幾何圖形綜合題1.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥BE于E，CD⊥BE于D.若CD＝8，DE＝5，則AE的長為________．第1題圖3【解析】∵∠ABC＝90°，AE⊥BE，CD⊥BE，∴∠E＝∠CDB＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠ABE，在△CDB和△BEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CDB＝∠E,∠BCD＝∠ABE,CB＝BA))，∴△CDB≌△BEA(AAS)，∴BE＝CD＝8，AE＝BD，∵DE＝5，∴AE＝BD＝BE－DE＝8－5＝3.2.如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝8，點M、N分別在BC、CD上，且∠MAN＝60°，則四邊形AMCN的面積是__________．第2題圖16eq\r(3)【解析】如解圖，連接AC，過點A作AE⊥BC于點E，∵∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∴AE＝AB·sin60°＝4eq\r(3)，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，又∵AC平分∠BAD，∴∠B＝∠ACN＝60°，∴△ABM≌△ACN(ASA)，∴S四邊形AMCN＝S△ABC＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×8＝16eq\r(3).第2題解圖3.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，M、N分別為BC、CD上一點，連接AM、AN、MN，則△AMN周長的最小值為________．第3題圖2eq\r(7)【解析】如解圖，作點A關(guān)于BC、CD的對稱點E、F，連接EF，分別交BC、CD于點M、N，則AM＝ME，AN＝NF，此時EF的長為△AMN的周長的最小值．過點F作FP⊥EA交EA延長線于點P，∵∠BAD＝120°，∴∠PAF＝60°.∵AF＝2AD＝4，∴PA＝2，PF＝2eq\r(3).在Rt△EPF中，PE＝PA＋2AB＝4，∴EF＝eq\r(PE2＋PF2)＝2eq\r(7)，∴△AMN周長的最小值為2eq\r(7).第3題解圖4.唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個好玩的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點E為AB的中點，M、N是CD上的兩動點，且滿意MN＝1，則EM＋EN的最小值為________．第4題圖eq\r(5)【解析】∵E為AB的中點，∴EB＝eq\f(1,2)AB＝1，如解圖，連接BN，∵EB∥MN，∴四邊形EMNB為平行四邊形，∴EM＝BN，∴EM＋EN＝BN＋NE，作點E關(guān)于DC的對稱點E′，連接BE′，交DC于點N′，此時點B、N′、E′三點在一條直線上，∴點M、N′即為使EM＋EN最小值點，此時EM＋EN′＝BE′，EE′＝2BC＝2，EB＝1，∴在Rt△E′BE中，BE′＝eq\r(EE′2＋BE2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴EM＋EN的最小值為eq\r(5).第4題解圖5.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AD＝3，點E為邊AB上一點，且AE＝2，點F為BC邊上一動點，將△BEF沿EF折疊．點B落在點P處，連接AP、CP，則四邊形ADCP面積的最小值為________．第5題圖eq\f(15\r(3),4)－eq\f(3,2)【解析】如解圖，連接AC，S四邊形ADCP＝S△ACD＋S△ACP，∵S△ACD為定值，∴當(dāng)S△ACP最小時，四邊形ADCP的面積最小，∵AC為定線段，∴當(dāng)點P到AC距離最小時，S△ACP最小，由折疊可知，EP＝EB＝AB－AE＝1，∴點P在以E為圓心，EB長為半徑的圓弧上運動．過E作EH⊥AC，交圓弧于點P′，點P′即為使S△ACP最小時點P的位置，∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，AC＝AD＝3，S△ACD＝eq\f(9\r(3),4)，∵AE＝2，∠BAC＝60°，∴EH＝eq\r(3)，∴S△ACP′＝eq\f(1,2)AC·P′H＝eq\f(3,2)(eq\r(3)－1)，∴S四邊形ADCP′＝S△ADC＋S△ACP′＝eq\f(9\r(3),4)＋eq\f(3,2)(eq\r(3)－1)＝eq\f(15\r(3),4)－eq\f(3,2).第5題解圖6.如圖，矩形ABCD中，BC＝2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A、B、C分別落在點A′、B′、C′處，并且點A′、C′、B在同一條直線上，則tan∠ABA′的值為________．