2024-2025學年江西省上饒市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的扇面多為扇環(huán)形.已知某紙扇的扇面如圖所示，其中外弧長與內(nèi)弧長之和為，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長均為，且該扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為，則該扇環(huán)的外弧長為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)對任意滿足，，且，則等于（

）A．1 B．0 C．2 D．4．已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．已知均為銳角，若則p是q的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)圖象為，為了得到函數(shù)的圖象，只要把上所有點（

）A．先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B．先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變C．先將橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再向右平移個單位長度D．先將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度7．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的偶函數(shù)，當時，，對任意總有.當時，恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．有一組樣本數(shù)據(jù)：1，1，2，4，1，4，1，2，則（

）A．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4 B．這組數(shù)據(jù)的極差為3C．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.5 D．這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為110．若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則11．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．該半正多面體的表面積為B．與平面所成角的正弦值為C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點，分別在線段，上，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．.13．如圖，在中，，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，.設，，則的最小值為.

如圖，蓮花縣荷塘鄉(xiāng)重陽木古樹已有800年左右的歷史，該古樹枝繁葉茂，以優(yōu)美的形狀挺立在文塘村，幾百年來歷經(jīng)風霜守護村民繁衍生息.小明為了測量該古樹高度，在古樹旁水平地面上共線的三點，，處測得古樹頂點的仰角分別為45°，45°，30°，若米，則該古樹的高度為米.四、解答題（本大題共5小題）15．已知二次函數(shù)的圖象過點，且不等式的解集為.(1)求的解析式；(2)設，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.16．在如圖所示的多面體中.四邊形是邊長為的正方形，其對角線的交點為，平面，，.點是棱的中點.(1)求證：平面；(2)求多面體的體積.17．甲、乙兩人組成“九章隊”參加青島二中數(shù)學學科周“最強大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學名詞，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．(1)求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學名詞的概率；(2)求“九章隊”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學名詞的概率．18．在中，，，分別是角，，的對邊，向量，，且.(1)求；(2)若，，的平分線交于點，求的長.19．設為坐標原點，定義非零向量的“友函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“友向量”.(1)記的“友函數(shù)”為，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設，其中，求的“友向量”模長的最大值；(3)已知點滿足，向量的“友函數(shù)”在處取得最大值.當點運動時，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【分析】計算得到，再根據(jù)定義判斷即可.【詳解】由知，故在復平面內(nèi)對應，在第三象限.故選：C.2．【答案】C【分析】設該扇環(huán)的內(nèi)弧的半徑為，根據(jù)弧長公式計算可得.【詳解】設該扇環(huán)的內(nèi)弧的半徑為，則外弧的半徑為，圓心角，所以，即，解得，所以該扇環(huán)的外弧長.故選：C3．【答案】B【分析】首先分析函數(shù)的周期，再利用對稱性求值.【詳解】，所以函數(shù)的周期為4，由，知，則.故選：B4．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量的公式求解.【詳解】根據(jù)題意，在上的投影向量為：.故選：A5．【答案】B【分析】以互為條件，舉反例或利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷兩者關(guān)系.【詳解】先證不成立：令，則滿足，但不滿足，所以不成立；再證成立：因為，又，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，故成立；綜上：p是q的必要而不充分條件.故選：B.6．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變化求解即可.【詳解】先將函數(shù)圖象上每點橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，再將得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.故選C.7．【答案】A【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式得到，進而得到，然后利用正弦定理和三角恒等變換，由求解.【詳解】解：因為，由正弦定理得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，又，所以，所以，又，，則，所以或，即或（舍去），則，所以解得，則．所以，，，即的取值范圍是．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是得到，從而利用確定角B的范圍，由此得解.8．【答案】C【分析】先分析、、時的函數(shù)解析式以及值域，再根據(jù)函數(shù)的倍增性和偶函數(shù)圖象特征作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定出符合條件的的范圍即得的最大值.【詳解】當時，,則即當時，；當時，，由題意，,則即當時，；同理，當時，.又為定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故當時，，如圖所示.當時，恒成立，即，，而由圖象知，，則，當取最大值時，必有，且，由時，，可得，則得，或，由圖知應舍去.故當，時，取得最大值.故選：C.【點睛】思路點睛：本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運用，屬于難題.本題以分段函數(shù)為媒介，采用數(shù)形結(jié)合思想，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使繁難問題得到簡化.常見的圖象應用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).9．【答案】BD【分析】利用眾數(shù)、極差、平均數(shù)與百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，1，1，2，2，4，4.對于A，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1，故A錯誤；對于B，極差為，故B正確；對于C，平均數(shù)為，故C錯誤：對于D，因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第4個數(shù)1，故D正確.故選：BD.10．【答案】BCD【解析】對于選項ABC：利用基本不等式化簡整理求解即可判斷，對于選項D：利用作差法判斷即可.【詳解】對于選項A：若，由基本不等式得，即，得，故，當且僅當時取等號；所以選項A不正確；對于選項B：若，，，當且僅當且，即時取等號，所以選項B正確；對于選項C：由，，即，由基本不等式有：，當且僅當且，即時取等號，所以選項C正確；對于選項D：，又，得，所以，所以選項D正確；故選：BCD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.11．【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的多面體，利用正四面體的性質(zhì)、線面角的定義、球的截面圓的性質(zhì)，以及多面體的側(cè)面展開圖，結(jié)合棱錐的表面積公式、球的表面積公式逐項判斷，即可得解.【詳解】解：該半正多面體的表面積為，選項A錯誤；選項B中，該半正多面體的所在的正四面體邊長為，可求得高為，

