隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)稱為時(shí)變電磁場(chǎng)。時(shí)變電磁場(chǎng)比靜態(tài)電磁場(chǎng)要復(fù)雜得多，主要表現(xiàn)在：時(shí)變電磁場(chǎng)之間相互激勵(lì)而具有的波動(dòng)特性，波動(dòng)使時(shí)變電磁場(chǎng)的疊不僅要考慮矢量的方向，同時(shí)還要考慮波相位對(duì)疊加的影響；電磁場(chǎng)的大小和方向隨時(shí)間而變化，將導(dǎo)致介質(zhì)的極化和磁化特性隨時(shí)而變，使介質(zhì)呈現(xiàn)色散特性等

電磁波的輻射

§5.1時(shí)諧電磁場(chǎng)

電荷或電流，在原子尺度內(nèi)，不管源在自由空間還是在介質(zhì)內(nèi)，其作用（或影響）能以電磁波的形式向外傳播，而電磁波的運(yùn)動(dòng)速度就是光速。電磁波是世間運(yùn)動(dòng)最快的物質(zhì)，這就是現(xiàn)代信息傳遞用電磁波作載體的根本原因。波是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的一種基本形式，波動(dòng)的基本特征對(duì)于我們理解電磁波十分重要。

（a）（b）（c）（d）波動(dòng)舉例

（a）沿繩子傳播的一維波；（b）沿水面?zhèn)鞑サ亩S波（c）（d）三維波：光平面波以及與其通過長(zhǎng)縫激勵(lì)的柱面波、球面波(5.1.2)(5.1.3)(5.1.4)任意時(shí)變電磁場(chǎng)＝Σ時(shí)諧電磁場(chǎng)（利用傅里葉變換）

對(duì)于時(shí)諧電場(chǎng)，只有上面三個(gè)式子中的初始相位相等時(shí)，合成電場(chǎng)強(qiáng)度E

才有可能成為時(shí)諧函數(shù)，此時(shí)對(duì)時(shí)諧電場(chǎng)的運(yùn)算，可以借用交流電路中討論過的復(fù)數(shù)符號(hào)法，現(xiàn)在通用的方法是在字母上方加小圓點(diǎn)的方法表示復(fù)數(shù)量，下面是電場(chǎng)的三個(gè)分量表示成復(fù)數(shù)的實(shí)部的形式。

(5.1.5)(5.1.6)(5.1.7)(5.1.8)的向量或復(fù)振幅，它們僅僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間變量無關(guān)，可以表示成下式(5.1.9)(5.1.10)(5.1.11)(5.1.14)(5.1.17)(5.1.18)(5.1.19)對(duì)時(shí)諧場(chǎng)來說，該方程組的復(fù)數(shù)形式為：(5.1.33)(5.1.34)(5.1.35)(5.1.36)復(fù)數(shù)形式的微分方程組本構(gòu)方程組的復(fù)數(shù)形式

各種條件下的邊界條件的復(fù)數(shù)形式與此類似，不在這里一一贅述，具體形式請(qǐng)參考教材。引入復(fù)數(shù)表示場(chǎng)量以后，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，對(duì)時(shí)間的微分和積分運(yùn)算分別簡(jiǎn)化為乘以jω和除以jω。3.電磁場(chǎng)邊界條件的復(fù)數(shù)形式4.復(fù)介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率如果介質(zhì)均勻、線性、各向同性，麥?zhǔn)戏匠探M可以寫成：(5.1.65)(5.1.66)(5.1.67)4.復(fù)介電常數(shù)和復(fù)磁導(dǎo)率否則反之。來描述介質(zhì)的損耗特性，分別為見右下圖.求:已知例題：可以求得磁場(chǎng)強(qiáng)度如下例題例題§5.2矢量磁位和標(biāo)量電位

靜態(tài)電磁場(chǎng)可通過位（勢(shì)）函數(shù)滿足的方程進(jìn)行求解，并且可以得到簡(jiǎn)化。時(shí)變電磁場(chǎng)能否引入位函數(shù)，通過位函數(shù)滿足的方程來求解，達(dá)到求解時(shí)變電磁場(chǎng)的目的。是一無散矢量場(chǎng)引入位函數(shù)將上式代入電磁感應(yīng)定律，得到1.矢量磁位、標(biāo)量電位、DD’Alembert方程是一無旋矢量場(chǎng)，可以引入標(biāo)量

