第五章第1講[A級基礎達標]1．設a是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是()A．a與λa的方向相反 B．a與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a【答案】B2．設a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D3．(2018年遼寧模擬)如圖，正六邊形ABCDEF中，設eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b B．eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)aC．eq\f(1,4)a－eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)a【答案】D4．(2018年雞西月考)已知平行四邊形ABCD，O是平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．a＋b＋c B．a＋b－cC．a－b＋c D．a－b－c【答案】C5．(2018年溫州八校檢測)設向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數p的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2【答案】B6．在△ABC中，已知D是邊AB上的一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝________.【答案】eq\f(2,3)【解析】因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).7．(2018年遼寧高三模擬)向量e1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋e2，給出下列結論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結論的序號為________．【答案】④【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上．8．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數λ，μ，使向量d＝λa＋μb與c共線？【解析】因為d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d與c共線，則應有實數k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ.故存在這樣的實數λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．9．如圖所示，四邊形ABCD是一個等腰梯形，AB∥DC，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)).【解析】依題意得eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))，所以2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MD,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.所以eq\o(DN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b－c.[B級能力提升]10．已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A．點P在線段AB上 B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上 D．點P不在直線AB上【答案】B【解析】因為2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).所以點P在線段AB的反向延長線上．故選B．11．設e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在【答案】A【解析】由題意，A，B，D三點共線，故必存在一個實數λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2.所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2.所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).12．O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()A．外心 B．內心C．重心 D．垂心【答案】B【解析】如圖所示，作∠BAC的平分線AD．因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))．所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·eq\o(AD,\s\up6(→)).所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(AD,\s\up6(→)).所以P的軌跡一定通過△ABC的內心．13．設G為△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，則角B的大小為()A．45° B．60°C．30° D．15°【答案】B【解析】因為G是△ABC的重心，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共線，所以sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，則sinB＝sinA＝sinC．根據正弦定理知b＝a＝c，所以△ABC是等邊三角形，則角B＝60°.故選B．14．若點O是△ABC所在平面內的一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為________．【答案】直角三角形【解析】eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.故A，B，C為矩形的三個頂點，△ABC為直角三角形．15．(2018年南京模擬)設P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，若cos∠BAC＝eq\f(2,5)，則k＝________.【答案】eq\f(5,14)【解析】取BC的中點D，連接PD，AD，則PD⊥BC，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→)).因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝2keq\o(AD,\s\up6(→))，即A，P，D三點共線，故AB＝AC．所以cos∠BAC＝cos∠DPC＝eq\f(DP,PC)＝eq\f(DP,PA)＝eq\f(2,5)，得AP＝eq\f(5,7)AD．所以2k＝eq\f(5,7)，解得k＝eq\f(5,14).16．若a，b是兩個不共線的非零向量，則當t為何值時，共起點的三向量a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)的終點在同一條直線上？【解析】設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a.要使A，B，C三點共線，只需eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.因為a與b為不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))所以當t＝eq\f(1,2)時，三向量終點在同一直線上．17．已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.【證明】(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq