2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《立體幾何》專項(xiàng)測(cè)試卷及答案（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四面體中，，則四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，在正方體中，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中與直線CE夾角為定值的直線為（

）A．直線 B．直線C．直線 D．直線3．若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．在三棱柱中，平面是等邊三角形，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且.若，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若直角圓錐底面圓的半徑為1，則其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．7．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，兩圓錐的表面積分別為和，內(nèi)切球半徑分別為和．若，則的值是（

）A． B． C． D．8．半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為（

）

A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．如圖，在正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）

A．若平面，則 B．若平面，則C．若平面，則 D．若平面，則10．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．已知任意非零向量，若，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個(gè)點(diǎn)，則三點(diǎn)共線11．在等腰梯形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將梯形旋轉(zhuǎn)得到一旋轉(zhuǎn)體，則（

）A．該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為B．該旋轉(zhuǎn)體的體積為C．直線與旋轉(zhuǎn)體的上底面所成角的正切值為D．該旋轉(zhuǎn)體的外接球的表面積為12．如圖1，矩形由正方形與拼接而成．現(xiàn)將圖形沿對(duì)折成直二面角，如圖2．點(diǎn)（不與重合）是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且滿足，，則（

）

圖1

圖2A． B．C．的最大值為 D．多面體的體積為定值第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)正四棱臺(tái)的下底面周長(zhǎng)與上底面周長(zhǎng)之差為16，且其側(cè)面梯形的高為，則該正四棱臺(tái)的高為.14．如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若平面，則．

15．在四棱錐中，底面是正方形，底面.若四棱錐的體積為9，且其頂點(diǎn)均在球上，則當(dāng)球的體積取得最小值時(shí)，.16．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，四棱錐的總曲率為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為上的點(diǎn)，且.

(1)證明：平面；(2)若平面為的中點(diǎn)，，求二面角的正切值.19．（12分）如圖，在五面體中，面面，，面，，，，二面角的平面角為.(1)求證：面；(2)點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的余弦值.20．（12分）如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且．

(1)證明：平面：(2)若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，且平面平面．，分別是，的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)，平面平面，直線與直線交于點(diǎn)．

(1)求的值；(2)若，求多面體的體積．22．（12分）無(wú)數(shù)次借著你的光，看到未曾見過(guò)的世界：國(guó)慶七十周年?建黨百年天安門廣場(chǎng)三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀(jì)念日”向人民英雄敬獻(xiàn)花籃儀式的凝重莊嚴(yán)金帆合唱團(tuán)，這絕不是一個(gè)抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當(dāng)你想起他，應(yīng)是四季人間，應(yīng)是繁星璀璨！這是開學(xué)典禮中，我校金帆合唱團(tuán)的頒獎(jiǎng)詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個(gè)正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內(nèi)切割為正六棱臺(tái)（圖3），正六棱柱的側(cè)棱交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，且(1)寫出三條正六棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.(2)“六角樓”一樓為辦公區(qū)域，二樓為金帆排練廳，假設(shè)排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對(duì)應(yīng)幾何體體積.（棱臺(tái)體積公式：）(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過(guò)來(lái)說(shuō)：“數(shù)學(xué)是理性的音樂(lè)，音樂(lè)是感性的數(shù)學(xué).學(xué)好數(shù)學(xué)方能更好的欣賞音樂(lè)，比如咱們剛剛聽到的一個(gè)復(fù)合音就可以表示為函數(shù)，你看這多美妙!”“小迷糊”：“.....”親愛的同學(xué)們，快來(lái)幫“小迷糊”求一下的最大值吧.參考答案第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四面體中，，則四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所?又，所以，故.取的中點(diǎn)，則到四面體四個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2，即四面體外接球的半徑為2，則四而體外接球的體積為.故選：D.2．如圖所示，在正方體中，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中與直線CE夾角為定值的直線為（

）A．直線 B．直線C．直線 D．直線【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，不是定值，故A錯(cuò)；，不是定值，故B錯(cuò)；，所以直線與直線所成角為，故C正確；，不是定值，故D錯(cuò).故選：C.3．若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面截球所得截面圓的面積為，得此截面小圓半徑，而球心到此小圓距離，因此球的半徑，有，所以球的表面積.故選：C4．在三棱柱中，平面是等邊三角形，是棱的中點(diǎn)，在棱上，且.若，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取AB中點(diǎn),連接DF，EF,因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，即異面直線AC與DE所成角就是平面或補(bǔ)角，假設(shè)，因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以,因?yàn)?，所以,因?yàn)槠矫鍭BC，則為直三棱柱，所以,,在△DEF中，,故異面直線AC與DE所成角余弦值為.故選：B.5．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，書中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若直角圓錐底面圓的半徑為1，則其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】沿正方體上底面的對(duì)角線作圓錐的軸截面，如圖所示，由題知為等腰直角三角形，，，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)，則，，則由與相似可得，即，，所以正方體棱長(zhǎng)為.故選：C.6．阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，截面三角形邊長(zhǎng)為，則原正方體棱長(zhǎng)的一半為1，即多面體所在正方體的棱長(zhǎng)為2，可得正方體體對(duì)角線長(zhǎng)，外接球半徑為，所以外接球表面積為.故選：D.7．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，兩圓錐的表面積分別為和，內(nèi)切球半徑分別為和．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】?jī)蓤A錐的母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面半徑為，由圓心角之和為，得，則，又，即，將代入，所以，即，所以，從而，．由圓錐內(nèi)切球半徑公式得，，所以，將代入，解得，同理可得，所以.故選：C.8．半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形為等腰梯形；根據(jù)題意可知，而平面，故平面，又平面，故平面平面，則平面平面，作，垂足為S，平面平面，平面，故平面，則梯形的高即為平面與平面之間的距離；，故，即平面與平面之間的距離為，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．如圖，在正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）

A．若平面，則 B．若平面，則C．若平面，則 D．若平面，則【答案】BD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的法向量可以為，設(shè)，，則，若平面，則，即，解得，即，故A錯(cuò)誤，B正確；若平面，則，則，即，所以，解得，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD10．關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（

）A．已知任意非零向量，若，則B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個(gè)點(diǎn)，則三點(diǎn)共線【答案】BD【解析】對(duì)于：若，則，且，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，，四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)于，是空間中的一組基底，且，共面，不可以構(gòu)成空間的一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，若空間四個(gè)點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，故D正確.故選：BD11．在等腰梯形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將梯形旋轉(zhuǎn)得到一旋轉(zhuǎn)體，則（

）A．該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為B．該旋轉(zhuǎn)體的體積為C．直線與旋轉(zhuǎn)體的上底面所成角的正切值為D．該旋轉(zhuǎn)體的外接球的表面積為【答案】ACD【解析】由題意可知，所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)，如圖．因?yàn)?，所以圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別滿足．又，所以該圓臺(tái)的側(cè)面積，所以A正確．過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)于點(diǎn)，則，所以，故該圓臺(tái)的體積，所以B錯(cuò)誤．易知圓臺(tái)的上、下底面平行，所以直線與圓臺(tái)的上底面所成的角等于其與圓臺(tái)的下底面所成的角．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．易知為直線與下底面所成的角．又，，所以，所以正確．設(shè)該圓臺(tái)的外接球的半徑為，球心為．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，．由，得，即，解得．當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，．由，得，即．化簡(jiǎn)，得，此時(shí)無(wú)解．所以，則該旋轉(zhuǎn)體的外接球的表面積，所以正確．故選：ACD12．如圖1，矩形由正方形與拼接而成．現(xiàn)將圖形沿對(duì)折成直二面角，如圖2．點(diǎn)（不與重合）是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且滿足，，則（

