三角形等高模型與鳥(niǎo)頭模型

模型一三角形等高模型

已經(jīng)知道三角形面積計(jì)算公式：

三角形面積=底乂高+2

從這個(gè)公式我們可以發(fā)覺(jué)：三角形面積大小，取決于三角形底和高乘積.

假如三角形底不變，高越大GJ、），三角形面積也就越五（?。?/p>

假如三角形高不變，底越大GJ、），三角形面積也就越亢（?。?；

這說(shuō)明當(dāng)三角形面積變更時(shí)，它底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變更.但是，當(dāng)三角形底和高同時(shí)發(fā)生變

更時(shí)，三角形面積不肯定變更.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)!，則三角形面積及原來(lái)一樣.這就是

3

說(shuō)：一個(gè)三角形面積變更及否取決于它高和底乘積，而不僅僅取決于高或底變更.同時(shí)也告知我們：一個(gè)三

角舫在面積不變更狀況下，可以有多數(shù)多個(gè)不同形態(tài).

在實(shí)際問(wèn)題探討中，我們還會(huì)經(jīng)常用到以下結(jié)論：

①等底等高兩個(gè)三角形面積相等；

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們底之比；

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們高之比；

如圖:S2=a:b

③夾在一組平行線之間等積變形，如右上圖八8=BS；

反之，假如s,,".0=s,“，，則可知直線48平行于CO.

④等底等高兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特別平行四邊形）；

⑤三角形面積等于及它等底等高平行四邊形面積一半：

⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們底之比：

兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們高之比.

【例1】你有多少種方法將隨意一個(gè)三角形分成：⑴3個(gè)面積相等三角形；⑵4個(gè)面積相等三角形；(3)6個(gè)

面積相等三角形。

【解析】(1)如下圖，。、E是BC三等分點(diǎn)、,F、G分別是對(duì)應(yīng)線段中點(diǎn)，答案不唯一：

(2)如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：

(1)(2)(3)

⑶如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：

【例2】如圖，長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和。在同一條直線上。

(1)求三角形4BC面積是三角形4BZ)面積多少倍？

⑵求三角形AB。面積是三角形ADC面積多少倍？

【解析】因?yàn)槿切蜛H/人三角形AAC和三南形A/JC在分別以以入和。。為底時(shí)，它們高都是從A點(diǎn)、

向BC邊上所作垂線，也就是說(shuō)三個(gè)三角形高相等。

于是：三角形ABD面積=12x高+2=6x高

三角開(kāi)彳ABC面積=(12+4)x高+2=8x高

三角形AOC面積=4x高+2=2x高

所以，三角形A8C面積是三角形48。面積二倍：

三角形ABD面積是三角形ADC面積3倍。

【例3】如右圖，A8正和CDEF都是矩形，長(zhǎng)是4厘米，8c長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分面積是

平方厘米。

VWV

【解析】圖中陰影部分面積等于長(zhǎng)方形A4C。面積一半，即4x3+2=6(平方厘米)。

【鞏固】(2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題)如圖所示，平行四邊形面積是50平方厘米，則陽(yáng)影部分面積是

平方厘米。

【解析】依據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積一半，所以陰影部分面積也等于

平行四邊形面積一半，為50+2=25平方厘米。

【鞏固】如下圖，長(zhǎng)方形A九E8和長(zhǎng)方形五。CE拼成了長(zhǎng)方形48CD,長(zhǎng)方形ABC。長(zhǎng)是20,寬是12,則它

內(nèi)部陰影部分面積是o

【解析】依據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長(zhǎng)方形面積一半，為』x20xl2=120。

2

【例4】如圖，長(zhǎng)方形A8CD面積是56平方厘米，點(diǎn)E、F、G分別是長(zhǎng)方形A8CD邊上中點(diǎn)，H為AD邊

上隨意一點(diǎn)，求陰影部分面積。

【解析】本題是等底等高兩個(gè)三角形面積相等應(yīng)用。

連接BH、CHo

'：AE=EB,

,*S&AEH=?

同理‘S△""[=SdCFn.S.e〃-S/JC//,

?*,S陰影="S長(zhǎng)方脛g）=Jx56=28（平方厘米）.

【鞏固】圖中E、F、G分別是正方形ABC。三條邊三等分點(diǎn)，假如正方形邊長(zhǎng)是12,那么陰影部分面積

是。

【解析】把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形3個(gè)邊就都被分成了相等三段。把”和這些分點(diǎn)以及正方形

頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了9個(gè)形態(tài)各不相同三角形。這9個(gè)三角形底邊分別是在正方形3個(gè)

邊上，它們長(zhǎng)度都是正方形邊長(zhǎng)三分之一。陰影部分被分割成了3個(gè)三角形，右邊三角形面積和第1

第2個(gè)三角形相等：中間三角形面積和第3第4個(gè)三角形相等；左邊三角形面積和第5個(gè)第6個(gè)三角

形相等。

因此這3個(gè)陰影三角形面積分別是ABH、BCH和CDH三分之一,因此全部陰影總面積就等于正方

形而積三分之一。正方形而積是144,陰影部分面枳就是48。

【例5】長(zhǎng)方形ABCD面積為36d,E、F、G為各邊中點(diǎn)，”為AD邊上隨意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積是

多少？

4_____________H____D

BFC

即S.用+S.HF+SM)HG=3巴謝+S&CHB+S&CHD)=-X36=18；

=x

而S&EHB+SujtHF+SZ〉HG~S陰影+S&EBF，~BExBF=—x(—xAB)x(—xBC)=-x36=4.5o

LZZZo

所以陰影部分面積是：^=18-5^=18-4.5=13.5。

【鞏固】在邊長(zhǎng)為6厘米正方形ABCZ）內(nèi)任取一點(diǎn)尸，將正方形一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別

及尸點(diǎn)連接，求陰影部分面積。

【解析】（法1）特別點(diǎn)法。由于尸是正方形內(nèi)部隨意一點(diǎn),可采納特別點(diǎn)法，假設(shè)。點(diǎn)及A點(diǎn)重合，則陰

影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中兩個(gè)陰影三角形面積分別占正方形面積士和士，所以陰影部分面積

46

為6嗎+》

15平方厘米。

（法2）連接孫、PC.

由于MAO及APBC面枳之和等于正方形48co面積一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形面積之和等

于正方形ABC。面積同理可知左、右兩個(gè)陰影三甭形面積之和等于正方形A8C7）面積1，所以

46

陰影部分面積為6葭（；+/=15平方厘米。

【例7】如右圖，E在4。上，4。垂直8C,4/）=12厘米，DE=3厘米.求三角形ABC面積是三角形E8C

面積幾倍？

【解析】因?yàn)?。垂直于BC,所以當(dāng)8c為三角形4BC和三角形EBC底時(shí)，A。是三角形ABC高，ED是三

角形EBCS,

于是：三角形A8C面積=5Cxl2+2=5Cx6

三角形E3C面矛只=BCx3+2=BCxL5

所以三角形ABC面積是三角形EBC面積4倍.

【例8】如圖，在平行四邊形A8CQ中，E尸平行4a連結(jié)的、AE.CF.8F那么及BEC等積三角形一共

有哪幾個(gè)三角形？

【解析】

【鞏固】如圖，在ARC中，。是AC中點(diǎn)，內(nèi)是A。中點(diǎn)，連結(jié)8月、CF.,那么及4用?等積=角形一共有

哪幾個(gè)三角形？

人

【解析】3個(gè)，AEC..BED、,DEC.

【鞏固】如圖，在梯形A8C。中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等三角形共有哪幾對(duì)?

【解析】ABD及.ACD,.ABC及.DBC,.ABO及DCO.

【例9】（第四屆“迎春杯”試題）如圖，三角形A3C面積為1,其中AE=3A3,BD=2BC，三角形BDE面

積是多少？

【解析】連接CE,VAE=3AB,:?BE=2AB,SBCE=25

義BD—2BC,?*.SBDE=2s.sc￡=4S“MC=4.

[例10]（2（X）8年四中考題）如右圖，AD=DB,AE=,已知陰影部分面積為5平方厘米，AABC

面積是平方厘米.

【解析】連接C7）.依據(jù)題意可知，AZX方面積為ADAC面積2，A/MC面積為A4AC面積」,所以拉力獷面

32

積為AABC而積而AD所面積為5平方厘米，所以A43C面積為5+1=30（平方厘米）.

2366

【鞏固】圖中三角形A5C面積是180平方厘米，D是BC中點(diǎn),4）長(zhǎng)是AE長(zhǎng)3倍，EF長(zhǎng)是BF長(zhǎng)3倍.那

么二角形AEF面積是多少平方厘米？

【解析】ABD,..A8C等高，所以面積比為底比，有，

11Ap

=1x90=30（平方厘米），

所以S八陽(yáng)廣一xS八8c=-x180=90（平方厘米）.同理有SME=-----xS

八2/tot-2Alft.ABD

3

5女=能5'…*0=22.5（平方厘米）.即三角形詆面積是22.5平方厘米.

【鞏固】如圖，在長(zhǎng)方形A8CD中，y是BD中點(diǎn),Z是OY中點(diǎn)，假如AB=24厘米，8C=8厘米，求三角

形zcy面積.

【解析】是應(yīng)）中點(diǎn)，Z是中點(diǎn)，AZY=-x-xDBts/CY=-sIK.N,

又???ABC。是長(zhǎng)方形，；.S7c=，SDC8=LXLS、8m=24（平方厘米）.

?￡A..IX^l-fJ2

【鞏固】如圖，三角形ABC面積是24,D、E和尸分別是8C、AC和AD中點(diǎn).求三角形DEF面積.

【解析】三角形人QC面積是三保形AAC面積一半2442=12,

三角形ADE又是三角形4QC面積一半12+2=6.

三角形產(chǎn)E。面積是三角形AQE面積一半，所以三角形五EO面積=6+2=3.

【鞏固】如圖，在三角形ABC中，4c=8厘米，高是6厘米，E、『分別為/W和AC中點(diǎn)，那么三角形EBF

面積是多少平方厘米？

【解析】???/是AC中點(diǎn)

?,SABC=2sABF

同理SA8F=2sBEF

??S=S+4=8x6+2+4=6（平方厘米）?

【例11】如圖ABC。是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、尸和G分別是它們所在邊中點(diǎn).假如長(zhǎng)方形面積是36個(gè)平方

單位，求三角形EFG面積是多少個(gè)平方單位.

【解析】如右圖分割后可得，S,c=S矩形即（+2=S矩窗?+4=36+4=9（平方單位）.

【鞏固】（97迎春杯決賽）如圖，長(zhǎng)方形人BC/）面積是1,例是4）邊中點(diǎn)，N在4?邊上，且2/W=HN.那

么，陰影部分面積是多少？

【解析】連接AM,因?yàn)镸是中點(diǎn)所以△A8M面積為■!"又因?yàn)?AN=/W,所以△血＞（?面枳為L(zhǎng)x』=-!-,

44312

又因?yàn)椤?DC而積為1，所以陰影部分面積為：1一上一,=』.

212212

[例12]如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米四個(gè)小長(zhǎng)方形

組合而成.求陰影部分面積.

【解析】如圖，將大長(zhǎng)方形長(zhǎng)長(zhǎng)度設(shè)為1,則48=—17=已1，CD=-^74—=-1,

12+36424+483

所以MN=1—！=」-,陰影部分面積為(12+24+36+48)x」xl-=5(cm2).

3412212

[例13]如圖，三角形"。中，DC=2BD,CE=3AEf三角形4DE面積是20平方厘米，三角形ABC

面積是多少？

【解析】???CE=3AE,??.AC=4A￡,SADC=4S;

文?：DC=2BD,；.BC=1.5DC,S.獷=L5S.a.=6S=120（平方厘米）.

[例14]（2009年第七屆“希望杯"二試六年級(jí)）如圖，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、

三角形8CD面積分別是89,28,26.那么三角形。跖面積是.