，設點在平面的射影為，如上圖，由比例關(guān)系可得，設與平面所成角為，則，選項B正確；

選項C中，該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，如上圖，記球心為，半徑為，的中心為，連接、、、，由等邊的邊長為，可得，在正四面體中，可得，所以，，設，因為，可得,即，解得，即，所以，故該半正多面體外接球的表面積為，選項C正確；

選項D中，該半正多面體的展開圖如上圖所示，，，，，選項D正確.故選：BCD.12．【答案】2【分析】利用正切的兩角和公式將展開整理可得.【詳解】因為，整理得，所以.故答案為：213．【答案】【詳解】因為，所以，所以，又，，所以，因為，，三點共線，所以，由圖可知，，所以，當且僅當，即、時取等號，所以的最小值為.

故答案為：14．【答案】28；【分析】設古樹高度為，表示出，利用，結(jié)合余弦定理列方程求解．【詳解】設古樹高度為，則，由得，由余弦定理得，解得，即為28米．故答案為：28．15．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，代入點的坐標求出的值，即可求出函數(shù)解析式；（2）首先表示出，從而確定其對稱軸，依題意得到或，解得即可.【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以和為關(guān)于的方程的兩根，且二次函數(shù)的開口向上，則可設，，即，由的圖象過點，可得，解得，所以，即.（2）因為，對稱軸，因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，即實數(shù)的取值范圍.16．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明四邊形為矩形，求出，結(jié)合勾股定理和線面垂直的判定定理即可證明；（2）證出平面，由，利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】（1）連接.因為平面平面，所以，因為是中點，所以四邊形為矩形，則.因為是正方形的對角線交點，所以為中點，，所以.因為四邊形ABCD是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面，而平面，所以.又平面，所以平面.（2）因為四邊形是正方形，所以，因為平面，所以.因為平面，平面，且，所以平面.因為，所以，.因為四邊形是邊長為的正方形，所以，則.故多面體的體積.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的乘法概率公式計算即可；（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對，分四種情況計算可得答案.【詳解】（1）設甲兩輪至少猜對一個數(shù)學名詞為事件，.（2）設事A＝“甲第一輪猜對”，B＝“乙第一輪猜對”，C＝“甲第二輪猜對”，D＝“乙第二輪猜對”，E＝““九章隊”猜對三個數(shù)學名詞”，所以，則，由事件的獨立性與互斥性，得，故“九章隊”在兩輪活動中猜對三個數(shù)學名詞的概率為．18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標表示結(jié)合二倍角公式可得，再根據(jù)正弦定理進行邊角互化可得解；（2）由余弦定理可得，再利用等面積法可得角分線的長度.【詳解】（1）由，則，即，再由正弦定理可知，即，則，又，則，所以，，又，所以；（2）由，，則，即，解得，又為的平分線，則，所以，即，所以，解得.19．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義直接可得函數(shù)解析式并化簡，進而可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）化簡函數(shù)解析式，可判斷函數(shù)?x（3）根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)直接可得函數(shù)取得最值時根據(jù)不等式可得，再利用齊次式可得的最值.【詳解】（1）由已知，則令，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），則?x的“友向量”為，所以，又，所以當，時，取得最大值為；（3）由已知點滿足，則，，且，又，且，且當，時，函數(shù)取得最大值，即，所以，即，又，設，則原式，且在上單調(diào)遞減，所以.2024-2025學年江西省上饒市高二上學期開學考試數(shù)學檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．直線的一個方向向量為（

）A． B．?3,2 C．2,3 D．3．已知三點共線，則的值為（

）A． B．5 C． D．34．已知，經(jīng)過兩點的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．5．經(jīng)過兩點的直線方程可以表示為（

）A． B．C． D．6．已知兩直線和的交點是，則過兩點、的直線方程是（

）A． B． C． D．7．已知直線的方程是，的方程是（，），則下列各圖形中，正確的是（

）A． B．C． D．8．已知兩點，，過點的直線與線段（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如果，，那么直線經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．下列說法中，正確的有（

