的學(xué)生這方面意識較弱．（4）學(xué)生對函數(shù)與方程思想的運(yùn)用情況不容樂觀．表3-4，圖3-4是學(xué)生對函數(shù)與方程思想的運(yùn)用情況的統(tǒng)計(jì)結(jié)果．表3-4學(xué)生對函數(shù)與方程思想的運(yùn)用情況內(nèi)容選項(xiàng)5、對于一道題，你能否判斷是否需要利用函數(shù)與方程思想？能12%基本能51%不能37%圖3-4根據(jù)表3-4以及圖3-4，能夠看出：調(diào)查受眾學(xué)生中，約有51%能清楚判斷出遇到一個(gè)問題是否需要函數(shù)與方程思想；約12%不能掌握函數(shù)與方程思想，37%的學(xué)生表示基本能利用函數(shù)與方程思想解決問題．通過以上數(shù)據(jù)分析可以得到結(jié)論：目前學(xué)生對函數(shù)與方程思想應(yīng)用能力有待加強(qiáng)．（5）大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不夠科學(xué)合理．下表3-5及圖3-5為學(xué)習(xí)習(xí)慣的調(diào)查數(shù)據(jù)．表3-5學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣內(nèi)容選項(xiàng)6、對于自己解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的函數(shù)與方程題，是否經(jīng)常自覺的改正，并對錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析？經(jīng)常24%偶爾65%從不11%7、在解完一定量的函數(shù)與方程思想的題后，是否進(jìn)行歸納和總結(jié)？經(jīng)常20%偶爾52%從不28%圖3-5通過表3-5，圖3-5發(fā)現(xiàn)：只有24%的學(xué)生對自己在解決函數(shù)與方程問題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤能夠做到及時(shí)改正，并探析和回顧錯(cuò)題原因；超過一半約為66%的學(xué)生沒有把這種歸納總結(jié)的行為養(yǎng)成習(xí)慣，僅偶爾糾錯(cuò)；還有11%完全不糾錯(cuò)．另外，完成一個(gè)階段的學(xué)習(xí)并做了一定數(shù)量的題目，僅占比20%的學(xué)生會(huì)對做題方法及錯(cuò)題情況等進(jìn)行概括梳理，僅偶爾才會(huì)進(jìn)行梳理的學(xué)生占比高達(dá)52%．通過以上調(diào)查情況分析得出：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，養(yǎng)成較好習(xí)慣的學(xué)生僅占一少部分，大部分學(xué)生需要提高重視，進(jìn)一步加強(qiáng)習(xí)慣的培養(yǎng)．3.3.2從性別的角度分析在被調(diào)查的300名同學(xué)中，有男生160名，女生135名．下面，根據(jù)學(xué)生調(diào)查問卷的數(shù)據(jù)，從性別的角度分析學(xué)生對函數(shù)與方程思想的理解與應(yīng)用水平的影響．（1）男、女生對函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)知識理解水平男生略微優(yōu)于女生圖3-6通過歸納問卷中第1題的相關(guān)數(shù)據(jù)可以看出，關(guān)于對函數(shù)與方程思想的定義水平的理解問題上，男生大概有88%“達(dá)到了基本了解的水平”，這個(gè)數(shù)據(jù)在女生群體中的占比表現(xiàn)為85%，男生和女生在這個(gè)問題上的比例雖有差別但不明顯，幾乎持平．通過分析第2題作答結(jié)果，對于分類討論的一般步驟的認(rèn)識水平，能夠“達(dá)到基本清晰”程度的在男生中的占比約為79%，女生占比約為74%.女生稍微遜色于男生．（2）男、女生學(xué)習(xí)分類討論時(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度沒有明顯差異從問卷題目中第5題的作答統(tǒng)計(jì)結(jié)果看出，在教師的授課過程中，逐漸滲透函數(shù)與方程的思想的時(shí)候，男生和女生在“聽課的認(rèn)真程度、思考的積極性”上基本上沒有明顯差異．男生“認(rèn)真學(xué)習(xí)，主動(dòng)思考”的占比是55%，女生是約57%，“態(tài)度為只是聽聽，思考比較被動(dòng)”的學(xué)生中，男生占比為41%，女生占比為42%，“感覺根本沒用，直接不聽課”學(xué)生中男生占比4%，女生約有1%，男生的態(tài)度要稍差于女生，不過差別不是很大．（3）對函數(shù)與方程思想的理解、運(yùn)用水平，男生明顯強(qiáng)于女生.圖3-7關(guān)于第7題的設(shè)定是這樣的：面對數(shù)學(xué)題目，基本可以判斷出是否使用函數(shù)與方程思想的人數(shù)中，男生占比為72%，女生明顯占比較少，僅為56%；關(guān)于第8個(gè)題目，即面對數(shù)學(xué)題目時(shí)，可以基本確定研究對象并進(jìn)行合理分析的學(xué)生中男生與女生的差距較大，男女生分別為68%和52%，這點(diǎn)值得引起重視和思考．