【解析】依據(jù)題意可知，5^+5^.=89+28=117,

所以4。：人。=5M火：5為3=26:117=2:9,

[例15]（第四屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖，梯形人8CO被它一條對(duì)角線分成了兩部分.三角形BDC

面積比三角形ABZ）面積大10平方分米.已知梯形上底及下底長(zhǎng)度之和是15分米，它們差是5分米.求

梯形A8C。面積.

【解析】如右圖，作AA平行線三角形RQE面積及三慚形ARQ面積相等，三南形。EC面積就是三角形

8DC及三角形ABD面積差（10平方分米）.從而，可求出梯形高（三角形DEC高）是：2x10-5=4（分

來(lái)），梯形面積是：15x4+2=30（平方分米）.

【例16】圖中AOB面積為15cm：線段OB長(zhǎng)度為倍，求梯形4BCO面積.

【解析】在中，因?yàn)镾A08=15cm2,且08=38,所以有S=5+3=501?.

因?yàn)?A8D和.ACD等底等高，所以有5八股=5.8.

從而S"0=l5cm2,在.BCD中,5=3S=45cm2,所以梯形面積：15+5+15+45=80（cmD.

【例17]如圖，把四邊形A8C。改成一個(gè)等積三角形.

A，B

【解析】本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成三角形及原四邊形面積相等.我們可以

利用三角形等積變形方法，如右上圖把頂點(diǎn)人移到C8延長(zhǎng)線上/V處，,48。及/A8￡＞面積相等，

從而A'QC面積及原四邊形ABCD面積也相等.這樣就把四邊形ABCD等積電改成了三角形

4DC.問(wèn)題是4位置選擇是依據(jù)三角形等積變形原則.過(guò)A作一條和。8平行直埃及CB延長(zhǎng)線

交于4點(diǎn).

詳細(xì)做法：（1）連接8。：

（2）過(guò)A作平行線，及CB延長(zhǎng)線交于/V.

（3）連接A'D,則,A'CD及四邊形ABCD等積.

[例18]（第三屆“華杯賽”初賽試題）一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面

積15%,黃色三角形面積是215產(chǎn).問(wèn)：長(zhǎng)方形面積是多少平方厘米？

【解析】黃色三角形及綠色三前彬底相等都等于長(zhǎng)方形長(zhǎng)，高相加為長(zhǎng)方形寬，所以黃色三角形及綠色三角

形面積和為長(zhǎng)方形面積50%,而綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積15%,所以黃色三角杉面積占長(zhǎng)方形

面積50%-15%=35%.

已知黃色三角形面積是21cm2,所以長(zhǎng)方形面積等于21+35%=60（cm2）.

【例19]。是長(zhǎng)方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，已知△OBC面積是5cm，△Q48面積是2cm求AOBD面積是多

少？

【解析】由于A8CD是長(zhǎng)方形，所以SM“+SABx=gSw＞而S.M加=(5.6,所以SMS+SA8”=SW，

則SA80c=S3CAB+S&OBD,所以SAOBD=MfOC一乂38=5-2=3cm二

【例20]如右圖，過(guò)平行四邊形ABC。內(nèi)一點(diǎn)尸作邊平行線所、GH,若A/有。面積為8平方分米,

求平行四邊形PHCF面積比平行四邊形PG4七面積大多少平方分米？

【解析】依據(jù)差不變?cè)?，要求平行四邊形面積及平行四邊形PG4E面積差，相當(dāng)于求平行四邊形

BCFE面積及平行四邊影ABHG面積差.

如右上圖，連接CQ、AP.

由于^UJiCP+S&9P=S&\BP+S^DP+S&ADP=/SABCD，所以S.cp-^UABP=S^HDP'

=

而S.CP=5SRCFE?=—SABHC,所以SBCF￡-S,\BHG=^(^ABCP~^A.ABP)2sA^口尸=16(平方分米).

【例21】

【解析】連接AC交班＞于O點(diǎn)，并連接PO.如下圖所示，

可得PO//DC,所以及ACPO面積相等（同底等高），所以有:

Sgpo+S&CPO-SgpQ+SaDO=S^PD'

%皿=320=5,所以&加=15-5=10.

因?yàn)镾20c

【鞏固】如右圖，正方形ABC/）面積是12,正三角形及小C面積是5,求陰影2丹）面積.

