數(shù)列第六章

第3講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課標(biāo)要求考情概覽1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.4.體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考中的重點(diǎn).預(yù)測(cè)本年度高考將會(huì)以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為考查重點(diǎn)，也可能將等比數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及性質(zhì)綜合考查，此外，還可能會(huì)與等差數(shù)列綜合考查.題型以客觀題或解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題型.學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏1

2同一個(gè)

q等比中項(xiàng)

a1qn－1

【特別提醒】1.由an＋1＝qan，q≠0并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.2.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤.

C2.(2022年乙卷)已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，則a6＝(

)A.14 B.12

C.6

D.33.(2023年天津)已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為(

)A.3 B.18

C.54

D.152DC

AD－4

重難突破能力提升2等比數(shù)列的基本運(yùn)算

示通法熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，尤其是運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比是否為1，同時(shí)注意整體轉(zhuǎn)化思想在解題中的運(yùn)用.

A

B－2

CD

【解題技巧】1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”).2.運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對(duì)公比q＝1和q≠1的分類討論.

AB

ACD

等比數(shù)列的判定與證明

【解題技巧】等比數(shù)列的4種常用判定方法：

定義法等比中項(xiàng)法通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列［提醒］(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定；(2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.【變式精練】2.(2023年海南模擬)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且均不相等，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列：②a2＝2a1＋1；③{Sn＋n＋a1＋1}是等比數(shù)列.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

選擇①③為條件，②為結(jié)論，設(shè)等比數(shù)列{an＋1}的公比為q(q＞

0且q≠1)，則an＋1＝(a1＋1)qn－1，所以a2＋1＝(a1＋1)q.(*)因?yàn)閧Sn＋n＋a1＋1}是等比數(shù)列，所以(S2＋2＋a1＋1)2＝(S1＋1＋a1＋1)(S3＋3＋a1＋

1)，即［2(a1＋1)＋a2＋1］2＝2(a1＋1)［2(a1＋1)＋a2＋1＋a3＋1］，所以［2(a1＋1)＋(a1＋1)q］2＝

2(a1＋1)［2(a1＋1)＋(a1＋1)q＋(a1＋1)q2］，因?yàn)閍1＋1≠0，所以化簡(jiǎn)整理，得(2＋q)2＝

2(2＋q＋q2)，

即q2－2q＝0.因?yàn)閝＞0，所以q＝2，代入(*)式，得a2＋1＝2(a1＋1)，即a2＝2a1＋1.

等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

BC

【解題技巧】1.在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.2.在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.

BD－6

素養(yǎng)微專直擊高考3思想方法——構(gòu)造新數(shù)列對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的方法以外，根據(jù)所給遞推公式的特點(diǎn)，還有以下幾種構(gòu)造方式.類型一

形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型(1)若c＝1，數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)若d＝0，數(shù)列{an