活頁作業(yè)(九)間接證明：反證法1．對反證法的理解，下列說法錯誤的是()A．命題條件不變，先假定結(jié)論錯誤，再推出矛盾B．要證“若p則q”，只需假設(shè)q的否定為真，再推出矛盾C．要證“若p則q”，只需證“若q的否定正確則p的否定正確”D．要證一個命題為真，只需證其否命題為假解析選項A，B，C均正確，用反證法證明命題時，是證明其否定為假，而D為證其否命題為假，故錯誤．答案：D2．用反證法證明命題：“若a，b，c為不全相等的實數(shù)，且a＋b＋c＝0，則a，b，c至少有一個負(fù)數(shù)”，假設(shè)原命題不成立的內(nèi)容是()A．a(chǎn)，b，c都大于0B．a(chǎn)，b，c都是非負(fù)數(shù)C．a(chǎn)，b，c至多兩個負(fù)數(shù)D．a(chǎn)，b，c至多一個負(fù)數(shù)解析“a，b，c中至少有一個負(fù)數(shù)”的否定為“a，b，c都是非負(fù)數(shù)”．由用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法可得，應(yīng)假設(shè)“a，b，c都是非負(fù)數(shù)”．答案：B3．用反證法證明“凸四邊形的四個內(nèi)角中至少有一個不小于90°”時，首先要作出的假設(shè)是()A．四個內(nèi)角都大于90°B．四個內(nèi)角中有一個大于90°C．四個內(nèi)角都小于90°D．四個內(nèi)角中有一個小于90°解析用反證法證明“凸四邊形的四個內(nèi)角中至少有一個不小于90°”時，首先要作出的假設(shè)是“凸四邊形的四個內(nèi)角中沒有一個不小于90°”，即“凸四邊形的四個內(nèi)角都小于90°”．答案：C4．設(shè)a，b，c為正數(shù)，p＝a＋eq\f(1,b)，q＝b＋eq\f(1,c)，r＝c＋eq\f(1,a)，則下列說法正確的是()A．p，q，r都不大于2B．p，q，r都不小于2C．p，q，r至少有一個不小于2D．p，q，r至少有一個不大于2解析(反證法)假設(shè)p，q，r三個數(shù)均小于2，即p＜2，q＜2，r＜2.則p＋q＋r＜6.①又p＋q＋r＝a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6.即p＋q＋r≥6②，∴①②矛盾，假設(shè)不成立．∴p，q，r三個數(shù)至少有一個不小于2.答案：C5．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯誤．②所以一個三角形不能有兩個直角．③假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________.解析由反證法的一般步驟可知，正確的順序應(yīng)為③①②.答案：③①②6．用反證法證明“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時，正確的假設(shè)為________________.解析由結(jié)論為：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”，可得反設(shè)的內(nèi)容是假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)．答案：a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)7．如圖，在正方體ABCD_A1B1C1D1中，點M是A1D1的中點，點N是CD的中點，用反證法證明直線BM與直線A1N是兩條異面直線證明：假設(shè)直線BM與A1N共面．則A1D1?平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN.由正方體特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN.又A1D1∥BC，所以BN∥BC．這與BN∩BC＝B矛盾，故假設(shè)不成立．所以直線BM與直線A1N是兩條異面直線．8．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．證明：(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，∴f(a)≥f(－b)．同理可得f(b)≥f(－a)．兩式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命題：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0.用反證法證明：假設(shè)a＋b＜0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＜0?a＜－b?fa＜f－b，,a＋b＜0?b＜－a?fb＜f－a.))所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．這與f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾．故a＋b≥0.逆命題得證．1．要證明不等式eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，可選擇的方法有()A．分析法 B．綜合法C．反證法 D．以上三種方法均可解析用分析法證明如下：要證明eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，需證(eq\r(3)＋eq\r(7))2＜(2eq\r(5))2，即證10＋2eq\r(21)＜20，即證eq\r(21)＜5，即證21＜25，顯然成立．故原結(jié)論成立．綜合法：∵(eq\r(3)＋eq\r(7))2－(2eq\r(5))2＝10＋2eq\r(21)－20＝2(eq\r(21)－5)＜0，∴eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5).反證法：假設(shè)eq\r(3)＋eq\r(7)≥2eq\r(5)，通過兩端平方后導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論．從以上證法中，可知三種方法均可．答案：D2．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且當(dāng)f(k)≥2k(k≥2，k∈N＋)時，總有f(k－1)≥2k－1成立，則下列命題中為真命題的是()A．若f(1)≥2，則f(n)≥2nB．若f(4)＜16，則f(n)＜2nC．若f(4)≥16，則當(dāng)n≥4時，f(n)≥2nD．若f(1)＜2，則f(n)＜2n解析假設(shè)f(n)＜2n不成立，則f(n)≥2n.根據(jù)遞推條件得f(n－1)≥2n－1，…f(2)≥22，f(1)≥2成立，與f(1)＜2，矛盾．故假設(shè)不成立．故若f(1)＜2，則f(n)＜2n成立，即D是真命題．答案：D3．編號分別為1至6的六名歌手參加歌唱比賽，組委會只設(shè)一名特等獎，觀眾甲、乙、丙、丁四人對特等獎獲得者進(jìn)行預(yù)測，甲：不是1號就是2號；乙：不可能是3號；丙：不可能是4,5,6號；?。菏?,5,6號中的一個．若四人中只有一人預(yù)測正確，則獲特等獎的是________.解析丙對，獲特等獎的是3號．原因如下：因為只有一個人猜對，而丙和丁互相否定，所以丙和丁中有一人猜對．假設(shè)丁對，則推出乙也對，與題設(shè)矛盾，所以丁猜錯了，因此猜對者一定是丙．于是乙猜錯了，獲特等獎的是3號．答案：3號4．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0中有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于解析(1)若①正確，則②③不正確．由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2.與②不正確矛盾，故①不正確．(2)若②正確，則①③不正確．由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確．(3)若③正確，則①②不正確．由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1.此時100a＋10b＋c＝100×2＋10×答案：2015．設(shè)等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，公差d≠0.(1)若a1＝1，且數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式．(2)證明：1，eq\r(3)，2不可能是等差數(shù)列{an}中的三項．(1)解∵數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))是等差數(shù)列，∴2×eq\f(S2,a2)＝eq\f(S1,a1)＋eq\f(S3,a3).∴eq\f(22＋d,1＋d)＝1＋eq\f(3＋3d,1＋2d).化簡得d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝1.∴an＝1＋(n－1)＝n.(2)證明：假設(shè)1，eq\r(3)，2分別為等差數(shù)列{an}中第m，n，r項，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a1＋m－1d，,\r(3)＝a1＋n－1`d，,2＝a1＋r－1d.))解得eq\r(3)－1＝eq\f(n－m,r－m).∵m，n，r為正整數(shù)，∴上式左端為無理數(shù)，右端為有理數(shù)．故等式不能成立．因此，假設(shè)不成立．∴1，eq\r(3)，2不可能為等差數(shù)列{an}中的三項．6．對于直線l：y＝kx＋1，是否存在實數(shù)k，使直線l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點A，B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．解不存在．理由如下：假設(shè)存在實數(shù)k，使得點A，B關(guān)于直線y＝ax對稱．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝－1，①,y1＋y2＝kx1＋x2＋2，②