【解析】連接AC交80于O點(diǎn)，并連接PO.如右上圖所示，

可得PO//DC,所以ADPO及ACPO面積相等（同底等高），所以有:

S^BPO+SACPO=SABPO+SAPDO=S^PD，

因?yàn)镾M“=zSA6e=3?所以$加切=5—3=2

【例22】在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)。，形成等腰MO13面積為16,等腰MX）C面積占長(zhǎng)方形面積18%,

那么陰影AAOC面積是多少？

【解析】先算出長(zhǎng)方形面積，再用其一半減去ADOC面積（長(zhǎng)方形面積18%）,再減去AAOD面積，即可求出

AAOC面積.

依據(jù)模型可知&。0+5.。8=；5八88,所以邑8皿=16+（；-18%）=50，

乙乙

又A4OD及MOC面積相等，它們面積和等于長(zhǎng)方形面積一半，所以AAOD而積等于長(zhǎng)方形而積！，

4

所以SM0C-SMCD-SMOD-SAC0D--SAHCD-25°/oSAliCD-18%5八改力=25-12.5—9=3.5.

【例23】（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽六年級(jí)）如右圖所示，在梯形43co中，E、F

分別是其兩腰AB、CZ）中點(diǎn)，G是火上隨意一點(diǎn)，已知AWG面積為15cm2,而兇CG面積恰

7

好是梯形A4CD面積一，則梯形/WC7）面積是cnr.

20---------------

【解析】假如可以求出AA8G及ACOG面積之和及梯形A8CQ面積比，那么就可以知道AADG面積占梯形

A8CD面積多少，從而可以求出梯形A8CD面積.

+

如圖，連接CE、DE.則=5AoEG?SgEG=S^CEG?于是S^BG,^ACDG=^t\CDE,

要求ACDE及梯形A3CD面積之比，可以把梯形A3CD繞/點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，變成一個(gè)平行四邊形.如

下圖所示：

從中簡(jiǎn)單看出&CDE面積為梯形ABCD面積一半.（也可以依據(jù)S,HFC=—S\AM,

SAAED=Sw/）=-S&40c,SgEC+Sg￡/）=-S&48c+—S1Moe=-SABCl）得來(lái)）

i77

那么，依據(jù)題意可知A4QG面積占梯形A3C￡＞面積1-------=—,所以梯形488面積是

22020

3

15--=100cnr.

20

小結(jié)：梯形一條腰兩個(gè)端點(diǎn)及另一條腰中點(diǎn)連接而成三角形，其面積等于梯形面積一半，這是一個(gè)

很有用結(jié)論.本題中，假如知道這一結(jié)論，干脆采納特別點(diǎn)法，假設(shè)G及E重合，則ACDE而積占

梯形面積一半，那么A4DG及MCG合起來(lái)占一半.

【例24]如圖所示，四邊形ABC。及A反才'都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們面積相等.

【解析】本題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高兩個(gè)平行四邊形而積相等和三角形面積等于及它等底等高

平行四邊形面積一半.

證明：連接BE.（我們通過(guò)△池石把這兩個(gè)看似無(wú)關(guān)平行四邊形聯(lián)系在一起.）

???在平行四邊形AI3CD中，5ie,lDCf=-xA8xAB邊上高，

,*S&ABE=2S：ABCD?

同理，5,.八鹿=！5人卬/，，平行四邊形45。及"6”面積相等.

【鞏固】如圖所示，正方形44CQ邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形EBG〃長(zhǎng)4G為10厘米，那么長(zhǎng)方形寬為幾厘米?

【解析】本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特別平行四

邊形）.三角形面積等于及它等底等高平行四邊形面積一半.

證明：連接AG.（我們通過(guò)AMG把這兩個(gè)長(zhǎng)方形和正方形聯(lián)系在一起）.

???在正方形ABC。中，Sy陷=gxA8xA8邊上高，

:.S,,A*=0S（三角形面積等于及它等底等高平行四邊形面積一半）

*-*2'/\D\-1J

同理，S&ABG=SEFQB,

.??正方形A5CZ）及長(zhǎng)方/EAG4面積相等.長(zhǎng)方形寬=8x8+10=6.4（厘米）.

