14專題4萬有引力與航天考向一萬有引力理論的成就角度1開普勒行星定律的應用三大定律軌道定律面積定律周期定律方法技巧中心到橢圓軌道上最遠的距離為半長軸a,最近的距離為半短軸b【典題例析】[典例1](2024·青島三模)天宮空間站是我國獨立建設的空間站系統(tǒng)?？臻g站沿圖中橢圓軌道逆時針運行,周期為90分鐘。已知M、N是橢圓軌道短軸的兩個端點,月球的公轉周期為27天。下列說法正確的是()A.空間站與地心連線和月球與地心連線在相等時間內掃過的面積相等[1]B.空間站從M點運行到N點的最短時間小于45分鐘[2]C.月球繞地球運行的軌道半長軸約為空間站繞地球運行軌道半長軸的18倍[3]D.空間站在遠地點的速度一定大于7.9km/s[4]

【題眼破譯】[1]對同一行星或衛(wèi)星才成立[2]根據(jù)“近大遠小”判斷[3]利用開普勒第三定律判斷[4]最大運行速度為7.9km/s,越高越慢【解析】選B。選項過程分析結論A空間站和月球不是同一物體,運行軌道不同,則空間站與地心連線和月球與地心連線在相等時間內掃過的面積不相等×B根據(jù)開普勒第二定律,空間站距離地球越近,速度越大,所以空間站從M點運行到N點的最短時間小于半個周期,即小于45分鐘√C根據(jù)r月3T月2=r空3T×D7.9km/s是第一宇宙速度,是貼著地球表面做勻速圓周運動的速度,根據(jù)GMmr2=mv2r,可得v=×【模型圖解】圖例特點面積定律(1)v1>v2,v1>GM(2)S1=S2(3)tAB=tAD,tBC=tCD(4)tAB<tBC周期定律角度2萬有引力定律的應用估算中心天體的質量和密度兩條思路(1)萬有引力提供向心力,即GMmr2=ma=mv2r=mω2r(2)天體對其表面物體的萬有引力近似等于重力,即GMmR2=mg或GM=gR【典題例析】[典例2](2024·海南等級考)“嫦娥六號”進入環(huán)月圓軌道,周期為T,軌道高度與月球半徑之比為k,引力常量為G,則月球的平均密度為()A.3π(1+k)3C.π(1+k)3GT2k【解析】選D。[預測1](2024·平頂山二模)如圖所示,A、B、C分別表示太陽、水星和地球,假設水星和地球在同一平面內繞太陽做勻速圓周運動,水星公轉半徑為r,地球公轉半徑為R,此時AB與BC垂直。水星的公轉周期為T1,地球的公轉周期為T2,太陽質量為M,引力常量為G,所有天體均可視為質點,不考慮其他天體的影響,下列說法正確的是()A.從地球上看,太陽和水星與眼睛連線所成角度的正弦值最大為RB.T1=(C.水星與地球公轉線速度之比為RD.太陽的質量可表示為M=4【解析】選B。從地球上看,太陽和水星與眼睛連線所成角度的正弦值最大為rR,故A錯誤;由開普勒第三定律可知r3R3=T12T22,又知T2=1年,聯(lián)立解得T1=(rR)3年,故B正確;由GMr2m=mv2r,得v【模型圖解】模型情境已知天體(如地球)的半徑R和天體(如地球)表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動條件物體的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當向心力思路“自力更生法”(重力加速度法)“借助外援法”(環(huán)繞法)考向二人造衛(wèi)星與宇宙航行角度1衛(wèi)星運動參量分析1.兩類衛(wèi)星近地衛(wèi)星GMmR2=mg=同步衛(wèi)星GMm(R+h)2=m(R+h)(2π2.一個流程GMmr2=【典題例析】[典例3](2024·蘇州模擬)a為放在赤道上相對地球靜止的物體,隨地球自轉做勻速圓周運動,b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑),c為地球的同步衛(wèi)星。下列關于a、b、c的說法正確的是()A.b衛(wèi)星的發(fā)射速度小于7.9km/sB.a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為aa>ab>acC.a、b、c做勻速圓周運動的周期關系為Ta=Tc<TbD.在a、b、c中,b的線速度最大【思路導引】【解析】選D。