隨機(jī)變量及其概率分布質(zhì)量管理學(xué)2隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量二、隨機(jī)變量的概率分布3一、隨機(jī)變量（一）隨機(jī)變量的含義和表示

隨機(jī)變量——就是用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量，所以其取值帶有隨機(jī)性，即具體取何值在事先無法確定。作為表征產(chǎn)品性能的指標(biāo)，產(chǎn)品的質(zhì)量特性數(shù)據(jù)普遍都具有隨機(jī)性，所以每個(gè)質(zhì)量特性本身也就是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量通常用大寫字母X、Y、Z等表示，而用相應(yīng)的小寫字母x、y、z等表示它們的取值。

4一、隨機(jī)變量（二）隨機(jī)變量的類型根據(jù)隨機(jī)變量取值類型的不同，隨機(jī)變量可以分為兩種：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量，是只能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)數(shù)值的隨機(jī)變量。例如前面例子中的不合格品數(shù)X、鑄件內(nèi)的氣孔數(shù)Y，就都是離散型隨機(jī)變量。連續(xù)型隨機(jī)變量，是指可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任意實(shí)數(shù)值的隨機(jī)變量。前面例子中電冰箱的使用壽命Z，便是連續(xù)型隨機(jī)變量，再如上一節(jié)例6-2中的袋裝食品質(zhì)量，事實(shí)上也是屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。5二、隨機(jī)變量的概率分布（一）隨機(jī)變量概率分布的含義

隨機(jī)變量的取值具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，也就是說對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量，完全可以確定其取某個(gè)值或在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率。所以，既需要了解隨機(jī)變量所有可能的取值，還需要知道它取這些值的可能性具體是多少。6二、隨機(jī)變量的概率分布（二）離散型隨機(jī)變量的概率分布

設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為xi(i=1,2,…,n)，并且與其相對(duì)應(yīng)的概率P(X=xi)=pi都是已知的，那么也就確定了該隨機(jī)變量的概率分布。也可以用表格的形式更直觀地表示出來：XX1X2X3XNP7二、隨機(jī)變量的概率分布【例6-4】某種機(jī)械產(chǎn)品的故障維修時(shí)間X（以整小時(shí)記數(shù)），是一個(gè)隨機(jī)變量，且其概率分布為：表6-6維修時(shí)間的概率分布由此可知，當(dāng)一臺(tái)該種產(chǎn)品出現(xiàn)故障時(shí)，可以在n個(gè)小時(shí)內(nèi)將其維修好的概率即為：X（小時(shí)）12…n…P……8二、隨機(jī)變量的概率分布（三）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布1．概率密度函數(shù)

類似于離散型隨機(jī)變量概率分布的兩個(gè)性質(zhì)，連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)也需要滿足下面兩個(gè)條件：9二、隨機(jī)變量的概率分布2．概率分布函數(shù)通常，對(duì)于一個(gè)具體的取值a，概率分布函數(shù)F(a)表示的概率為：因此，可以用概率分布函數(shù)F(x)，來表示隨機(jī)變量X在區(qū)間(a，b)或[a，b]上取值的概率：10二、隨機(jī)變量的概率分布

由此顯而易見，連續(xù)型隨機(jī)變量在一個(gè)具體取值點(diǎn)上的概率為0，即它是一條面積等于0的線段。所以，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X而言，在區(qū)間(a，b)上或在區(qū)間[a，b]上取值的概率是相同的。