【例25]如圖，正方形/18CD邊長(zhǎng)為6,AE=1.5,CF=2.長(zhǎng)方形面積為

【解析】連接。及DF,則長(zhǎng)方形EFG”面積是三角形QE尸面積二倍.

三角形OEF面積等于正方形面積減去三個(gè)三角形面積，

S^DEF=6x6-1.5x6+2-2x6+2-4.5x4+2=16.5,所以長(zhǎng)方形E尸GH面積為33.

【例26]如圖，A8C。為平行四邊形，石尸平行4C,假如八。月面積為4平方厘米.求三角形C。尸面積.

【解析】連結(jié)AF、CE.

,,SADE=S.ACE；S.CDF=.ACF；

又???AC及E/平行，SACF=SACF.

,*SAO￡=S.8F=4（平方厘米）.

【鞏固】如右圖，在平行四邊形ABC7）中，直線CE交于巴交D4延長(zhǎng)線于尸，若53枷=1,求ABEF

面積.

【解析】本題主要是讓學(xué)生并會(huì)運(yùn)用等底等高兩個(gè)三角形面積相等（或夾在一組平行線之間三角形面積相等）

和等量代換思想.連接AC.

,:AB〃CD、：?SADE=S4ACE

同理AD〃8C,.=&皿.

又S4ACF=S^ACE+S+=SgEF,即%詆=S^DE=1?

【例27]圖中兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形面積是多少平方厘米.

【解析】4x44-2=8.

【例28]如圖，有三個(gè)正方形頂點(diǎn)。、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形邊長(zhǎng)為10厘米,

求陰影部分面積.

【解析】對(duì)于這種幾個(gè)正方形并排放在一起圖形，一般可以連接正方形同方向?qū)蔷€，連得這些對(duì)角線相互

都是平行，從而可以利用面積比例模型進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化.

如右圖所示，連接FK、GE、BD,處BD//GEUFK,依據(jù)幾何五大模型中面積比例模型，可得

5刖=5詔，SSKGE=SMUE，所以陰影部分面積就等于正方形G在8面積，即為lO=KX）平方厘米.

【解析】這道題好像缺少大正方形邊長(zhǎng)這個(gè)條件，事實(shí)上本題結(jié)果及大正方形邊長(zhǎng)沒(méi)關(guān)系.連接AD（見(jiàn)右上

圖），可以看出，三角形及三角形ACD底都等于小正方形邊長(zhǎng)，高都等于大正方形邊長(zhǎng)，所以

面積相等.因?yàn)槿?角形AG。是三角形AA/）及三角形48公共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，依據(jù)

差不變性質(zhì)，剩下兩個(gè)部分，即三角形ABG及三角形GCO面積仍舊相等.依據(jù)等量代換，求三角

形ABC面積等于求三角形BCZ）面積，等于4x4+2=8.

【鞏固】（2008年西城試驗(yàn)考題）如圖，A3。及AEFG均為正方形，三角形面積為6平方厘米，圖中

陰影部分面積為.

【解析】如圖，連接比較A鉆廠及AA7/，由于A8=AD,FG=FE,即八位及底及高分別

相等，所以AABb及AAOF面積相等，那么陰影部分而積及AA8”面積相等，為6平方厘米.

【鞏固】正方形A3CQ和正方形CEFG,且正方形A3CQ邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米?

【解析】方法一：三再膨BEF面積=BExEF+2,

梯形EFDC而枳=（EF+CD）xCE+2=BExEF+2=三憊形BEF面積,

而四邊形CE/H是它們公共部分，所以，三角形OH/面積二三角形8C”面積，

進(jìn)而可得，陰影面積=三角形4。尸面積=三角形BCD面積=10x10+2=50（平方厘米）.

方法二：連接CF,那么CF平行BO,

所以，陰影面積=三角形8。/面積=三角形BCD面積=50（平方厘米）.

【鞏固】（人大附中考題）已知正方形人4co邊長(zhǎng)為10,正方形BEFG邊長(zhǎng)為6,求陰影部分面積.