（4）在函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)習(xí)慣上，男生和女生各有特點(diǎn)，存在不同的優(yōu)勢圖3-8根據(jù)關(guān)于第7題解答的整體情況，可以得知，在錯(cuò)題的糾正自覺性、深度挖掘錯(cuò)題原因方面，男生占比為27%，女生稍微偏低約為21%．根據(jù)第9題的調(diào)查結(jié)果顯示，針對完成部分函數(shù)與方程的題目解答之后，經(jīng)常對做過的同題目進(jìn)行梳理和歸納的學(xué)生群體中，女生占比為21%左右，男生占比僅為13%，女生的整體總結(jié)習(xí)慣要比男生好.具有偶爾歸納行為的男生和女生占比不相上下，總體來說，男生有歸納行為的比例約為56%，低于女生占比64%的水平．通過對這兩題的數(shù)據(jù)分析，可以發(fā)現(xiàn)：單純地從學(xué)生對問題的思考程度進(jìn)行分析，男生好于女生；單純地從有無歸納總結(jié)的角度進(jìn)行分析，女生明顯好于男生．由此可得出結(jié)論：男、女生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想時(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣各有所長．3.3.3從年級角度進(jìn)行分析（1）隨年級的不斷升高，學(xué)生們對函數(shù)與方程思想的理解在逐步加深調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，高中三個(gè)不同年級的人之間對于函數(shù)與數(shù)學(xué)思想方法的了解情況，能達(dá)到基本了解水平的，從高一到高三的占比分別為81%、87%、92%，隨著年齡和年級的上升，呈現(xiàn)出理解加深的發(fā)展趨勢．這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)一步證明數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，這不是一朝一夕的事情，需要不斷地堅(jiān)持．（2）隨著年級的升高，學(xué)生對函數(shù)與方程的應(yīng)用水平在逐步提高在對一道函數(shù)與方程問題進(jìn)行求解時(shí)，高一年級只有43%的同學(xué)能夠準(zhǔn)確識別應(yīng)用該方法，到高二年級變?yōu)?4%，到高三年級這一數(shù)據(jù)變?yōu)?6%．由以上數(shù)據(jù)得出，隨著年級的升高，學(xué)生對函數(shù)與方程的應(yīng)用在逐步提高．（3）隨著年級的升高，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度在逐步提高在課堂中接受函數(shù)與方程思想教育過程中，能夠積極學(xué)習(xí)、主動(dòng)思考的學(xué)生比例從高一到高三呈現(xiàn)出了逐級遞增的表象．其中，高一學(xué)生中約有占比41%的人能夠做到上課時(shí)認(rèn)真學(xué)習(xí)、主動(dòng)思考問題；高二學(xué)生中這個(gè)比例占到了54%，高三則上升為65%左右占比，呈現(xiàn)出明顯的階梯增長.學(xué)習(xí)態(tài)度隨著年級增長日漸提升得到了證明．圖3-9（4）高年級的學(xué)生比低年級的學(xué)生在學(xué)習(xí)習(xí)慣養(yǎng)成上普遍更好關(guān)于錯(cuò)題的糾錯(cuò)和分析，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，針對函數(shù)與方程思想應(yīng)用題目中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，可以主動(dòng)進(jìn)行糾錯(cuò)，且分析錯(cuò)因、進(jìn)行總結(jié)的學(xué)生占比高一為15%、高二為27%高三為33%，能夠做到經(jīng)常糾錯(cuò)、整理總結(jié)的學(xué)生占比情況為高一15%、高二25%、高三31%.可以總結(jié)出結(jié)論：學(xué)生對著高中學(xué)習(xí)過程的推進(jìn)，逐漸積累了糾正錯(cuò)誤、總結(jié)歸納的習(xí)慣，隨著年級增長，這個(gè)群體人數(shù)比例逐漸增加．圖3-104提高高中生函數(shù)與方程思想應(yīng)用水平的具體建議根據(jù)上一章的調(diào)查情況，嘗試調(diào)查分析高中學(xué)生在函數(shù)與方程的思想方面的學(xué)習(xí)情況，并研究了學(xué)生群體對該思想的理解與應(yīng)用能力有差別的導(dǎo)致因素，并深入探析了高中生在函數(shù)與方程思想學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的障礙以及性別差異、年級差異等．接下來，本文將以調(diào)查數(shù)據(jù)和結(jié)論為基本依據(jù)，嘗試提出幾點(diǎn)對高中生函數(shù)與方程思想應(yīng)用水平的幾點(diǎn)建議．