知識梳理一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的概念和圖象的畫法一般式一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【提示】函數(shù)未必是二次函數(shù)，當(dāng)時，是二次函數(shù)頂點(diǎn)式，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為圖象的畫法第1步：用配方法化成的形式；第2步：確定圖象的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；第3步：在對稱軸兩側(cè)利用對稱性描點(diǎn)畫圖二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)（是常數(shù)，）對稱軸或（其中，為二次函數(shù)圖象）與軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；（2）用配方法把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式求解；（3）將對稱軸代入函數(shù)解析式求解增減性時，當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，取最小值；當(dāng)時，隨的增大而增大時，當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，取最大值；當(dāng)時，隨的增大而減小二、二次函數(shù)的圖象與之間的關(guān)系決定拋物線開口方向拋物線開口向上拋物線開口向下決定拋物線對稱軸的位置對稱軸為軸；（同號）對稱軸在軸左側(cè)；（異號）對稱軸在軸右側(cè)決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置拋物線過；拋物線與軸交于正半軸；拋物線與軸交于負(fù)半軸三、二次函數(shù)解析式的求解用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時，注意解析式的設(shè)法，常見情況如下：已知所設(shè)表達(dá)式頂點(diǎn)+其他頂點(diǎn)在原點(diǎn)處：頂點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)在軸上：與軸的兩個交點(diǎn)+其他（注：與軸的兩個交點(diǎn)為）對稱軸+與軸一交點(diǎn)+其他（1），當(dāng)對稱軸為軸時，（2）由對稱軸與求出拋物線與軸的另一個交點(diǎn)，設(shè)解析式（注：對稱軸為直線，與軸的一個交點(diǎn)為）任意三個點(diǎn)過原點(diǎn)：四、拋物線的平移圖形表示【提示】（1）平移前，先將解析式用配方法化成的形式.（2）二次函數(shù)圖象平移時，二次項系數(shù)不變示例二次函數(shù)，將該函數(shù)化為頂點(diǎn)式為（1）向左平移2個單位后的解析式為（2）向右平移2個單位后的解析式為（3）向上平移2個單位后的解析式為（4）向下平移2個單位后的解析式為五、二次函數(shù)與一元二次方程與不等式二次函數(shù)與一元二次方程（1）一元二次方程的解是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）判別式?jīng)Q定拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù)：①方程有兩個不相等的實數(shù)根拋物線與軸有兩個交點(diǎn)；②方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸有一個交點(diǎn)；③方程沒有實數(shù)根拋物線與軸沒有交點(diǎn)二次函數(shù)與不等式不等式的圖象觀察方法函數(shù)的圖象位于軸上方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍函數(shù)的圖象位于軸下方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解集或0六、二次函數(shù)的實際應(yīng)用建立二次函數(shù)模型解決問題常見類型關(guān)鍵步驟【提示】（1）求函數(shù)的最值時，要注意實際問題中自變量的取值限制對最值的影響.若對稱軸的取值不在自變量的取值范圍內(nèi)，則最值在自變量取值的端點(diǎn)處取得；（2）建立平面直角坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)是易于求二次函數(shù)的解析式拋物線形問題建立方便求解析式的平面直角坐標(biāo)系，找到圖象上三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式銷售利潤問題理清各個量之間的關(guān)系，找出燈亮關(guān)系求得解析式，根據(jù)要求確定函數(shù)的最值或建立方程求解圖形面積問題利用幾何知識用變量表示出圖形的面積，根據(jù)要求確定函數(shù)的最值或建立方程求解圖象信息類問題類型解題策略表格類觀察點(diǎn)的特征，驗證滿足條件的二次函數(shù)的解析式及其圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解圖文類根據(jù)圖文，借助圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)，提取信息，建立二次函數(shù)模型解題方法點(diǎn)撥1.解二次函數(shù)的解析式求圖象對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)的問題求二次函數(shù)圖象的對稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)，通常分為兩種情況：（1）若二次函數(shù)的解析式為的形式，則二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）若二次函數(shù)的解析式為的形式，則二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是.求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時，若拋物線的解析式為一般式，則通常運(yùn)用配方法化成頂點(diǎn)式進(jìn)行求解，或直接把代入頂點(diǎn)坐標(biāo)式求得.2.解二次函數(shù)的字母系數(shù)的問題拋物線的開口方向決定了的符號：若開口向上，則；若開口向下，則.拋物線對稱軸的位置決定了的符號：若對稱軸在軸左側(cè)，則同號；若對稱軸在軸上，則；若對稱軸在軸右側(cè)，則異號.拋物線與軸的交點(diǎn)位置決定了的符號：若交點(diǎn)在軸正半軸上，則；若交點(diǎn)在原點(diǎn)上，則；若交點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，則.3.解拋物線的平移問題拋物線的平移，應(yīng)關(guān)注的是頂點(diǎn)位置的改變，也就是說，拋物線的平移，實際上是拋物線頂點(diǎn)的平移.通常把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式后，再求其平移后的解析式，此時平移遵循的規(guī)律為“左加右減，上加下減”.由于拋物線平移后的形狀不變，故不變.4.