函數(shù)的梯度表示，即和分別為電磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量電位。

必須指出的是，盡管磁感應(yīng)強(qiáng)度在形式上只與矢量磁位有關(guān)，不能據(jù)此認(rèn)為磁感應(yīng)強(qiáng)度由磁矢位決定而與標(biāo)量電位無關(guān)。因?yàn)樵跁r(shí)變情形下，電磁場(chǎng)相互激發(fā)，而時(shí)變電場(chǎng)由磁矢位和標(biāo)量電位共同描述，使得時(shí)變磁場(chǎng)本質(zhì)上與矢量磁位和標(biāo)量電位都有聯(lián)系。

位函數(shù)的規(guī)范根據(jù)矢量場(chǎng)的Helmholtz定理，確定區(qū)域上的矢量函數(shù)只有在該矢量函數(shù)的散度和旋度及其邊界條件是確定的才能唯一確定。根據(jù)磁矢位引入的定義，是不能唯一確定磁矢位的。位的非唯一性源于其磁矢位散度的任意性。因此，要使電磁場(chǎng)與位函數(shù)之間為唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，須給勢(shì)函數(shù)以明確的約束規(guī)定，稱這種約束規(guī)定為勢(shì)函數(shù)的規(guī)范對(duì)于磁矢勢(shì)，輔以Coulomb規(guī)范：得到位函數(shù)方程：0BLorentz規(guī)范和D’Alembert方程對(duì)位函數(shù)輔以約束條件得到位函數(shù)滿足的D’Alembert方程：這是一組標(biāo)準(zhǔn)的D’Alembert方程。上式形式上磁矢位僅與電流有關(guān)，標(biāo)量電位僅與電荷分布有關(guān)，但它們通過Lorentz規(guī)范聯(lián)系。盡管電磁場(chǎng)的位函數(shù)有多種規(guī)范，不同規(guī)范有不同的位函數(shù)，但不同規(guī)范下的位函數(shù)可以通過變換關(guān)系實(shí)現(xiàn)相互之間的轉(zhuǎn)換，稱為規(guī)范變換。不同規(guī)范下的位函數(shù)描述同一電磁場(chǎng)。位函數(shù)作規(guī)范變換時(shí)，其所描述的物理量及其遵循的物理規(guī)律應(yīng)保持不變，稱為規(guī)范變換的不變性(5.2.12)(5.2.13)對(duì)（5.2.16）（5.2.17）兩端取旋度，并利用矢量恒等式

可以得到E和H的奇次D’Alembert方程。D’Alembert方程的定解問題時(shí)變電磁場(chǎng)可歸納為不同初始條件和邊界下D’Alembert方程的求解。一般情形下的求解是困難的。僅就無界空間的特例的解及其意義進(jìn)行討論。取球坐標(biāo)系，一點(diǎn)電荷處于坐標(biāo)原點(diǎn)處，在坐標(biāo)原點(diǎn)外的全部空間，標(biāo)量電位應(yīng)滿足奇次D’Alembert方程(5.2.22)我們將點(diǎn)電荷產(chǎn)生的時(shí)變場(chǎng)與靜電場(chǎng)的結(jié)果進(jìn)行比較來確定上式中f1、f2的形式。置于原點(diǎn)的靜止點(diǎn)電荷ρdV

產(chǎn)生的電位為可以推斷時(shí)變情形的通解為(5.2.30)(5.2.26)(5.2.24)(5.1.14)(5.2.32)(5.2.36)位函數(shù)值在時(shí)間上要滯后于產(chǎn)生這一位函數(shù)的原函數(shù)，我們將這一項(xiàng)稱之為滯后位（推遲勢(shì)），第二項(xiàng)稱之為超前位，實(shí)際上代表電磁波遇到障礙物以后的反射波。在無限大自由空間，不可能有反射波此時(shí)只有滯后位。它們表示為(5.2.38)(5.2.39)r2.時(shí)諧電磁場(chǎng)的矢量磁位和標(biāo)量電位復(fù)數(shù)形式的洛侖茲方程在無源區(qū)域，復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)矢量和位函數(shù)滿足齊次亥姆霍茲方程k表示波數(shù)對(duì)于時(shí)諧場(chǎng)，相應(yīng)的電荷密度可以表示為標(biāo)量電位的積分表達(dá)式為同樣的方法可以得到磁矢位的積分表達(dá)式(5.2.53)(5.2.52)

