立體幾何與空間向量第八章第6講立體幾何中的向量方法(一)課標(biāo)要求考情概覽1．理解直線的方向向量及平面的法向量．2．能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系．3．能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理考向預(yù)測(cè)：從近三年高考情況來看，本講主要考查空間直角坐標(biāo)系的建立及空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算能力及應(yīng)用能力，有時(shí)也以探索論證的形式出現(xiàn)．試題以解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等．學(xué)科素養(yǎng)：主要考查直觀想象和邏輯推理的素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏02重難突破

能力提升03配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11．直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l________________，則稱此向量a為直線l的方向向量平面的法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量平行或共線

2．空間位置關(guān)系的向量表示【特別提醒】方向向量和法向量均不為零且不唯一．位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝km(k∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km(k∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝01．(2021年浙江月考)已知向量a＝(1,2,－1)，下列與a垂直的向量是

(

)A．(2,0,1)

B．(2,1,0)C．(2,1,1)

D．(2,1,4)【答案】D2．(2021年邢臺(tái)月考)若直線l的方向向量為m＝(3,－1,2)，平面α的法向量為n＝(2,3,－1)，則

(

)A．l∥α

B．l⊥αC．l?α

D．l與α斜交【答案】D【答案】ABC4．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0,－1)，若a＝(－1,y,z)，且a為平面ABC的法向量，則y＋z＝________.【答案】15．設(shè)μ，v分別是兩個(gè)不同平面α，β的法向量，μ＝(－2,2,5)，當(dāng)v＝(3,－2,2)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為________；當(dāng)v＝(4,－4,－10)時(shí)，α與β的位置關(guān)系為________．【答案】α⊥β

α∥β判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)直線的方向向量是唯一確定的． (

)(2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行． (

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合． (

)(4)若空間向量a垂直于平面α的法向量，則a所在直線與平面α平行．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×重難突破能力提升2

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn)．求證：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.利用空間向量證明平行問題【解題技巧】用向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量共線．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．【變式精練】1．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)．求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.示通法用空間向量證明垂直問題時(shí)，在建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，利用空間坐標(biāo)、空間向量表示點(diǎn)、線，把立體幾何的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題．利用空間向量證明垂直問題證明：如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC.因?yàn)樵谡庵鵄BC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．考向2證面面垂直

如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2．(1)求證：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3．試證明平面AMC⊥平面BMC.【變式精練】2．如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.求證：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.證明：(1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO.因?yàn)槠矫鍼BC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

(2021年臨沂檢測(cè))如圖所示的多面體中，已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝AD＝DE＝4，CD＝8．(1)證明：BD⊥平面BCF；(2)M為AD的中點(diǎn)，在DE上是否存在一點(diǎn)P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．利用空間向量解決探索性問題(1)證明：如圖，以DA，