比較二次函數(shù)值大小的方法（1）代入比較法：若已知二次函數(shù)的解析式，可將幾個點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式，求出對應(yīng)的函數(shù)值，再比較函數(shù)值的大小；（2）增減性比較法：當(dāng)點(diǎn)都在對稱軸的同側(cè)時，可直接根據(jù)函數(shù)的增減性比較大小，當(dāng)點(diǎn)不在對稱軸的同側(cè)時，可利用二次函數(shù)圖象的對稱性，將點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再利用增減性比較大??；（3）根據(jù)點(diǎn)到對稱軸距離比較大?。寒?dāng)拋物線開口向上時，點(diǎn)到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值越大，當(dāng)拋物線開口向下時，點(diǎn)到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值越小.5.求二次函數(shù)最值的策略求二次函數(shù)的最值時，要先確定函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的增減性，如果所給范圍包含頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則在頂點(diǎn)處取得最大（?。┲?；如果所給范圍不包含頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則利用函數(shù)增減性確定最值.6.解二次函數(shù)解析式的確定問題用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法.（1）設(shè)一般式：若已知二次函數(shù)圖象上的三點(diǎn)的坐標(biāo)時，通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為一般式，然后列出關(guān)于的三元一次方程組求解.（2）設(shè)交點(diǎn)式：若已知二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為，通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為交點(diǎn)式，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般式.（3）設(shè)頂點(diǎn)式：若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大值（最小值），通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式，然后代入另一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可列出關(guān)于的一元一次方程，最后將所求出的拋物線的解析式化為一般式.【方法總結(jié)】確定二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问?，主要的方法是待定系?shù)法.在考慮把二次函數(shù)的解析式設(shè)成什么形式時，可根據(jù)題目中的已知條件靈活選擇，以簡單為原則，盡量減少計算量，以提高準(zhǔn)確率.7.解拋物線的對稱性問題拋物線的對稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在求一個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是已知拋物線上兩個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.解此類題的主要依據(jù)：若拋物線上兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則拋物線的對稱軸可表示為直線.【方法總結(jié)】已知點(diǎn)在拋物線上，則把該點(diǎn)坐標(biāo)代入其解析式一定能使解析式成立.根據(jù)一個點(diǎn)及對稱軸（直線），求點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可利用公式，即.8.解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系問題一元二次方程可以看作是二次函數(shù)當(dāng)時的一種特殊情況，所以二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根.【方法總結(jié)】二次函數(shù)的圖象和軸的交點(diǎn)與一元二次方程的根之間的關(guān)系：決定拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)時，拋物線與軸有兩個交點(diǎn)；當(dāng)時，拋物線與軸有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，拋物線與軸沒有交點(diǎn).9.根據(jù)圖象確定不等式解集的方法先畫出函數(shù)的圖象，并確定（計算）兩個圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象的上下關(guān)系（圖象在上方即函數(shù)值較大），得出不等式的解集.【技巧點(diǎn)撥】①求大于時的取值范圍，即求拋物線在直線下方時所對應(yīng)的的取值范圍.②求與的乘積小于0時的取值范圍，即求拋物線與直線在軸異側(cè)時對應(yīng)的的取值范圍.【技巧點(diǎn)撥】求解直線與拋物線的公共點(diǎn)個數(shù)問題，即求直線與拋物線的解析式聯(lián)立組成的方程組，消去函數(shù)值后得到的一元二次方程的解的個數(shù)問題.拋物線與直線恒有兩個公共點(diǎn)，即對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式大于0.10.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題中最值的方法在實際問題中，求最值的一般步驟：（1）列出二次函數(shù)解析式，并根據(jù)自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值.需要注意的是：當(dāng)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍之內(nèi)時，需結(jié)合二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，在自變量的取值范圍內(nèi)求出函數(shù)的最值.11.利用二次函數(shù)解決拋物線形的實際問題的方法利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題時，需要先建立合適的坐標(biāo)系，一般選擇頂點(diǎn)作為原點(diǎn)或選擇對稱軸作為軸，然后確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，最后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題；利用二次函數(shù)解決拋物線形運(yùn)動路程問題時，一定要分析清楚拋物線的橫、縱坐