4.1對學(xué)生的建議4.1.1存在的問題根據(jù)第3章的調(diào)查結(jié)論，本文可得出學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)以方程思想時(shí)存在如下問題：（1）學(xué)生對函數(shù)與方程思想有一個(gè)基本的認(rèn)識，但是認(rèn)知水平不太高；（2）接近一半的學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度不是很端正；（3）接近一半的學(xué)生對學(xué)習(xí)函數(shù)與方程意識不強(qiáng)；（4）學(xué)生對函數(shù)與方程思想的運(yùn)用情況不容樂觀；（5）大部分的學(xué)生有待養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．4.1.2提出建議對于學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的上述問題，提出以下幾點(diǎn)建議：（1）增加學(xué)習(xí)力度，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識體系的牢固性在高中數(shù)學(xué)的整體課程中，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想拓展解題思路一直都是解決數(shù)學(xué)問題的重要方點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．顯而易見，學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力是至關(guān)重要的，要想熟練并靈活御用函數(shù)與方程思想處理相關(guān)問題，需要在基礎(chǔ)理論上牢固掌握函數(shù)與方程思想，端正學(xué)習(xí)態(tài)度，改良學(xué)習(xí)習(xí)慣，主動(dòng)思考，培養(yǎng)善于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的良好習(xí)慣．扎實(shí)了解函數(shù)與方程思想的概念、原則以及應(yīng)用步驟，把基礎(chǔ)理論內(nèi)化到個(gè)人的知識體系中，做到真正的扎實(shí)學(xué)習(xí)、靈活運(yùn)用．基于此，當(dāng)出現(xiàn)綜合性高、復(fù)雜性強(qiáng)的難題時(shí)，都可以迎刃而解．（2）提高關(guān)于函數(shù)與方程思想的意識依據(jù)第3章的調(diào)查數(shù)據(jù)不難看出，占有相當(dāng)比例的學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解答中缺乏函數(shù)與方程的思想，導(dǎo)致在解題過程中，沒能及時(shí)地反映要用到函數(shù)與方程的思想．這就要求學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，逐步提高自己函數(shù)與方程的意識．首先，學(xué)生可以求解一些簡單的應(yīng)用函數(shù)與方程思想的問題，感知對于什么樣的問題需要應(yīng)用函數(shù)與方程思想，然后根據(jù)自己已經(jīng)掌握的知識，逐步加深所做函數(shù)與方程思想問題的難度，使自己的函數(shù)與方程思想意識增強(qiáng)．（3）端正自己的學(xué)習(xí)態(tài)度毛主席教育我們要振作精神，下苦功學(xué)習(xí)．同樣，著名作家許楊曾經(jīng)說過：“學(xué)習(xí)就像登上，只有堅(jiān)持不懈的人，才能到達(dá)頂峰，并觀賞到精美絕倫的風(fēng)景”．由此可見，良好的學(xué)習(xí)態(tài)度對于學(xué)習(xí)的重要性．作為一名高中生，在人生的關(guān)鍵時(shí)刻，一定要端正自己的學(xué)習(xí)態(tài)度．（4）加強(qiáng)函數(shù)與方程思想方法相應(yīng)題目的訓(xùn)練雖然函數(shù)與方程的思想入門難度不高，但如果想要深度掌握、并擁有靈活應(yīng)用能力則有些困難．學(xué)生需要在掌握函數(shù)與方程的思想基礎(chǔ)力量的前提下，加強(qiáng)題目訓(xùn)練，熟悉應(yīng)用技巧，再結(jié)合到綜合實(shí)踐之中，加強(qiáng)和拔高自己的知識運(yùn)用能力，真正做到學(xué)以致用．4.2從性別因素提建議4.2.1存在的問題根據(jù)第3章調(diào)查問卷的分析，可得出結(jié)論：（1）男、女生對函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ)知識理解水平男生略微優(yōu)于女生；（2）男、女生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程時(shí)的態(tài)度沒有明顯的差異；（3）對函數(shù)與方程思想的理解、運(yùn)用水平，男生明顯強(qiáng)于女生；（4）男、女生學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想時(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣各有所長．4.2.2提出建議對于這種情況，提出以下建議：（1）以下三個(gè)不同的因素切入，探析男生在數(shù)學(xué)思想養(yǎng)成方面的優(yōu)勢產(chǎn)生的原因，進(jìn)而思考幫助女生提高數(shù)學(xué)思想水平提升的辦法．