三角函數(shù)、解三角形第五章第7講解三角形應(yīng)用舉例課標(biāo)考點(diǎn)考情簡析1．能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．2．利用正、余弦定理解決實(shí)際問題，根據(jù)實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn))考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來看，解三角形的實(shí)際應(yīng)用考查頻率不高，常見題型為選擇、填空題，解答題考查減少，幾何計(jì)算問題常結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量，難度以中檔題為主．學(xué)科素養(yǎng)：主要考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心能力欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②)．3．方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如北偏東α(如圖③)，如南偏東30°，北偏西45°等．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比．3．解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量．4．做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系，平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題．【答案】C2．(2021年南昌期末)如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的 (

)A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°【答案】D3．(2021年乙卷)魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝

(

)【答案】A4．(教材改編)如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝________．相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系． (

)(2)如圖所示，為了測(cè)量隧道口AB的長度，可測(cè)量數(shù)據(jù)a，b，γ進(jìn)行計(jì)算． (

)【答案】(1)√

(2)√重難突破能力提升2示通法解三角形應(yīng)用題時(shí)，實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，若已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；若已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．求距離、高度問題(1)請(qǐng)你利用準(zhǔn)備好的工具(可不全使用)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法，并給出測(cè)量報(bào)告；注：測(cè)量報(bào)告中包括你使用的工具測(cè)量方法的文字說明與圖形說明，所使用的字母和符號(hào)均需要解釋說明，并給出你最后的計(jì)算公式．(2)該學(xué)習(xí)小組利用你的測(cè)量方案進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，并將計(jì)算結(jié)果匯報(bào)給老師，發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與該建筑物實(shí)際的高度有誤差，請(qǐng)你針對(duì)誤差情況進(jìn)行說明．解：(1)選用測(cè)角儀與米尺即可，如圖所示：①選擇一條水平基線HG，使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上；②在H，G兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得A的仰角分別為α，β，CD＝a，測(cè)得測(cè)角儀的高度是h；(2)①測(cè)量工具問題；②兩次測(cè)量時(shí)位置的間距差；③用身高代替測(cè)角儀的高度．(注：如果有其他的合理測(cè)量方法也可；第二問中，寫出以上三種原因中之一即可)．【解題技巧】1．測(cè)量高度問題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．2．測(cè)量距離問題的兩個(gè)策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．【答案】(1)D

(2)C

(2021年廣州三中等中學(xué)聯(lián)考)已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A，B相距10海里，小船甲從海島B以2海里/小時(shí)的速度沿直線向海島A移動(dòng)，同時(shí)小船乙從海島A出發(fā)沿北偏西15°方向也以2海里/小時(shí)的速度移動(dòng)．測(cè)量角度問題(1)經(jīng)過1小時(shí)后，甲、乙兩小船相距多少海里；(2)在航行過程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，請(qǐng)求出所需時(shí)間，若不可能，請(qǐng)說明理由．(2)設(shè)經(jīng)過t小時(shí)(0＜t＜5)，小船甲處于小船乙的正東方向，設(shè)此時(shí)甲船的位置為E，乙船的位置為F，則甲船與A距離為|AE|＝(10－2t)海里，乙船與A距離為|AF|＝2t(海里)．∠FEA＝45°，∠EFA＝75°，【解題技巧】測(cè)量角度問題的基本思路及關(guān)注點(diǎn)(1)測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．(2)方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．【答案】BD

(2021年新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．(1)求證：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC．正(余)弦定理在平面幾何中的應(yīng)用【解題技巧】與平面幾何圖形有關(guān)的解三角形問題的思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解．(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果，求解時(shí)要靈活利用平面幾何的性質(zhì)，將幾何性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合起來．【變式精練】3．(2021年杭州期末)杭州市為迎接2022年的亞運(yùn)會(huì)，規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