PAGE1-3.1.1兩角差的余弦公式A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．計(jì)算coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)的值是()A．0 B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)＝coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋sineq\f(5π,12)sineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案：C2．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，則a·b＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2) C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).答案：A3．已知cosα＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))的值為()A.eq\f(5\r(2),13) B.eq\f(7\r(2),13) C.eq\f(17\r(2),26) D.eq\f(7\r(2),26)解析：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，所以sinα＝－eq\f(5,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7\r(2),26).答案：D4．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若a＝(cosA，sinA)，b＝(cosB，sinB)，且a·b＝1，則△ABC肯定是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：因?yàn)閍·b＝cosAcosB＋sinAsinB＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的內(nèi)角，所以A＝B，即△ABC肯定是等腰三角形．答案：B5．若cos(α＋β)＝eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(5,13)，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(3,2) C.eq\f(56,65) D.eq\f(36,65)解析：因?yàn)棣?，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)，β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又因?yàn)閏os(α＋β)＝eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(5,13)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4))))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(56,65).答案：C二、填空題6．cos(x＋270°)cos(x－180°)＋sin(x＋270°)sin(x－180°)的值等于________．解析：原式＝cos[(x＋270°)－(x－180°)]＝cos450°＝cos(360°＋90°)＝cos90°＝0.答案：07．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________．答案：－eq\f(1,2)8．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝eq\f(7\r(2),10)，A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則cosA＝________．解析：由A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，可知A＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),10)，cosA＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))·coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)三、解答題9．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值．解：因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝0.因?yàn)椋?lt;α－β<π，所以α－β＝－eq\f(π,2)或eq\f(π,2).10．設(shè)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求coseq\f(α＋β,2).解：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α－eq\f(β,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，eq\f(α,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2))).因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq\f(1,9)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\f(2,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝eq\r(1－\f(1,81))＝eq\f(4\r(5),9)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝eq\r(1－\f(4,9))＝eq\f(\r(5),3).所以coseq\f(α＋β,2)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝－eq\f(1,9)×eq\f(\r(5),3)＋eq\f(4\r(5),9)×eq\f(2,3)＝eq\f(7\r(5),27).B級(jí)實(shí)力提升1．設(shè)α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ等于()A.eq\f(2\r(5),25) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),5)或eq\f(\r(5),25)解析：依題意得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋β)＝±eq\r(1－sin2（α＋β）)＝±eq\f(4,5).又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因?yàn)閑q\f(4,5)>eq\f(\r(5),5)>－eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(4,5).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(2\r(5),25).答案：A2．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期是________．解析：由于f(x)＝cos2xcoseq\f(π,6)＋sin2xsineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，所以T＝e