請(qǐng)注意將上述表達(dá)式與恒定場(chǎng)得結(jié)果比較，除開增加了一個(gè)指數(shù)因子外，其余均相同，這個(gè)指數(shù)因子描述了場(chǎng)傳播這一事實(shí)。今后計(jì)算時(shí)變場(chǎng)時(shí)可以借用靜態(tài)場(chǎng)的結(jié)果?！?.3坡印廷定理與坡印廷矢量利用矢量恒等式得注意到§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量利用高斯散度定理電場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度歐姆功率密度坡印廷（Poynting)矢量或功率流密度矢量坡印廷（Poynting)矢量的方向垂直于E

和H

構(gòu)成的平面，S、E、H

三者服從右手螺旋法則。即為坡印廷定理。(5.3.10)(5.3.10)§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量JρV場(chǎng)的能量密度設(shè)為：能量流密度矢量：由于時(shí)變電磁場(chǎng)的波動(dòng)特點(diǎn)，閉合空間內(nèi)部的電磁場(chǎng)有可能傳播到外部，外部空間的電磁場(chǎng)也有可能傳播到空間內(nèi)部，閉合空間的內(nèi)外有可能存在電磁場(chǎng)能量的交流。

根據(jù)能量守恒定律：

表示場(chǎng)對(duì)荷電系統(tǒng)作用力密度

v為荷電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)速度

表示通過界面在單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入V內(nèi)電磁場(chǎng)的能量表示單位時(shí)間內(nèi)空間區(qū)域電磁場(chǎng)能量的增量區(qū)域內(nèi)場(chǎng)對(duì)荷電系統(tǒng)所作的功率,通常以熱形式消耗

由洛侖茲力公式：§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量(5.3.15)

取復(fù)共軛后出現(xiàn)負(fù)號(hào)§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量例：已知在空氣中

求：

分析：注意：§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量根據(jù)正弦時(shí)變場(chǎng)的麥克斯韋方程組解得：乘以取實(shí)部§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量注意§5.3坡印廷定理與坡印廷矢量恒定電流或低頻交流電的情況下，場(chǎng)量往往是通過電流、電壓及負(fù)載的阻抗等參數(shù)表現(xiàn)，表面上給人造成能量是通過電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸?shù)募傧蟆如能量真是通過電荷在導(dǎo)線內(nèi)傳輸，常溫下導(dǎo)體中的電荷運(yùn)動(dòng)速度約10-5m/s，電荷由電源端到負(fù)載端所需時(shí)間約是場(chǎng)傳播時(shí)間（L/c）的億萬(wàn)倍負(fù)載只需經(jīng)過極短（t=L/c，其中c為光速）的時(shí)間就能得到能量的供應(yīng)。----§5.4電磁波的輻射電荷電流電磁場(chǎng)的分布電磁場(chǎng)、源和邊界條件作為整體求解1電磁場(chǎng)的計(jì)算公式GPS衛(wèi)星天線系統(tǒng)5.4.1輻射場(chǎng)及其計(jì)算公式§5.4電磁波的輻射

為了突出電磁場(chǎng)輻射的本質(zhì)，設(shè)無界自由空間區(qū)域V上存在隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化的電流和電荷，在空間激發(fā)隨時(shí)間諧變的電磁場(chǎng)可通過位函數(shù)方法獲得。r注意：§5.4電磁波的輻射§5.4電磁波的輻射對(duì)于輻射問題，場(chǎng)點(diǎn)遠(yuǎn)離源區(qū)，源激發(fā)的電場(chǎng)可利用其與磁場(chǎng)的關(guān)系計(jì)算。采用球坐標(biāo)系，源激發(fā)電磁場(chǎng)的計(jì)算公式為：源在空間激發(fā)的電磁場(chǎng)由兩部分組成：其一是電荷和電流源直接激發(fā)的電磁場(chǎng)，它們與電荷和電流分布相聯(lián)系。其二是變化的電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間相互激發(fā)而產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，與電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)間變化率相聯(lián)系。

§5.4電磁波的輻射總電磁場(chǎng)＝源所激發(fā)的電磁場(chǎng)＋電磁場(chǎng)相互激發(fā)的電磁場(chǎng)靜態(tài)電磁場(chǎng)特點(diǎn)場(chǎng)量與r

2成反比不能有靜態(tài)電磁場(chǎng)特點(diǎn)場(chǎng)量只能與r

成反比2電磁場(chǎng)的三個(gè)區(qū)域及其特點(diǎn)三個(gè)尺度概念：源區(qū)的尺度：電磁波的波長(zhǎng)：場(chǎng)點(diǎn)至原點(diǎn)的距離①

