活頁(yè)作業(yè)(十二)平面與平面垂直一、選擇題1．設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m解析：對(duì)于面面垂直的判定，主要有2個(gè)條件，即l?α，l⊥β，如果這兩個(gè)條件存在，則α⊥β.答案：A2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如下圖)．圖中互相垂直的平面有A．1對(duì) B．2對(duì)C．3對(duì) D．5對(duì)解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同樣BC⊥平面PAB，又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD．∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5對(duì)．答案：D3．已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1，在平面AB1上任取一點(diǎn)M，作ME⊥AB于E，則A．ME⊥平面AC B．ME?平面ACC．ME∥平面AC D．以上都有可能解析：由于ME?平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，則ME⊥平面AC．答案：A4．如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A．平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B．它們兩兩垂直C．平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D．平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB．∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB．由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB．∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．由已知易得平面PBC與平面PAD不垂直，故選A．答案：A二、填空題5．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是________．解析：∵α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n.答案：平行6．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______．解析：如圖，連接OA，OB．由SA＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，知OA⊥SC，OB⊥SC．由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱錐S-ABC的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SC·OB))·OA＝eq\f(r3,3)，即eq\f(r3,3)＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π．答案：36π三、解答題7．如圖所示，已知：α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，BC?β，BC⊥DE.求證：AC⊥DE.證明：∵α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，∴AB⊥β.又DE?β，故AB⊥DE.又BC⊥DE，AB∩BC＝B，故DE⊥平面ABC，又AC?平面ABC，故DE⊥AC．8.如圖：三棱錐P—ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，∠ACP是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC．求證：平面PAB⊥平面PBC．證明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC．又BC?平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．一、選擇題1．如圖所示，在立體圖形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：由AB＝BC，AD＝CD，E為AC的中點(diǎn)．∴BE⊥AC、DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥BDE.答案：C2．過(guò)△ABC所在平面外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，若PA＝PB＝PC，則O是△ABC的________心．()A．內(nèi)心 B．垂心C．外心 D．重心解析：取AB的中點(diǎn)M，連接PM，∵PA＝PB，∴PM⊥AB．又PO⊥α，AB?α，∴PO⊥AB又PM∩PO＝P，∴AB⊥面PMO，又MO?面PMO∴AB⊥OM，∴OM是AB的垂直平行線，同理取BC、AC的中點(diǎn)N、Q，可證ON，OQ分別是BC、AC的垂直平分線，故O是△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴O是△ABC的外心．答案：C二、填空題3．(2016·全國(guó)甲卷)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))．解析：根據(jù)相關(guān)知識(shí)，對(duì)四個(gè)命題逐個(gè)判斷．對(duì)于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤．對(duì)于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確．對(duì)于③，因?yàn)棣痢桅?，所以α，β沒(méi)有公共點(diǎn)．又m?α，所以m，β沒(méi)有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確．對(duì)于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅拢詎與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．答案：②③④4．如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長(zhǎng)等于________．解析：取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG.因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).答案：eq\r(6)三、解答題5．如圖，ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，BK⊥SC于點(diǎn)K，連接DK.求證：(1)平面SBC⊥平面KBD；(2)平面SBC不垂直于平面SDC．證明：(1)連接AC．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC，∴SC⊥BD．又∵SC⊥BK，∴SC⊥平面KBD．又SC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面KBD．(2)假設(shè)平面SBC⊥平面SDC．∵BK⊥SC，∴BK⊥平面SDC．∵DC?平面SDC，∴BK⊥DC，又AB∥CD，∴BK⊥AB．∵ABCD是正方形，AB⊥BC，∴AB⊥平面SBC，又SB?平面SBC，∴AB⊥SB，這與∠SBA是Rt△SAB的一個(gè)銳角矛盾，故假設(shè)不成立．∴原結(jié)論成立，即平面SBC不垂直于平面SDC．6．(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC．證明：(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB．又因?yàn)镋F?平