基本三角函數(shù)

I

aa

~2

aeI

—GI.Ill

2

aEn

-el.Ill

2

aGIII

-eII.IV

2

?GIVa

—GIkIV

2

II?終邊落在X軸上的角的集合：{a|a=m,K€z}?終邊落在y軸上的角的集合:

aa=/CT+工,Kez?終邊落在坐標軸上的角的集合：aa=K^,Kez

2

360度=2%引氏度

?基本三角函數(shù)符號記

/=\cx\r

=上弧度憶：“一全，二正弦，三切，四

2180

S=—Ir=1—1\cx\r

22螫度余弦”

1弧度=

7V

180引氐度

tanacota=1

,倒數(shù)關系：SinaCsca=1

CosaSeca=1

tan2a+1=Sec2a

三個倒立三角形上底邊對應三角函數(shù)的平方何等與對

22

平方關系：Sina+Cosa=1邊對應的三角函數(shù)的平方

\+Cot2a=Csc2a

乘積關系：Sina=tanctCosa,頂點的三角函數(shù)等于相鄰的點對應的函數(shù)乘積

m誘導公式?終邊相同的角的三角函數(shù)值相等

Sin{oc+2左打)=Since,kez

Cos{cc4-2k兀)=Coscc,kez

tan(6z+244)=tancc,kez

?角a與角-a關于聞對稱波R二北

tan(—a)=—tancc

?角萬—a與角a關于y軸對稱Sin^~弋=Sina

Ccs(/r—a)=-Cosa

tan(^r—a)=-tana

?角%+。與角a關于原點對稱十°?Tina

Cosy/r+ex)=—Cose

tan(zr+ar)=tana

=CosaS“=Cosa

77,2)

?角弓-。與角a關于y==%對稱(?

)=Sina'7V)=-Sina

Cos\——erCos(-----FCC

<2,

tan(兀)tanf冗)

-----a=cota-----FCC=-cola

2)2)

上述的誘導公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限

三角函數(shù)的性質

性質

y=Sinxy=Cosx

定義域RR

值域[-14][-1J]

周期性2TT2〃

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

單調性

_.71.71\lkrc_7i,2k7i\攵￡z,增函數(shù)

2k7V----2k兀?——kez,增函數(shù)

L22J\2kjr.2k7i+萬1Z￡z,減函數(shù)

2k7T+-,2k7T+—,kGz,減函:

_22

對稱中心

（女肛0）,4GZ

就+^0,,kez

對稱軸.71,

X=K7T-\——,KGZx-k兀、kGz

2

圖

一

像一c

4

定義域

71｛小WZ

X.X豐K兀+一、KGZ>

2

值域RR

周期性7171

奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)

單調性(.71.4、),Aez,增函數(shù)

K7T--------K7VH------(Z：7r,k/u+7r\kez,增函數(shù)

12y2,

對稱中心QTT,O),k,Gz

,kwz

對稱軸無無

圖1

77u7

像/(/

\:

?怎樣由y=Si/n變化為y=ASin(cax+°)+&?

振幅變化：y=S，>u-----------------?y=ASinx左右伸縮變化：

------------->y=ASincox左右平移變化-------->y=ASir^cox+（p）

上下平移變化-------->y=ASin（&r+e）+&

W平面向量共線定理：一般地，對于兩個向量210。）乙如果有

一個實數(shù)Z使前=啟G。6）貝族立是共線向量；反之如鬼與源共線向量

那么又且只有一個實麴，使葡=Aa.

vn線段的定比分點

點p分有向線段66所成的比的定義式qp=/iPK

1線段定比分%坐標公式

線段定比分點向量公式

J當4=1時J當;1=1時

線段中點坐標公式線段中點向量公式

xx+x2

2

.4

=V+-2

2

VDI向量的一個定理的類似推廣

向量共線定理:b=^a(Zx6)