①生理因素：經(jīng)科學(xué)研究反復(fù)論證，人類的右半球大腦發(fā)育情況中，男性比女性表現(xiàn)出內(nèi)部鏈接更為發(fā)達(dá)的特性，而數(shù)學(xué)能力的管控區(qū)域位于大腦右半球.基于性別差別的先天性優(yōu)勢，男生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)更加容易，這就使得女生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的某些方面不具備優(yōu)勢．②心理因素：心理學(xué)家張厚粟等人經(jīng)過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在高中生中，在較復(fù)雜和綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，男生能自主的有主見的決定探索的方向，并且能夠持之以恒，在遇到困難時(shí)不輕易放棄，有很強(qiáng)的自我控制能力，最后獲得進(jìn)步和成功．相比之下，女生比較缺乏獨(dú)立思考的能力，遇到難題，比男生放棄的概率要更高一些，表現(xiàn)出來更被動(dòng)、依賴性強(qiáng)的特點(diǎn)．③環(huán)境因素：歷史條件和社會(huì)特性決定了男生具備耐力強(qiáng)、更理性等屬性，而男生的社會(huì)評價(jià)與男生大相徑庭，一般表現(xiàn)為細(xì)心、柔和、被動(dòng)等，鑒于傳統(tǒng)歷史中男女社會(huì)分工不同，加上現(xiàn)代文明程度還不夠，對于女生的弱勢標(biāo)簽也從一定程度上削弱了女生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的自信．通過以上探究，可以看出女生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面更加需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)態(tài)度的培養(yǎng)，注重?cái)?shù)學(xué)思維能力的建設(shè)，正確接納女性在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的弱勢因素，擺脫依賴慣性．（2）注重女生思維品質(zhì)的培養(yǎng)新課程理念要求以“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則，因此在課堂上可以讓女同學(xué)多多參與到課堂教學(xué)中來，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性．（3）提高女生學(xué)習(xí)興趣、樹立自信心與男生相比，女生更傾向于形象的思維方式．鑒于這種特性，老師應(yīng)該做出區(qū)別化的課程設(shè)計(jì)，針對女生更偏向于諄諄誘導(dǎo)的教學(xué)形式，更多地運(yùn)用實(shí)際案例將把抽象的理論概念展現(xiàn)出來，培養(yǎng)女生的學(xué)習(xí)自信，在深入理解相關(guān)公式等基礎(chǔ)知識的前提下，學(xué)會(huì)使用各種數(shù)學(xué)思維靈活運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)邏輯推理能力.具體來說，第一，應(yīng)在教學(xué)中增加情景設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐、作用于生活的道理傳輸給學(xué)生；第二，嘗試運(yùn)用實(shí)例代入教學(xué)，使得學(xué)生能夠充分理解和體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．4.3從年級方面提建議4.3.1存在的問題根據(jù)第3章調(diào)查問卷的分析，本文可得出不同年級學(xué)習(xí)函數(shù)與方程思想存在如下結(jié)論：（1）隨著年級的升高，學(xué)生對函數(shù)與方程思想的理解在逐步加深；（2）隨著年級的升高，學(xué)生對函數(shù)與方程思想的應(yīng)用水平在逐步提高；（3）隨著年級的升高，學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度在逐步提高；（4）隨著年級的升高，學(xué)生關(guān)于學(xué)習(xí)良好習(xí)慣上有提升趨勢．4.3.2提出建議為了使學(xué)生在各個(gè)方面取得進(jìn)步，提出如下幾方面建議：（1）增設(shè)數(shù)學(xué)教育的研究實(shí)踐活動(dòng)．教學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)和目的都是為了優(yōu)化教學(xué)方式、改善教學(xué)質(zhì)量、提升學(xué)習(xí)效果．理想的教研活動(dòng)能夠起到增進(jìn)老師間教育手段、專業(yè)技能、傳授技巧、教育心得和先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)等方面的互動(dòng)交流，開展有效的教研活動(dòng)，能夠在交流和溝通中促使老師學(xué)習(xí)到各種教學(xué)方法，以便于在以后的教學(xué)中，選擇最適合自身教育特點(diǎn)和班級學(xué)生具體情況的教學(xué)方法來進(jìn)行教學(xué)．