選項過程分析結論A第一宇宙速度7.9km/s是最小的發(fā)射速度,可知b衛(wèi)星的發(fā)射速度大于7.9km/s×Ba、c的角速度相等,根據(jù)a=ω2r可知aa<ac,對b、c兩顆衛(wèi)星,根據(jù)a=GMr2可知ab>ac,則a、b、c做勻速圓周運動的向心加速度大小關系為ab>ac>×Ca、c的角速度相等,周期相等,Ta=Tc,根據(jù)開普勒第三定律r3T2=k,可知Tc>Tb,即a、b、c做勻速圓周運動的周期關系為Ta=Tc×Da、c的角速度相等,根據(jù)v=ωr可知va<vc,對b、c兩顆衛(wèi)星,根據(jù)v=GMr可知vb>vc,則a、b、c做勻速圓周運動的線速度大小關系為vb>vc>va,b√[預測2](2024·德州模擬)有a、b、c、d四顆地球衛(wèi)星:a還未發(fā)射,在地球赤道上隨地球表面一起轉動,b在近地軌道上正常轉動,c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測衛(wèi)星,各衛(wèi)星排列位置如圖。則有()A.a的向心加速度等于重力加速度gB.b在相同時間內轉過的弧長最長C.a的線速度大于b的線速度D.d的運動周期有可能是22h【解析】選B。同步衛(wèi)星的周期與地球自轉周期相同,角速度相同,則知a與c的角速度相同,根據(jù)a=ω2r,可知c的向心加速度大于a的向心加速度。衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時,由GMmr2=ma,得a=GMr2,衛(wèi)星的軌道半徑越大,向心加速度越小,則同步衛(wèi)星c的向心加速度小于b的向心加速度,而b的向心加速度約為g,故可知a的向心加速度小于重力加速度g,A錯誤;a與c的角速度相同,根據(jù)v=ωr可知c的線速度大于a的線速度;衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時,由GMmr2=mv2r,可得v=GMr,衛(wèi)星的半徑越大,線速度越小,所以a、b、c、d四顆衛(wèi)星中,b【模型圖解】模型衛(wèi)星或物體近地衛(wèi)星同步衛(wèi)星赤道上隨地球自轉的物體向心力萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力軌道半徑r1<r2r2>r3=r1角速度由GMmr2=mrω2得ω=GMr3,故ω同步衛(wèi)星與地球自轉角速度相同,故ω2=ω3ω1>ω2=ω3線速度由GMmr2=mv2r得v=GMr由v=rω得v2>v3v1>v2>v3向心加速度由GMmr2=ma得a=GMr2,故a由a=rω2得a2>a3a1>a2>a3角度2衛(wèi)星變軌問題四點注意(1)航天器變軌時半徑的變化,根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關系判斷。(2)穩(wěn)定在新軌道上的運行速度變化,由v=GMr(3)同一航天器在不同軌道上運行時機械能不同,軌道半徑越大,機械能越大。(4)航天器經(jīng)過不同軌道相交的同一點時加速度相等,外軌道的速度大于內軌道的速度?！镜漕}例析】[典例4](2024·湖北選擇考)太空碎片會對航天器帶來危害。設空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動,如圖中實線所示。為了避開碎片,空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體,使空間站獲得一定的反沖速度,從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示,其半長軸大于原軌道半徑。則()A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大【解析】選A。在P點變軌前、后空間站所受到的萬有引力不變,根據(jù)牛頓第二定律GMmr2=ma可知空間站變軌前、后在P點的加速度a=GMr2相同,A正確;因為變軌后其半長軸大于原軌道半徑,根據(jù)開普勒第三定律r3T2[預測3](2024·武漢模擬)2024年4月25日,神舟十八號載人飛船進入比空間站低的預定軌道,歷經(jīng)6.5小時調整姿態(tài)后成功與空間站對接,神舟十八號的變軌過程簡化為如圖所示,圓軌道Ⅰ、Ⅲ分別為預定軌道和空間站軌道,橢圓軌道Ⅱ分別與軌道Ⅰ、Ⅲ相切于P、Q兩點,軌道Ⅲ離地面高度約為400km,地球未畫出,則()A.