高中數(shù)學(xué)必修4學(xué)問(wèn)點(diǎn)

第一章三角函數(shù)

班級(jí)姓名學(xué)號(hào)

2、角a的頂點(diǎn)及原點(diǎn)重合，角的始邊及x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)a為第

幾象限角.

第一象限角的集合為{。k360<0<-360+90*eZ}

第二象限角的集合為卜卜360+9(y<H36(T+18(y,ZeZ}

第三象限角的集合為{。k-360+180<a<H360+270,左ez}

第四象限角的集合為{ak360+270。<a<左?360+360eZ}

終邊在x軸上的角的集合為{ak=hl8(T,ZeZ}

終邊在y軸上的角的集合為[a\a=H180+9(T?ez}

終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為{a,=k.90,kez}

3、及角a終邊一樣的角的集合為{萬(wàn)伊=H36(T+aKeZ}

4、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度.

5、半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,則角a的弧度數(shù)的肯定值是崗=:.

_/1or\\°

6、弧度制及角度制的換算公式：21=360。，1。=——，1=—*57.3°.

180\K)

7、若扇形的圓心角為。(a為弧度制)，半徑為，弧長(zhǎng)為/,周長(zhǎng)為C,面積為S,則/=r|a|,

C=2r+l,S--lr--\a\r2.

22'1

8、設(shè)a是一個(gè)隨意大小的角，a的終邊上隨意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它及原點(diǎn)的間隔是

r^r=y]x2+y2>oj,則sina=),cosa--,tancr=—(x^O).yf

9、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，/上力

第三象限正切為正，第四象限余弦為正.(JZ卜_

10>三角函數(shù)線：sina=MP,cosa=OM,tana=AT."T~MyA~

ii、角三角函數(shù)的根本關(guān)系：vL/

(l)sin2cr+cos2a=l(sin2a=l-cos2a.cos2a=1-sin2a)；

sina（.sina）

（2）------=tancrsina=tanacosa.cosa=-------.

cosa\tanaJ

12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

口訣：函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限.

口訣：正弦及余弦互換，符號(hào)看象限.

13、①的圖象上全部點(diǎn)向左（右）平移網(wǎng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=5由（》+。）的圖象；再將函數(shù)

y=sin（x+0）的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的工倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

CO

y=sin（69x+e）的圖象；再將函數(shù)y=sin（<yx+0）的圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)

的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)》=Asin（a）x+°）的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的工倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

CD

y=sinox的圖象；再將函數(shù)y二五門(mén)的的圖象上全部點(diǎn)向左（右）平移忸個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

CO

y=sin（ox+o）的圖象；再將函數(shù)廣而（5+0）的圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)

的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)了二慶^”的+⑴的圖象.

14、函數(shù)y=Asin（5+°）（A>O,0>O）的性質(zhì)：

①振幅：A；②周期：T=空；③頻率：/=-=④相位：5+夕；⑤初相：<p.

coT2TT

函數(shù)y=Asin（5+°）+B,當(dāng)％=王時(shí)，獲得最小值為笫面；當(dāng)x=/時(shí)，獲得最大值為乂吠，

值域[-M][-M]R

當(dāng)尤=2k兀+（keZ）時(shí)，當(dāng)x=2k九[k￡Z）時(shí)，

最值ymax=l；當(dāng)％=2左）一、Jmax=1；當(dāng)X=2萬(wàn)T+萬(wàn)既無(wú)最大值也無(wú)最小值

（&eZ）時(shí),ymi?=-1.（左eZ）時(shí),^min=-1.

周期性27r2萬(wàn)兀

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k/r~—,2k7T+—

_22

在\2k7r—兀,2左司（左￡Z）上是

?j7t.7C）

（左eZ）上是增函數(shù)；在任K7t--,k7T-\——

（22

單調(diào)性增函數(shù)；在[2左耳2%1十司

2^+-,2^+—（ZeZ）上是增函婁攵.

_22.（%￡Z）上是減函數(shù).

（左eZ）上是減函數(shù).

對(duì)稱(chēng)中心（公■,（））（左cZ）對(duì)稱(chēng)中心版■+],（））（%eZ）

對(duì)稱(chēng)中心（當(dāng),0,eZ）

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x=%〃+￡（%eZ）

對(duì)稱(chēng)軸X-k7T（k￡Z）無(wú)對(duì)稱(chēng)軸

第二章平面對(duì)量

16、向量：既有大小，又有方向的量.數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.零向量：長(zhǎng)度為0的向量.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向一樣或相反的非零向量.零向量及任一向量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向一樣的向量.

17、向量加法運(yùn)算：

⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連.

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

⑶三角形不等式:M-忖卜卜+6卜同+同.