這說明在源區(qū)附近，磁矢位蛻變?yōu)殪o態(tài)電磁場(chǎng)的磁矢位。由磁矢位計(jì)算得到的磁場(chǎng)必然具有靜態(tài)場(chǎng)的特點(diǎn)。因此在源區(qū)的附近，源激發(fā)的電磁場(chǎng)可以采取靜態(tài)電磁場(chǎng)方法進(jìn)行計(jì)算。這也意味著在源區(qū)附近，源直接產(chǎn)生的靜態(tài)電磁場(chǎng)遠(yuǎn)大于電磁場(chǎng)相互激發(fā)所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)。場(chǎng)量與r2成反比②

場(chǎng)點(diǎn)與源區(qū)的距離大約在一個(gè)波長(zhǎng)的數(shù)量級(jí)，在這個(gè)范圍中，源直接產(chǎn)生的場(chǎng)與變化電磁場(chǎng)相互激發(fā)所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)同時(shí)并存，量級(jí)上相當(dāng)。在這個(gè)區(qū)域中，既有變化的電磁場(chǎng)相互激發(fā)形成的電磁波，將源的能量以電磁波形式輻射出去。同時(shí)也存在不向外輻射的靜態(tài)場(chǎng)，將源提供能量的一部分存儲(chǔ)在空間中，這一區(qū)域稱為感應(yīng)區(qū)?！?.4電磁波的輻射③

，

場(chǎng)點(diǎn)遠(yuǎn)離源區(qū)。由于源直接激發(fā)的電磁場(chǎng)與r2成反比，所以在這個(gè)區(qū)域中，源直接激發(fā)的靜態(tài)場(chǎng)遠(yuǎn)小于電磁場(chǎng)相互激發(fā)而形成的電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)主要以波動(dòng)形式將源的能量輻射出去。這一區(qū)域稱為遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，或者稱為輻射區(qū)域。場(chǎng)量只能與r

成反比?！?.4電磁波的輻射3矢量磁位的多極矩展開

先分析矢量磁位被積函數(shù)中各因子對(duì)位函數(shù)貢獻(xiàn)的大小。振幅項(xiàng)相位項(xiàng)振幅項(xiàng)微小變化導(dǎo)致誤差的量級(jí)相位項(xiàng)微小變化導(dǎo)致誤差的量級(jí)注意函數(shù)展開式§5.4電磁波的輻射

結(jié)論：

對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)（r很大）振幅的微小變化對(duì)最后結(jié)果影響很小，而相位項(xiàng)的微小變化對(duì)結(jié)果影響大。

所以在矢量磁位中，對(duì)于振幅因子取零級(jí)的近似，對(duì)相位因子保留一級(jí)近似rr’P§5.4電磁波的輻射得到：其中仍注意函數(shù)展開式對(duì)再一次展開§5.4電磁波的輻射§5.4電磁波的輻射

上述結(jié)果說明：小區(qū)域時(shí)變電流體系在遠(yuǎn)的電磁場(chǎng)為源中電多極矩和磁多極矩激發(fā)電磁場(chǎng)的疊加。電四極矩與磁偶極矩激發(fā)電磁場(chǎng)的能力為同一量級(jí)。進(jìn)一步還可證明，電多極矩激發(fā)電磁場(chǎng)的能力高于同級(jí)的磁多極矩。利用求得的矢量磁位可以求得體電流激發(fā)的電磁場(chǎng)，其輻射場(chǎng)在計(jì)算過程中必須把靜態(tài)電磁場(chǎng)部分分離出來?！?.4電磁波的輻射5.4.2電偶極子天線1

電偶極子天線結(jié)構(gòu)能向空間輻射和接收電磁波的裝置稱為天線，是無線電設(shè)備的一個(gè)重要部件。天線通過其上隨時(shí)間變化的電流在空間激發(fā)的變化的電磁場(chǎng)，從而輻射電磁波。發(fā)射機(jī)（時(shí)變電信號(hào)）導(dǎo)體導(dǎo)體上電流的大小和相位分布是不均勻的和時(shí)變的接地偶極子天線結(jié)構(gòu)§5.4電磁波的輻射作為一種近似的處理，設(shè)導(dǎo)線元上的電流只有z分量，其分布函數(shù)為：根據(jù)電流連續(xù)性原理，在電偶極子天線的兩個(gè)端點(diǎn)，將同時(shí)積累大小相等符號(hào)相反的時(shí)變電荷，利用電荷與電流之間的關(guān)系得到：§5.4電磁波的輻射2電偶極子天線的電磁場(chǎng)設(shè)天線位于自由空間的坐標(biāo)原點(diǎn)，其矢量磁位為：