另外，還有利于使得教師認(rèn)識到自己在教學(xué)中的不足并且發(fā)現(xiàn)其他老師具有的優(yōu)點(diǎn)，取長補(bǔ)短，優(yōu)化自己的教學(xué)方法．（2）注重校園的風(fēng)氣建設(shè)，營造良好的思想政治環(huán)境和校園學(xué)習(xí)氛圍．學(xué)校要始終把重視風(fēng)氣樹立，建設(shè)良好的學(xué)風(fēng)，并將風(fēng)氣建設(shè)思想貫穿在學(xué)校治學(xué)的方方面面．搞好風(fēng)氣建設(shè)一方面能夠在學(xué)校中以環(huán)境影響的方式強(qiáng)化學(xué)生的管理，嚴(yán)格落實(shí)學(xué)校各項(xiàng)規(guī)范的實(shí)施；另一方面，還可以鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與到校園風(fēng)氣建設(shè)中來，增加參與感和主動(dòng)性，通過這種方式促使學(xué)生們主動(dòng)維持良好的校風(fēng)和班風(fēng)，構(gòu)建良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，從而保證學(xué)習(xí)質(zhì)量．（3）創(chuàng)建多種形式的講座活動(dòng)，提高學(xué)生積極性．具體來說，可以規(guī)劃和開展一些以愛國、勵(lì)志為主題的知識講座，增設(shè)名人名事的案例分享，幫助學(xué)生形成目標(biāo)和志向，激發(fā)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和能動(dòng)性．通過分析講座活動(dòng)的開展成果，可以發(fā)現(xiàn)講座的開展不僅能促進(jìn)學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度、培養(yǎng)優(yōu)秀習(xí)慣，還能促使學(xué)生通過對比觀察案例中的思考方法，進(jìn)行思考和整合，內(nèi)化成為自己的優(yōu)秀品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)的最終成果．如果每個(gè)年級的學(xué)生都能在學(xué)習(xí)品質(zhì)，學(xué)習(xí)態(tài)度，學(xué)習(xí)習(xí)慣上有所改變和提高的話，在一定的程度上會(huì)促進(jìn)整個(gè)年級學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提高．5函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用研究5.1函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化例1：若，是正數(shù)，且滿足，則的取值范圍．思路：，是正數(shù)，可以構(gòu)造二次方程，研究二次方程的根的分布處理問題．解析：設(shè)是正數(shù)，則，因此，是方程的兩正根，故，所以，所以總結(jié)：構(gòu)造法是函數(shù)與方程思想方法中經(jīng)常用到的一個(gè)重要手段，其實(shí)質(zhì)是在構(gòu)造函數(shù)與方程后利用函數(shù)與方程的性質(zhì)處理相關(guān)問題．5.2用函數(shù)與方程的思想解決關(guān)于不等式類型的問題數(shù)學(xué)中關(guān)于不等式的題目往往包含多個(gè)知識點(diǎn)的運(yùn)用，如函數(shù)圖像、方程式等．其中，二次函數(shù)問題一直是高中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，也是整個(gè)中學(xué)階段數(shù)學(xué)的教育核心，因此，深度把握函數(shù)與方程思想解決二次函數(shù)和不等式之間的轉(zhuǎn)化問題更顯重要．例2：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，，求的取值范圍．解析：在這個(gè)題中有兩個(gè)未知數(shù)和，其中，另一個(gè)未知量的取值范圍就是我們需要求的解，此時(shí)我們需要先把和拆開，這個(gè)過程我們叫它分離．由分析可知，需要先移向，等價(jià)于永遠(yuǎn)大于的值即可．因此這道題成功的被轉(zhuǎn)化成為求的值問題．由于，所以，則可以歸納出，解得：．總結(jié)：不等式是人教版高中必修五所學(xué)的內(nèi)容，高二學(xué)生所接觸的一個(gè)新的內(nèi)容，隨著年級的升高，學(xué)生對函數(shù)與方程思想的應(yīng)用在逐步提高，所以該題難度比較適合高二的學(xué)生．5.3用函數(shù)與方程的思想研究平面向量的問題例3：已知，是互相垂直的單位向量，如果，，，則對于任意，，的最小值為．思路：考慮到本題有，兩個(gè)參數(shù)，建立二元函數(shù)更有利于解決問題．解析：當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值2.此時(shí)取得最小值，故填．