【解析】假如留意到。/為一個(gè)正方形對(duì)角線（或者說(shuō)一個(gè)等腰直角三角形斜邊），那么簡(jiǎn)單想到。尸及C/是

平行.所以可以連接C/、CF,如上圖.

由于。尸及a平行，所以拉》7面積及ADW面積相等.而ADW面積為IOx4x」=2（）,所以ADFI

2

面積也為20.

【例29】（2008年“華杯賽”決賽）右圖中，A3CD和CGE/是兩個(gè)正方形，AG和C/相交于，，已知CH

等于3三分之一，三角形C〃G面積等于6平方厘米，求五邊形A3GE廠面積.

【解析】連接AC、GF,由于4C及G尸平行，可知四邊形ACGF構(gòu)成一個(gè)梯形.

由于AHCG面積為6平方厘米，且CH等于CF三分之一,所以CH等于1H』，依據(jù)梯形蝴蝶定理

2

或相像三角形性質(zhì)，可知"HG面積為12平方厘米，AAHF面積為6平方厘米，M〃C面積為3

平方厘米.

那么正方形CGb面積為（6+12）x2=36平方厘米，所以其邊長(zhǎng)為6厘米.

又AA/C面積為6+3=9平方厘米，所以AO=9x2+6=3（厘米），即正方形A58邊長(zhǎng)為3厘米.那

么，五邊形A8G所面積為：36+9+32x^=49.5（平方厘米）.

【例30]（第八屆小數(shù)報(bào)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題）如下圖，E、r分別是梯形A3C。下底3C和腰CD上點(diǎn)，

DF=FC,并且甲、乙、丙3個(gè)三角形面積相等.已知梯形面積是32平方厘米.求圖中陰影

部分面積.

【解析】因?yàn)橐摇⒈麅蓚€(gè)三角形面積相等，底二FC.所以A到CD距離及石到C。距離相等，即AE及CD

平行，四邊形ADCE是平行四邊形，陰影部分面積=平行四邊形APCE面積,，所以陰影部分面積

2

=乙面積x2.設(shè)甲、乙、丙面積分別為1份，則陰影面積為2份，梯形面積為5份，從而陰影部分面

積=32+5x2=12.8（平方厘米）.

【例31]如圖，己知長(zhǎng)方形4）所面積16,三角形4出面積是3,三角形面積是4,那么三角形ABC

面積是多少？

.BEDE-DB_5CEFE-CF_1

'~DE~DE一1''EF~EF~2

方法二：連接防，由圖知S”"=16+2=8,所以=16—8—3=5,又由$4NF~4，恰好是

/\AEF面積一半，所以C是上廠中點(diǎn)，因此S,“=S，w=5+2=2.5,所以

=16-3-4-2.5=6.5

【例32]如圖，在平行四邊形A8CD中，BE=ECtCF=2FD.求陰影面積及空白面積比.

【解析】方法一：因?yàn)锽E=EC,CF=2FD,所以S^AliE='鼠邊形八改。?S&ADF=T$四邊開(kāi)｝ABCD,

4o

因?yàn)锳D=28E,所以4G=2GE,

11,21

所以S^BGE=§S^ABE=S四邊”"取Y)?S△八8c=§S△八BE=不S四邊形A8CD'

同理可得，他邊形，

S23=-SS?DUF=五'PHillHiABCD*

o5

因?yàn)镾i=gs—,所以空白部分面積=9用）s-,

所以陰影部分面積是:床邊形.g.

12

-:-=l:2,所以陰影面積及空白面積比是1:2.

33

【例33】（第七屆“小機(jī)智杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)復(fù)賽）如圖所示，三角形AHC中，。是延邊中點(diǎn)，E是

AC邊上一點(diǎn)，且AE=3EC,O為DC及BE交點(diǎn).若ACEO面積為。平方厘米，面積為8平

方厘米.且〃-。是2.5平方厘米，那么三角形ABC面積是平方厘米.

A

R

【解析】S^BC=S^CD=h+S^o,S^.=S^CE=a+8^.0,所以=〃一a=2.5（平方厘

米）?所以SA4Bc=2.5x4=IO（平方厘米）.