第6題圖eq\f(\r(5)－1,2)【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠A＝90°，C′D∥BC，∵將矩形ABCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AB＝C′D，BC＝B′C′＝A′D＝2，設(shè)AB＝x，則AB＝C′D＝x，A′C＝A′D＋CD＝x＋2，∵C′D∥BC，∴△A′C′D∽△A′BC，∴eq\f(C′D,BC)＝eq\f(A′D,A′C)，即eq\f(x,2)＝eq\f(2,x＋2)，解得x＝－1＋eq\r(5)或x＝－1－eq\r(5)(小于0，不合題意，舍去)，則tan∠ABA′＝tan∠DA′C′＝eq\f(C′D,A′D)＝eq\f(\r(5)－1,2).7.如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE最小，則最小值為________．第7題圖2【解析】如解圖，當(dāng)點P為BE與AC交點時，連接BD，與AC交于點F.∵點B與點D關(guān)于AC對稱，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE.當(dāng)PB＋PE＝BE時，其值最?。哒叫蜛BCD的面積為4，∴AB＝2.又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝2，∴PD＋PE的最小值為2.第7題解圖8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，動點F在邊BC上運動，連接AF，過C作CD⊥AF于點D，交AB于點E，則點B、D之間距離的最小值為________．第8題圖2eq\r(13)－4【解析】如解圖，連接BD，∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°，∴點D始終在以AC為直徑的⊙O的一部分上運動，∵OD＋BD≥OB，且OD與OB的長為定值，∴當(dāng)點D為OB與⊙O的交點時，線段BD的長取最小值，∵OC＝4，BC＝6，∴OB＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13)，∵OD＝4，∴BD之間距離的最小值為2eq\r(13)－4.第8題解圖9.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝BC＝2，∠C＝∠D＝60°，點P為四邊形ABCD內(nèi)隨意一點，則PA＋PB＋PC＋PD的最小值為________．第9題圖4eq\r(3)【解析】如解圖，連接AC、BD，則AC、BD的交點即為PA＋PB＋PC＋PD取得最小值時P點位置．在四邊形ABCD內(nèi)，任取一點P1，連接AP1、BP1、CP1、DP1，利用三角形三邊關(guān)系及三點共線性質(zhì)易得AP1＋CP1≥AC(當(dāng)點P在線段AC上時，等號成立)，BP1＋DP1≥BD(當(dāng)點P在線段BD上時，等號成立)，∴AP1＋BP1＋CP1＋DP1≥AC＋BD＝PA＋PB＋PC＋PD，即AP1＋BP1＋CP1＋DP1≥AP＋BP＋CP＋DP，當(dāng)點P為AC與BD的交點時，等號成立，∴AC與BD的交點即為P點，能使得PA＋PB＋PC＋PD最小，最小值為AC＋BD.∵AB∥CD，∠ADC＝∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BAD＝120°，∵AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∴∠ACD＝30°，∠DAC＝90°，∵AD＝2，∴AC＝eq\f(AD,tan30°)＝2eq\r(3)，同理可求得BD＝2eq\r(3)，∴AC＋BD＝4eq\r(3)，∴PA＋PB＋PC＋PD的最小值為4eq\r(3).第9題解圖10.如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝10，sinB＝eq\f(4,5)，點E、F分別是BC、AB上的點，連接DE、EF、DF，且EF⊥AB，則△DEF面積的最大值為________．第10題圖20【解析】如解圖，過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥BC于點H，∵sinB＝eq\f(AG,AB)＝eq\f(FH,BF)＝eq\f(4,5)，AB＝5，∴AG＝4，則BG＝3，∴S?ABCD＝AG·BC＝4×10＝40，設(shè)EF＝4k，則BE＝5k，BF＝eq\r(BE2－EF2)＝3k，∴S△BEF＝eq\f(1,2)BF·EF＝eq\f(1,2)×3k×4k＝6k2，∵FH＝BFsinB＝3k×eq\f(4,5)＝eq\f(12k,5)，∴S△AFD＝eq\f(1,2)(AG－FH)·AD＝eq\f(1,2)(4－eq\f(12k,5))×10＝20－12k，S△ECD＝eq\f(1,2)EC·AG＝eq\f(1,2)(BC－BE)·AG＝eq\f(1,2)(10－5