(5.4.6)§5.4電磁波的輻射近場(chǎng)電磁場(chǎng)區(qū)

記：電磁場(chǎng)相位差為虛數(shù)§5.4電磁波的輻射從近區(qū)電磁場(chǎng)的表達(dá)式看到，電場(chǎng)與磁場(chǎng)始終保持的相位差，其Poynting矢量的平均值恒為零，沒有能量向外部輸運(yùn)。因此在源區(qū)附近，電磁場(chǎng)為靜態(tài)電磁場(chǎng)的特點(diǎn)。這正是電偶極子的靜電場(chǎng)和恒定電流元的磁場(chǎng)。因此盡管電偶極子上的電流是時(shí)變的，它在近區(qū)激發(fā)的電磁場(chǎng)仍具有靜態(tài)電磁場(chǎng)特點(diǎn)。這說明，在電偶極子附近，時(shí)變電磁場(chǎng)之間相互激發(fā)是產(chǎn)生具有波動(dòng)特點(diǎn)的電磁場(chǎng)，比電荷和電流直接激發(fā)不具有波動(dòng)特點(diǎn)的靜態(tài)場(chǎng)要小得多?！?.4電磁波的輻射3遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)及其特點(diǎn)當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)位于遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，其電磁場(chǎng)的結(jié)果為：

這是一個(gè)與近區(qū)具有完全不同性質(zhì)的電磁場(chǎng)

與近區(qū)場(chǎng)比較注意，式中§5.4電磁波的輻射遠(yuǎn)區(qū)的輻射場(chǎng)有如下特點(diǎn)：①電磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式為：

其等相位面方程為球面，其方程是：在等相位面上，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的幅度相同，相位為同一常數(shù)，且為沿徑向向外傳播的球面波。波在空間傳播的速度為：§5.4電磁波的輻射②電磁波在空間傳播方向上既沒有電場(chǎng)分量、也沒有磁場(chǎng)分量，電場(chǎng)、磁場(chǎng)和傳播方向相互垂直，為橫電磁波（TEM）在與傳播方向相垂直的平面內(nèi)，電場(chǎng)或磁場(chǎng)矢量末端的軌跡為直線，是線極化（偏振）面電磁波。稱之為波阻抗§5.4電磁波的輻射③電偶極子遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)具有方向性。在同一半徑的球面上，不同方向輻射場(chǎng)的強(qiáng)度隨方位的不同而變化，所以電偶極子遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)是非均勻的球面波。場(chǎng)強(qiáng)度隨方向變化的曲線：電偶極子E面方向圖電偶極子H面方向圖§5.4電磁波的輻射④利用Poynting矢量的定義，求得周期內(nèi)平均能流密度矢量為：能流密度矢量沿球面徑向向外傳輸，具有方向性，不同的方向能流密度不同，這意味著空間的某些方向上能流密度大，另一些方向上能流密度小，甚至某些方向上能流密度為零。

§5.4電磁波的輻射⑤天線的輻射功率與輻射電阻在單位時(shí)間內(nèi)通過半徑為r的球面向外傳播的電磁能為：

P是一個(gè)與球面半徑無關(guān)的常數(shù)，即在單位時(shí)間通過任意半徑球面向外傳輸?shù)哪芰浚üβ剩┦窍嗤?。根?jù)能量守恒定律，這部分能量的確是天線以電磁波的形式所輻射?！?.4電磁波的輻射

由于能量不斷向外輻射，要保證輻射進(jìn)行下去，必須提供能源，如發(fā)射機(jī)。設(shè)天線是理想的天線

(沒有損耗)，發(fā)射機(jī)與天線匹配，發(fā)射機(jī)供給的能量全部被天線輻射出去，天線可以看作一個(gè)兩端網(wǎng)絡(luò)，其輻射能力可應(yīng)用二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻

表征，稱為天線的輻射電阻，是衡量天線輻射電磁場(chǎng)能力的重要參量。發(fā)射機(jī)發(fā)射機(jī)§5.4電磁波的輻射

在實(shí)際中，輸入阻抗并不完全等于輻射電阻，這是因?yàn)檩斎氲教炀€上的能量并不完全被輻射，還