神舟十八號在軌道Ⅰ上運行時的向心加速度大于其在地面上靜止時的向心加速度B.神舟十八號在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點時的向心加速度小于經(jīng)過Q點時的向心加速度C.神舟十八號在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點時的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點時的速度D.神舟十八號在軌道Ⅱ上的機械能大于在軌道Ⅲ上的機械能【解析】選A。根據(jù)a=GMr2,可知神舟十八號在軌道Ⅰ上運行時的向心加速度大于同步衛(wèi)星的向心加速度;而根據(jù)a=ω2r,可知同步衛(wèi)星的向心加速度大于地面上的物體的向心加速度,可知神舟十八號在軌道Ⅰ上運行時的向心加速度大于其在地面上靜止時的向心加速度,A正確;根據(jù)a=GMr2,可知神舟十八號在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點時的向心加速度大于經(jīng)過Q點時的向心加速度,B錯誤;神舟十八號從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ要在P點加速,可知在軌道Ⅱ上經(jīng)過P點時的速度大于在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點時的速度,C錯誤;神舟十八號從軌道Ⅱ進入軌道Ⅲ要在Q點加速,機械能增加,則在軌道【模型圖解】變軌模型兩類變軌離心運動近心運動示意圖變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小萬有引力與向心力的大小關系GMmr2<GMmr2>變軌結果(穩(wěn)定運動)轉變?yōu)闄E圓軌道運動或在較大半徑圓軌道上運動轉變?yōu)闄E圓軌道運動或在較小半徑圓軌道上運動新圓軌道上運動的速率比原軌道的小,周期比原軌道的大新圓軌道上運動的速率比原軌道的大,周期比原軌道的小動能減小、勢能增大、機械能增大動能增大、勢能減小、機械能減小考向三雙星、多星問題構成兩顆或多顆質量差別不大的星體,它們離其他星體很遠,在彼此間的萬有引力作用下運動,組成雙星或多星系統(tǒng)特點雙星系統(tǒng)軌道比較穩(wěn)定,很常見,三星及其他更多星體的系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定,非常罕見思路【典題例析】[典例5](多選)(2024·長沙聯(lián)考)天空中的星體壯麗璀璨,在萬有引力作用下,做著不同的運動。如圖1、2所示分別為雙星、三星模型,星體都繞它們之間的某一點做勻速圓周運動,軌跡圓半徑都為R,五個環(huán)繞天體質量均為m,引力常量為G,忽略其他天體對系統(tǒng)的作用,則()A.圖1中兩環(huán)繞天體向心力相同B.圖1中天體運動的周期為4πRC.圖2中天體運動的向心力大小為G2D.圖1和圖2中環(huán)繞天體的線速度之比為43∶【解析】選B、D。它們的向心力由萬有引力提供,大小相等、方向相反,A錯誤;根據(jù)萬有引力提供向心力可知Gm·m(2R)2=m故Gm2L2×2×cos30°=Fn,L=2Rcos30°,解得Fn=3Gm23R2,C錯誤;圖1中根據(jù)Gm·m(2R)2=mv12R,解得v1=【模型圖解】1.雙星模型模型特點兩星彼此間的萬有引力提供向心力,即:Gm1m2L2=Gm1m2L2=(1)兩星繞行方向、周期及角速度都相同,即:T1=T2,ω1=ω2(2)兩星的軌道半徑與它們之間的距離關系為:r1+r2=L(3)兩星做圓周運動的半徑r1、r2與星體質量成反比,即:m1m(4)兩星的運動周期T=2πL(5)兩星的總質量m=m1+m2=42.多星模型類型三星