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a；

②結(jié)合律：^a+b^+c=a+^b+c^；@a+O-O+a=a.

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)〃=（%,，%）,5=（%2，%），則2+5=（%,+尤2，y+%）-

18、向量減法運(yùn)算：

a-^=AC-AB=BC

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量.

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)M=6=則4_5=（玉一/，乂_%）.

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（X],yj,（x2,>>2）.則AB=（X]—工2，乂一%）,

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)幾及向量"的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作40.

①|(zhì)羽=風(fēng)向；

②當(dāng)2〉0時(shí)，X汗的方向及日的方向一樣：當(dāng)2<0時(shí)，4M的方向及M的方向相反；當(dāng)4=0時(shí)，2a=0.

（2）運(yùn)算律：①=（澳）日；②（4+〃）夕=4汗+4江；?A,^a+b^-Aa+Ab.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)G=（x,y）,則zlM=/l（x,y）=（Xx，Zy）.

20、向量共線定理：向量網(wǎng)丑可及5共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù);I,使6=箱.

設(shè)G=（X],y）,b=（.x2,y2）.其中則當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)%一々乂=。時(shí)，向量。、方（5*。）共線.

21、平面對(duì)量根本定理：假如冢、公是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的隨意向量。，

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4，使M=（不共線的向量I、貳作為這一平面內(nèi)全部向量的一組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段PF?上的一點(diǎn)，P「P2的坐標(biāo)分別是（x，y），（9,%），當(dāng)時(shí)=%呵時(shí)，

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（士空，紀(jì)學(xué)].（當(dāng)4=1時(shí)，就為中點(diǎn)公式。：

23、平面對(duì)量的數(shù)量積：

⑴必行=同忸卜0$。（10。,方.6,0〈夕4180）.零向量及任一向量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)M和5都是非零向量，則①m=不5=0.②當(dāng)M及B同向時(shí)，萬(wàn)?5=同忖；當(dāng)M及B反向

時(shí)，ab=—15||^|；a?d=a?=同或同=.③"/?上同網(wǎng).

⑶運(yùn)算律：@a-b=b-a；②=4（萬(wàn)?5）二萬(wàn)?（幾5）；③,+5）?5=萬(wàn)?0+5?人

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量M=5=（9,%），則。石二王馬+,％.

若M=（x,y）,則同2=l2+y2,或同=Jf+y2.設(shè)M=（%,y）,石=（工2，、2），則

aLb0大馬+乂％=0,

設(shè)m、6都是非零向量，不=（玉,y）,5=（々,%）,6是萬(wàn)及b的夾角，貝Ijcos6=1而y--/,,--，-產(chǎn)

I明收+y；舊+x

第三章三角恒等變換

24、兩角和及差的正弦、余弦和正切公式：

(Dcos(?-/7)=cosacos/?+sinasin/?：(2)cos(?+/?)=cosacos^-sin?sin/?；

⑶sin(a—/?)=sinacos0一cosasin〃；⑷sin(a+〃)=sinacos/?+cosasin)3；

⑸tan(a_1)=tana-tan/

n(tana-tan/?=tan(?-/?)(1+tan?tan/7))；

1+tanatan0

⑹tan(a+/?)=tana+tan.

=>(tana+tan/?=tan(a+/?)(l-tanatan〃)).

1-tan?tan夕

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(1)sin2a=2sincrcosa.=>1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2

⑵cosla-cos2a—sin?a=2cos2a—1=1-2sin2a

aoc

=>升基公式1+cosa=2cos2—J-cosa=2sin2—

22

*?八2cos2a+1.1-cos2a

=>降累公式COS2Q=--------2-----,sm2a=-------------

22

/、△2tana

(3)tan2a=------------萬(wàn)能公式:

l-tan-a

_a2a

2tan一1—tan

26、半角公式：22

nsin（后a面=_了__獸___醉_—號(hào)_',，c更os無(wú)Q好再一,

a1+cosa.a-1—cosa2Q

cos-=±------------;sin——=±+tan~

27、合一至形=義三角函數(shù)的和或羞化為4一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次會(huì)"的y=Asin（皿+0）?B

1—cosasina1—cosa

tan—=±

形式。Asina+cosaS=VA"n(a+沛,0其中tan(p

A

28、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，進(jìn)步三角變換實(shí)力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，敏捷運(yùn)用三角公式,

駕馭運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能.常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

.（1）角的變換:在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角及角之間的和差，

倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件及結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲解，對(duì)角的變形如：

aaCL

①2。是a的二倍；4a是2。的二倍;c是巴的二倍；巴是巴的二倍;

224

30"71

②15。=45。-30。=60。-45。問(wèn)：sin—=cos—

~T1212

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