總結(jié)：平面向量最值問題更多的是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，而本題是將平面向量問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)，進(jìn)而求出最（?。┲导右越鉀Q．5.4函數(shù)與方程的思想在數(shù)列中的應(yīng)用高中的數(shù)學(xué)教育體系中一直將數(shù)列作為教學(xué)重點(diǎn)，屬于考核比較集中的領(lǐng)域．由于數(shù)列所呈現(xiàn)的是一種特殊的形式，該部分知識點(diǎn)反應(yīng)出來的數(shù)學(xué)思維包括函數(shù)與方程思想應(yīng)用．通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)和方程的思想來認(rèn)識和解決數(shù)列問題，能夠有利于學(xué)生從本質(zhì)上把握數(shù)列的根本理論，處理和解決的思路得以清晰化和簡化，鑒于此，函數(shù)知識在邏輯思維搭建的基礎(chǔ)上融入數(shù)學(xué)知識體系，逐漸形成數(shù)學(xué)綜合能力應(yīng)用到具體問題中去．以數(shù)列中關(guān)于范圍的問題，求最值的解答過程即可運(yùn)用函數(shù)思想來完成．例4：設(shè)數(shù)列滿足，．（1）計(jì)算，，推測的通項(xiàng)公式并證明．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（1）由，，，，猜想的通項(xiàng)公式為．證明如下：（數(shù)學(xué)歸納法）時(shí)，顯然成立；假設(shè)時(shí)，即成立；其中，①由②故假設(shè)成立，綜上①②，所以解析：（2）令則前項(xiàng)和③由③兩邊同乘以2得：④由③—④得化簡得．總結(jié)：該題是有關(guān)數(shù)列的一個(gè)綜合性題目，試題的難度達(dá)到高考的難度．例5：設(shè)等比數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)的和.若，求．解析：（1）設(shè)公比為，則由得，，所以．（2）由（1）有，是一個(gè)以0位首，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以解得：或（舍去），所以．5.5函數(shù)與方程思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和函數(shù)單調(diào)問題時(shí)，都不可避免地經(jīng)歷列方程的過程．我們可以使用方程思想，完成集合和代數(shù)問題之間的轉(zhuǎn)換和計(jì)算．另外，聯(lián)系運(yùn)用其他數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合，再次完成代數(shù)與幾何問題之間的切換和處理．現(xiàn)在高考及相關(guān)測試題目中，常見的題型是將多種解題的數(shù)學(xué)思想綜合于同一道題目中，考察學(xué)生對于函數(shù)和方程思想的掌握程度及應(yīng)用能力的靈活性以此來達(dá)到考察學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的效果．例6：已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性.（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解析：（1）由題意可得，定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，或，在單調(diào)遞增或單調(diào)遞增．，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可知，時(shí)（舍去），當(dāng)，由題易得且，，解得．例7：設(shè)，，在點(diǎn)處有極小值-1．（1）試確定，的值．（2）求出的單調(diào)區(qū)間．解析：（1），所以，即．（2）設(shè)為的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)題意，，且，則，由，，顯然在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，易得，，，，所以，．設(shè)為的零點(diǎn)，則必有，即，，，即，所以的所有零點(diǎn)的絕對值小于等于1．6研究總結(jié)和啟示6.1研究總結(jié)該論文論述和剖析了函數(shù)與方程思想方法的內(nèi)涵及相關(guān)應(yīng)用情況．運(yùn)用運(yùn)算演示論證、問卷調(diào)查等方法進(jìn)一步探究高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的具體應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)思想的重要作用在這一領(lǐng)域得到了深度體現(xiàn)，切實(shí)理解并熟練運(yùn)用好數(shù)學(xué)思想，對于數(shù)學(xué)解題及其他領(lǐng)域?qū)嶋H問題的處理都具有重大意義．