J推廣

平面向量基本定理:A-+>—，其中?，才為該平面內(nèi)的兩個

'，+2~'1不共線的向量

J推廣

a=4G+4,+幾3/,

空間向量基本定理：（其中?式人為該空間內(nèi)的三個］

、不共面的向量）

IX一般地，設向量a=（x1,yj,辦=（%2，乃）且。W。，如果〃冽'么為%-％2%=0

反過來，如果為%一々y=°，貝必〃3.

x一般地，對于兩個非零向量獲有￡?分=g帆cose,其中。為兩向量的夾角。

項為2+y%

CosG

特別的，a?a=a=|t/|或者卜|=J—?a

刀如果a=(x,,y,),5=(%2，乃)月4*。，貝必?1=X|X2+>1^2

特別的，a_LB=X]X2+yty2=0

xn若正n邊形44…4的中心為。，則6%+兩+…+兩=6

三角形中的三角問題

A+B+C7iA-vB71C

oA+B+C=71---------=———

2一萬222

Sin(A+⑶=5Zn(C)Cos(A+B)=-Cos(C)

Cos------=Szn—

I2Jl2j

a_ba+h+c

?正弦定理:-------=2R—

~SinA~SinBSinCSinA+SinB+SinC

a2=Z?24-c2-IbcCosA,h2=a2+c2—2acCosB

余弦定理:

c2=a2+〃-labCosC

222222

_.b+c-a廠a+c-b

CosA=----------------n,CosB=----------------

2bc2ac

變形:

222

廠「a+Z7-c

CosC=----------------

2ab

?tanA+tan3+tanC=tanAtanBtanC

三角公式以及恒等變換

?兩角的和與差公式：Si〃(a+夕)=SinccCosp+CosccSinp,Sg6

Sin{cx-R)=SinccCosfi—CosccSinfi,"a一優(yōu)

Cos(a+夕)=CosaCosp-SinaSin/3,C

Cos(a一夕)=CosaCosp+SinaSin/3,C

tancr+tan夕=tan(cr+-tan<2tan/3)

tan(a+⑼Jna+tan/變形:tana-tanp-tan(a一4)0+tanatan°)

1-tanatan03atana+tanp+tan%=tanatan0tan%

tan(a-⑶=tana-tan/其中a,以%為三角形的三個內(nèi)角

1+tanatan0

SiHZa=2,SinocCoscx

?二倍角公式:

Cos2.cc=2cos2a—1=1—2Sin2cc=Cos2cc—Sin1a

2tancc

tan2a=

1—tan2a

Sin—=±J----------I---------

?半角公式：2V2tan0一土產(chǎn)CosaSina1-Cosa

2

「aII+CosaFl+Cosai+CosaSina

Cos—=土J----------

2V2

?降痔擴角公式：Cos2a='土勺今2aSirTcc=-——0"：s24

22

SinaCos/3=\Sin[a+/?)+Sin(a—/?)]

?積化和差公式：CosaSin/3=1[Sin(a+/?)-Sin(a-⑶]

CosaCosp=g[<Cos(a+/?)+Cos(a—/?)]

SincxSin/3=-\Cos{a4-/?)—Cos(a-/?)]

Sina+Sin/3=2s由.）cos（'"二」）

?和差化積公式：Sina-Sin/3=2cos（烏芋卜'"（氣'）S+S=2SC

S-S=2CS）

C+C=2CC

Cosa+Cos/3=2cos（.；夕1cos（0二"）C-C=-2SS

Cosa-Cos/3=_2Si〃（&+J卜—（二二』）

c2tan一a

Sina=--------

1+tan2—a

2

-oc

，a2tan

?萬能公式：-tan-萬9

Cosex,=--------tancc=------

.9CC

1+tan~—1—tan

22

7,cc3tan^—tan30

?三倍角公式：Sin3>0=3SinO—ASin0tan30=--------z---

Cos30=4cos3夕一3CosOl-3tan20

“三四立，四立三，中間橫個小扁擔”

補充

TT

1.常見三角不