22.2.1直接開平方法和因式分解法---因式分解法第22章一元二次方程華東師大版數(shù)學(xué)九年級上冊【公開課精品課件】授課教師：********班級：********時間：********人教版教材九年級上冊第22章“一元二次方程”，主要內(nèi)容包括一元二次方程的定義、一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）、一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的應(yīng)用。首先，通過實際問題，如傳播問題、面積問題等，引入一元二次方程的概念，讓學(xué)生理解只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式為?ax?

（?b2?4ac≥0）求解方程；因式分解法是將方程化為兩個一次因式乘積等于0的形式求解。然后，探究一元二次方程根的判別式?Δ=b2?4ac，通過判別式的值判斷方程根的情況。再介紹一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即若方程?ax2+bx+c=0（?a

=0）的兩根為?x1?

，?x2?

，則?x1?+x2?=?ab?

，?x1?x2?=ac?

。最后，通過解決實際問題，如增長率問題、幾何圖形問題等，讓學(xué)生體會一元二次方程在實際生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。?三、單元學(xué)情分析?學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組等知識，對方程的概念、解法以及應(yīng)用有了一定的基礎(chǔ)，這為學(xué)習(xí)一元二次方程提供了知識和方法上的借鑒。但一元二次方程的解法更為復(fù)雜，涉及到配方、因式分解等多種技巧，學(xué)生在理解配方法的原理、正確運用公式法以及靈活選擇因式分解法時可能會遇到困難。此外，在將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程模型時，學(xué)生可能難以準(zhǔn)確分析問題中的數(shù)量關(guān)系，建立合適的方程。同時，對于一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，學(xué)生理解和應(yīng)用起來也具有一定的挑戰(zhàn)性。?四、單元學(xué)習(xí)目標(biāo)?知識與技能目標(biāo)?理解一元二次方程的概念，能判斷一個方程是否為一元二次方程，能將一元二次方程化為一般形式，確定各項系數(shù)。?掌握一元二次方程的各種解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法），能根據(jù)方程的特點選擇合適的解法求解方程。?理解一元二次方程根的判別式，能運用判別式判斷方程根的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。?能運用一元二次方程解決簡單的實際問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。?過程與方法目標(biāo)?通過觀察、分析、歸納等活動，經(jīng)歷一元二次方程概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力。?-在探究一元二次方程解法的過程中，體會從特殊到一般、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力和運算能力。?-通過實際問題的解決，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。?情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)?感受一元二次方程在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。?-在解方程和解決實際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于探索的精神，讓學(xué)生在解決問題的過程中獲得成功的體驗，增強(qiáng)自信心。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值三特征：ax2+bx+c=0(a≠0)三條件：(1)整式方程(2)一元(3)二次定義解(根)一元二次方程一般式問題1

解下列方程：(1)x2－3x＝0；(2)25x2＝16解：（1）將原方程的左邊分解因式，得x(x-3)＝0；

則

x=0，或

x-3=0，解得

x1

=0，x2

=3.（2）將方程右邊常數(shù)項移到左邊，再根據(jù)平方差公式因式分解，得

x1

=0.8，x2

=-0.8.像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.知識要點1因式分解法使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例講解例1

解下列方程(1)3x2+2x=0; (2)x2=3x解：(1)方程左邊分解因式，得x(3x+2)=0所以x=0或

3x+2=0

(2)移項，得x2-3x=0方程左邊分解因式，得x(x-3)=0所以

x=0或

x-3=0

得得知識要點2因式分解法的步驟一移——使方程的右邊為

0；二分——將方程的左邊因式分解；三化——將方程化為兩個一元一次方程；四解——寫出方程的兩個解.簡記：右化零，左分解；兩因式，各求解.解下列方程：(1)(x

+

1)2

=

5x

+

5；即

x1

=

?1，x2

=

4．(2)x2

?

6x

+

9

=(5

?

2x)2．解：∵

(x

+

1)2

=

5(x

+

1)，∴

(x

+

1)2

-

5(x

+

1)=

0.則(x

+

1)(x

?

4)=

0.∴

x

+

1

=

0，或

x

?

4

=

0，解：方程整理得

(x

?

3)2

?

(5

?

2x)2

=

0，則[(x?3)+(5?2x)][(x?3)?(5?2x)]=0，∴

2

?

x

=

0，或

3x

?

8

=

0，即

x1

=

2，x2

=.即(2?

x)(3x

?8)=

0.例2

用因式分解法解下列方程：(1)4x2=12x; (2)(x-2)(2x-3)=6;解

:(1)移項得4x2-12x=0,即x2-3x=0,

x(x-3)=0,得x1=0,x2=3;(2)原方程可以變形為2x2-7x=0,

分解因式為x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5;返回1.我們解一元二次方程3x2－6x＝0時，可以運用因式分解法，將此方程化為3x(x－2)＝0，從而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，進(jìn)而得到原方程的解為x1＝0，x2＝2.這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是(

)A．轉(zhuǎn)化思想 B．函數(shù)思想C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．公理化思想A返回2.一元二次方程x2＋2x＝3x＋6的解為(

)A．x＝3 B．x＝－2C．x1＝2，x2＝－3 D．x1＝－2，x2＝3D【點撥】原方程變?yōu)閤(x＋2)＝3(x＋2)．整理，得(x＋2)(x－3)＝0，解得x1＝－2，x2＝3.故選D.返回3.[2024·重慶一中模擬]方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正確解法是(

)A．直接開平方得3(x＋1)＝2(x－1)B．化成一般形式為13x2＋5＝0C．因式分解得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0D．直接得x＋1＝0或x－1＝0C返回4.一元二次方程(2x＋3)(x－5)＝x2－25的解為(

)A．x＝2 B．x＝5C．x1＝5，x2＝－2 D．x1＝5，x2＝2D【點撥】原方程變?yōu)?2x＋3)(x－5)－(x＋5)·(x－5)＝0，左邊提公因式，得(x－5)·(2x＋3－x－5)＝0，即(x－5)(x－

2)＝0，解得x1＝5，x2＝2.故選D.5.在正數(shù)范圍內(nèi)定義運算“※”，其規(guī)則為a※b＝a＋b2，則方程x※(x＋1)＝5的解是(

)A．x＝5 B．x＝1C．x1＝1，x2＝－4 D．x1＝－1，x2＝4B【點撥】x※(x＋1)＝5，x＋(x＋1)2＝5，x2＋3x－4＝0，(x－1)(x＋4)＝0，x－1＝0或x＋4＝0.∴x1＝1，x2＝－4.∵在正數(shù)范圍內(nèi)定義運算“※”，∴x＝1.故選B.返回6.點P的橫、縱坐標(biāo)恰好是方程x2－2x－15＝0的兩個根，則經(jīng)過點P的正比例函數(shù)圖象一定過(

)A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一象限 D．第四象限返回【點撥】x2－2x－15＝0，(x－5)(x＋3)＝0，x－5＝0或x＋3＝0，x1＝5，x2＝－3.∵點P的橫、縱坐標(biāo)恰好是方程

x2－2x－15＝0的兩個根，∴點P的坐標(biāo)為(5，－3)或(－3，5)，故經(jīng)過點P的正比例函數(shù)圖象一定過第二、四象限．故選B.【答案】B返回7.[2022·云南]方程2x