）

圖1

圖2A． B．C．的最大值為 D．多面體的體積為定值【答案】AC【解析】設(shè)正方形，的邊長(zhǎng)為1因?yàn)閮蓛纱怪?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，設(shè)，，由，且,可得，解得，即，，對(duì)于A中，，可得，即，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由為鈍角，所以，即的最大值為，所以C正確；對(duì)于D中，多面體的體積，非定值，所以D錯(cuò)誤.故選：AC．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)正四棱臺(tái)的下底面周長(zhǎng)與上底面周長(zhǎng)之差為16，且其側(cè)面梯形的高為，則該正四棱臺(tái)的高為.【答案】【解析】如圖：在正四棱臺(tái),分別為側(cè)面上的高以及棱臺(tái)的高，設(shè)棱臺(tái)的上下底面的邊長(zhǎng)分別為，則，在等腰梯形中，，所以，故棱臺(tái)的高為，故答案為：14．如圖，四邊形是平行四邊形，是平面外一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若平面，則．

【答案】【解析】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，所以為的中點(diǎn)，所以.故答案為：.15．在四棱錐中，底面是正方形，底面.若四棱錐的體積為9，且其頂點(diǎn)均在球上，則當(dāng)球的體積取得最小值時(shí)，.【答案】3【解析】如下圖所示，設(shè)四棱錐底面邊長(zhǎng)為，則該四棱錐的體積，所以；設(shè)四棱錐的外接球半徑為，通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體可知滿足；即，令，則，令,即；當(dāng)所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；即函數(shù)在處取最小值，此時(shí)外接球的半徑最小，體積最?。凰?，.故答案為：316．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.根據(jù)曲率的定義，正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，四棱錐的總曲率為.【答案】/【解析】根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為；由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）由題意可知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，即，所以，即異面直線與所成角的余弦值為；（2）由上易知，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則有，取，即，所以點(diǎn)到平面的距離為；（3）由上可知，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則有，取，即，設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別為上的點(diǎn)，且.

(1)證明：平面；(2)若平面為的中點(diǎn)，，求二面角的正切值.【解析】（1）證明：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，，因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅?，所以，所以，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）當(dāng)為中點(diǎn)，，，易知，為中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，所以兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如（1）圖，設(shè)，則，，，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，故二面角的正弦值為，所以正切值為.故二面角的正切值為.19．（12分）如圖，在五面體中，面面，，面，，，，二面角的平面角為.(1)求證：面；(2)點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的余弦值.【解析】（1）∵面，又面，面面，∴.又面，面，∴面；（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，.∵面面，交線為，面，，∴面.∴是二面角的平面角.即.∵面，又面，面面，∴.∴.又，∴四邊形是梯形.∴是梯形的中位線.∴.∴面.∵，是中點(diǎn)，∴.以為原點(diǎn)，，，為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，由，設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，，得，取，得，，∴.設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，，得，取，得，，∴.∴∴二面角的平面角的余弦值為.20．（12分）如圖，是半球的直徑，是底面半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是半球面上一點(diǎn)，且．

(1)證明：平面：(2)若點(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，因?yàn)槭堑酌姘雸A弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以有，又因?yàn)?，所以都為正三角形，所以，四邊形是菱形，記與的交點(diǎn)為，為和的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以三角形為正三角形，所以，所以，因?yàn)槭前肭蛎嫔弦稽c(diǎn)，是半球的直徑，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．?）因?yàn)辄c(diǎn)在底面圓內(nèi)的射影恰在上，由（1）知為的中點(diǎn)，為正三角形，所以，所以底面，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，即兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)直線與平面的所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為．21．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，且平面平面．，分別是，的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)，平面平面，直線與直線交于點(diǎn)．

(1)求的值；(2)若，求多面體的體積．【解析】（1）連接，由題意，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所?又因?yàn)槊?，面，所以面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以，又為中點(diǎn)，所以，所以，又因?yàn)榍?，所以且，所以?/p>