思想與思想之間、思想與生活實(shí)踐之間都體現(xiàn)出了高度鏈接性，通過與其他思想或方法的巧妙融合、科學(xué)發(fā)揮功能，能夠使思想的應(yīng)用發(fā)揮出更理想的效果.通過調(diào)查研究，本文針對函數(shù)和方程思維應(yīng)用方面的教育和學(xué)習(xí)，提出以下具體意見：（1）分析邏輯規(guī)律，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣眾所周知，興趣最好的老師，是學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性的內(nèi)在動(dòng)力來源，培養(yǎng)學(xué)生的興趣是最終能達(dá)到學(xué)習(xí)目的先決因素.數(shù)學(xué)教師作為學(xué)生的數(shù)學(xué)思想啟蒙者，有必要在課程開始前將數(shù)學(xué)思維的原理及重要應(yīng)用給學(xué)生們講述清楚，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維的重要價(jià)值，學(xué)生自己是最終的受益者和使用者，其價(jià)值并不僅僅局限于解決紙面上的題目、取得理想的考試成績.要重視學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性的培養(yǎng)，研究激發(fā)學(xué)生求知欲望的根本動(dòng)力，靈活利用現(xiàn)有資源，發(fā)掘?qū)W生的天賦和數(shù)學(xué)創(chuàng)造性，采取更為恰當(dāng)?shù)男问脚囵B(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知和愛好，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用，從根本上增強(qiáng)其思考、解決問題的能力.（2）引導(dǎo)思維習(xí)慣的形成，培養(yǎng)重視數(shù)學(xué)思想的意識，提高學(xué)生的思維品質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣是數(shù)學(xué)教育首先要重視的問題.數(shù)學(xué)邏輯思維能力是解決一切數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，加強(qiáng)思維能力教育對于學(xué)生的全面發(fā)展發(fā)揮著重要作用．品質(zhì)思維的形成是增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維能力的重要路徑．這就要求把包含函數(shù)與方程思想在內(nèi)的七大高中階段的數(shù)學(xué)思想牢固掌握，以此為基礎(chǔ)培養(yǎng)優(yōu)秀的思維品質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通、理論聯(lián)系實(shí)際的各種能力，將數(shù)學(xué)思維靈活應(yīng)用到各個(gè)方面．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)區(qū)別于其他學(xué)科，一個(gè)知識點(diǎn)能體現(xiàn)諸多數(shù)學(xué)思想，各種思想綜合發(fā)揮作用，具有高度復(fù)合性.鑒于此，教學(xué)過程中更加需要重視數(shù)學(xué)思想意識和思維品質(zhì)的培養(yǎng)，對各類問題進(jìn)行積極主動(dòng)的思考，逐漸深化思維能力．6.2研究的不足與展望6.2.1研究的不足之處（1）更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域尚未研究，如函數(shù)與方程思想與二項(xiàng)式定理之間的聯(lián)系等，這些領(lǐng)域與數(shù)學(xué)思想的聯(lián)系有待深入思考．（2）在教學(xué)方面，關(guān)于學(xué)生深化知識應(yīng)用的教育指導(dǎo)方法有待提高．（3）對研究現(xiàn)狀的把握不夠全面，對已有成果的總結(jié)和分析缺乏深度．6.2.2研究展望檢驗(yàn)出真知，所有的基礎(chǔ)理論和命題都需要經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證．經(jīng)過相當(dāng)程度的實(shí)際驗(yàn)證，循序漸進(jìn)地針對基礎(chǔ)理論的不足住處做出修改和調(diào)整．鑒于目前本文中關(guān)于以上相關(guān)問題研究還存在很多不足之處，對將來的繼續(xù)研究工作進(jìn)行以下展望：（1）擴(kuò)展查詢途徑和學(xué)習(xí)方法，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，加大搜索范圍，獲取更全面的關(guān)于函數(shù)和方程思想方法的現(xiàn)有文獻(xiàn)，進(jìn)一步把握考試題目的即時(shí)動(dòng)態(tài)和命題趨勢，達(dá)到深度拓展研究領(lǐng)域和獲取前瞻性研究方法的目標(biāo)．（2）進(jìn)一步關(guān)注其他區(qū)域范圍內(nèi)的高中試題情況，并進(jìn)行收集、比較、分類等工作，分析命題方式和規(guī)律、趨勢．（3）研究如何將函數(shù)與方程思想應(yīng)用到日常