Oxab11二、隨機(jī)變量的概率分布（四）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征

隨機(jī)變量有一些重要的數(shù)學(xué)特征，以表征其分布的集中位置、離散程度等具體信息，主要包括隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差。1．隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望12二、隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，具有如下一些基本的運(yùn)算性質(zhì)：（1）常量c的數(shù)學(xué)期望，等于該常量本身：（2）隨機(jī)變量與一個(gè)常量之和的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與這個(gè)常量的和：13二、隨機(jī)變量的概率分布（3）隨機(jī)變量與一個(gè)常量乘積的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與這個(gè)常量的積：（4）兩個(gè)隨機(jī)變量的和或者差的數(shù)學(xué)期望，等于它們各自數(shù)學(xué)期望的和或差：（5）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望，等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的乘積：14二、隨機(jī)變量的概率分布2．隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差在求得一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望后，可以進(jìn)一步求得該隨機(jī)變量的方差。其方差就是該隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望離差平方的數(shù)學(xué)期望，記為D(X)或Var(X)：其平方根即為該隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)式6-23，可以得到離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量方差的具體計(jì)算公式，分別為：15二、隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的方差，具有下列運(yùn)算性質(zhì)：（1）常量c的方差等于0：（2）隨機(jī)變量與一個(gè)常量之和的方差，等于該隨機(jī)變量的方差：（3）隨機(jī)變量與一個(gè)常量乘積的方差，等于該隨機(jī)變量的方差與這個(gè)常量的平方的乘積：（4）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和或者差的方差，等于它們各自方差的和：16二、隨機(jī)變量的概率分布（五）常用的離散型概率分布1．兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布，也稱貝努利分布或0～1分布。如果一個(gè)隨機(jī)變量X只能取0和1兩個(gè)值，把其取1的概率記為p，取0的概率記為q，，則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布。17二、隨機(jī)變量的概率分布2．二項(xiàng)分布

在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，用隨機(jī)變量X來表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且P(A)=p，則：

稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)。定義中表示的是，在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的組合數(shù)，其具體的計(jì)算公式為：18二、隨機(jī)變量的概率分布對(duì)于服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X，可以求得其數(shù)學(xué)期望和方差分別為：19二、隨機(jī)變量的概率分布3．超幾何分布

對(duì)應(yīng)于二項(xiàng)分布適用的抽樣條件：有放回抽樣或總體較大時(shí)的無放回抽樣；而當(dāng)對(duì)一個(gè)有限總體進(jìn)行無放回抽樣時(shí)，其樣本中具有某種特征的個(gè)體數(shù)目，則不再適用二項(xiàng)分布，而是服從超幾何分布。超幾何分布的概率為：20二、隨機(jī)變量的概率分布4．泊松分布

如果一個(gè)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，…，k，…，且其概率為：其中，自然對(duì)數(shù)底e=2.71828…，k=0，1，2，…；則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為X~。松分布的數(shù)學(xué)期望與方差為：21二、隨機(jī)變量的概率分布（六）正態(tài)分布1．正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，有時(shí)也簡稱正態(tài)函數(shù)，或稱為Gauss函數(shù)。其具體形式為：2．正態(tài)分布曲線

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x22二、隨機(jī)變量的概率分布圖6-10的取值不同，則正態(tài)曲線的位置不同圖6-11的取值不同，則正態(tài)曲線的形狀不同

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x

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x23二、隨機(jī)變量的概率分布3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布特別地，當(dāng)時(shí)，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或單位正態(tài)分布，即：Z～N(0,1)。并將其密度函數(shù)記為：120.40.2

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z24二、隨機(jī)變量的概率分布易見，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線以縱軸為對(duì)稱軸，即。其極大值在z=0時(shí)取得：對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的概率密度函數(shù)，其概率分布函數(shù)記為，具體公式為：25二、隨機(jī)變量的概率分布在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相關(guān)概率時(shí)，結(jié)合其以縱軸為對(duì)稱軸的性質(zhì)，可以總結(jié)出如下一些關(guān)于其概率分布函數(shù)的計(jì)算公式：（2）（3）（4）（5）

（1）26二、隨機(jī)變量的概率分布4．正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)于一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，可以將其標(biāo)準(zhǔn)化，變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，進(jìn)而通過查表進(jìn)行計(jì)算。變換公式為：進(jìn)而可得，對(duì)于一般正態(tài)分布的概率分布函數(shù)F(x)：27二、隨機(jī)變量的概率分布對(duì)于普通的正態(tài)分布進(jìn)行概率計(jì)算的一些基本公式：（1）（2）（3）（4）

28二、隨機(jī)變量的概率分布（七）其他常見的連續(xù)型概率分布1．均勻分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為：那么就稱服從區(qū)間（