）A．過點且在軸，軸截距相等的直線方程為B．直線在軸的截距是2C．直線的傾斜角為30°D．過點且傾斜角為90°的直線方程為11．已知正方形ABCD在平面直角坐標系xOy中，且AC：，則直線AB的方程可能為（）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．直線的斜率的取值范圍為，則其傾斜角的取值范圍是.13．經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是鈍角，則實數(shù)的范圍是.14．直線分別交軸?軸的正半軸于?兩點，當面積最小時，直線的方程為.四、解答題（本大題共4小題）15．（1）求經(jīng)過點，傾斜角為的直線的一般式方程．（2）的三個頂點是，求邊BC上的中線所在的直線方程．16．求符合下列條件的直線的方程：(1)過點，且斜率為；(2)過點，；(3)過點且在兩坐標軸上的截距相等．17．的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.(1)求；(2)若的角平分線與交于點，求.18．如圖，已知長方體中，，，連接，過點作的垂線交于，交于

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案1．【答案】A【分析】利用直線斜截式方程及斜率的定義即可求解.【詳解】由直線，得直線的斜率為，設直線的傾斜角為，所以，所以直線的傾斜角為.故選：A.2．【答案】B【分析】利用直線方向向量的定義和直線斜率與方向向量的關(guān)系直接求解即可.【詳解】由得，，所以直線的一個方向向量為，而，所以也是直線的一個方向向量.故選：B.3．【答案】D【分析】根據(jù)得到方程，求出答案.【詳解】，因為三點共線，故，即，解得.故選D.4．【答案】C【詳解】當都不為0時，所有經(jīng)過兩點的直線方程均可以用表示，即，當中有一個為0時，只有選項符合題意，故選.5．【答案】C【分析】根據(jù)直線兩點式方程可得答案.【詳解】當經(jīng)過的直線不與軸、軸平行時，所有直線均可以用表示，由于可能相等，也可能相等，所以只有選項C滿足包括與軸、軸平行的直線．故選：C．6．【答案】C【解析】將點的坐標代入兩直線的方程，可得出，可得出點、的坐標滿足直線方程，再利用兩點確定一條直線可得出直線的方程.【詳解】將點的坐標代入兩直線的方程，得，所以，點、的坐標滿足直線方程，由于兩點確定一條直線，所以，直線的方程為.故選：C.【點睛】本題考查直線方程的求解，推導出點、的坐標滿足直線方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.7．【答案】D【分析】有條件知，兩直線的斜率均存在且不為0，寫出它們的斜截式方程后再進行判斷．【詳解】解：，直線與直線的斜率均存在直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對于A選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應小于0，直線的縱截距應小于0，故A圖象不符合；對于B選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應小于0，故B圖象不符合；對于C選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故C圖象不符合；對于D選項，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應大于0，在軸上的截距應大于0，故D圖象符合．故選：D．8．【答案】A【詳解】如圖所示，

直線逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置才能保證過點的直線與線段有交點，從轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，此時斜率，所以此時；從旋轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負無窮開始變大，此時斜率，所以此時，綜上可得直線的斜率的取值范圍為.故選：A9．【答案】ACD【分析】把直線方程的一般式化為斜截式，從而可判斷直線經(jīng)過的象限.【詳解】因為，故，故直線的斜截式方程為：，因為，，故，故直線經(jīng)過第一象限、第三象限、第四象限，故選：ACD.10．【答案】CD【分析】根據(jù)直線的截距、傾斜角、直線方程等知識確定正確答案.【詳解】A選項，直線過點且在軸，軸截距相等，所以A選項錯誤.B選項，直線在軸上的截距是，B選項錯誤.C選項，直線的斜率為，傾斜角為，C選項正確.D選項，過點且傾斜角為90°的直線方程為，D選項正確.故選：CD11．【答案】BC【分析】由正方形的特征可知，直線與直線夾角為，由直線斜率利用兩角差的正切公式求出直線的斜率，對照選項即可判斷.【詳解】設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線斜率為2，有，則.依題意有或，當時，，即，解得，即直線的斜率為-3，C選項中的直線斜率符合；當時，，即，解得，即直線的斜率為，B選項中的直線斜率符合.故選：BC12．【答案】【分析】由斜率的定義及正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】設直線的傾斜角為，斜率為，因為，又因為，所以，故答案為：.13．【答案】【詳解】根據(jù)題意，即，且斜率，即，解得或.實數(shù)的范圍是.故答案為：14．【答案】【分析】由題可得直線恒過定點，可設方程為，則，利用基本不等式可得，即求.【詳解】∵直線，∴，由，得，∴直線恒過定點，可設直線方程為