【例34]如圖，在梯形A?CD中，AD:班：=4:3,跳::EC=2:3,且MOE面積比AAOD面積小10平

方厘米.梯形ABCD面積是平方厘米.

3

【解析】依據(jù)題意可知4）:8E:EC=8:6:9,虬=-S,

ZJ/IOCLvJZ?w￡>/C*>

而5,皿）-5&腔=5.前-5兇^=10平方厘米，所以（5必9=1°，則也即=4（）平方厘米.

又，所以5爾二"乂40=75平方厘米.

LUM.rxg

所以S梯形A8CD=S&ABD+5的=40+75=115（平方厘米）.

【鞏固】（第五屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽）如圖，8。是梯形A8CD一條對(duì)角線，線段及。C平行，AE及

7

8。相交于。點(diǎn).已知三角形8OE面積比三角形AOD面積大4平方米，并且石C=（BC.求梯形

ABCZ）面積.

【解析】連接AC.依據(jù)差不變?cè)砜芍切瓮?面積比三用形A4加大4平方米，而三角形AHD及三角

形4C7）面積相等，因此也及三角形ACK面積相等，從而三角形AB石面積比三角形ACE大4平方米.

2??

但EC=-BC,所以三甭形ACE面積是三角形AM——=-,從而三角形48E而枳是（平方米），

55-23

梯形ABC。面積為：（平方米）.

【例35]如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.那么圖中

陰影部分面積是多少？

【解析】三角形A8C而積+三角形CDE面積+(13+35+49)=長(zhǎng)方形而積+陰影部分面積；又因?yàn)槿切?/p>

ABC■面積二三角形CDE面積=長(zhǎng)方形面積，所以可得：

2

陰影部分面積=13+35+49=97.

【例36】圖中是一個(gè)各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米直角三角形.將它短直角邊對(duì)折到斜邊上去

及斜邊相重合，那么圖中陰影部分(即未被蓋住部分)面積是多少平方厘米？

【解析】如下圖，為了便利說(shuō)明，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母.

有NA3C為直角，而/CED=ZABC,所以/CED也為宜色.而CE=CB=5.ADE及ACED同高,

所以面積比為底比，及二組二U3二號(hào)，設(shè)面積為“8”，則二CED面積為“5”.&CED是由&CDB

EC55

折疊而成，所以有二C￡。、二CD3而積相等，_ABC是由.ADE、&CED、組成，所以底,二

“8”+“5"+“5”="18"對(duì)應(yīng)為,x5xl2=30,所以“1"份對(duì)應(yīng)為白，那么4ADE面積為8x°=13l

2333

平方厘米.即陰影部分面積為132平方厘米.

3

【例37]如圖，長(zhǎng)方形A8CD面積是2平方厘米，EC=2DE,尸是OG中點(diǎn).陰影部分面積是多少平

【解析】如下圖，連接R7,4DBF.尸G而積相等，設(shè)為x平方厘米；二產(chǎn)GC、AOEC面積相等，設(shè)為y平

方厘米，那么.。砂面取為gy平方厘米.

S=2x+2y=\S/DF=x+1y=lx」=L所以有.比較②、①式，②式左邊比①式左邊多2x,

Afrt'CfD"tDI^IL3J33

②式右邊比①式右邊大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.而陰影部分面積為

2S5

y+士），=2*0.25=3平方厘米.

3312

【例38】(2007年六年級(jí)希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路/1￡和5,交叉處為D,張大

伯常走這兩條小路，他知道=OC,且AO=2O￡.則兩塊地Ab和C/中面積比是.

【解析】方法一：連接3D.

設(shè)△CED面積為1,△BED面積K,則依據(jù)題上說(shuō)給出條件，由。/=。。得5科女=5讖”，

即/\BDF面積為x+1、SAADC=SrADF

又有AD=2DE,Sj,乂=Sq內(nèi)計(jì)—2s△co上=2、S^AlfO=2s△?〃b=2x,而S^Alfl)=.v+1+2=2x

得x=3,所以SAAB：S4ca=(2+2):(l+3+4)=l:2.

方法二：連接BD,設(shè)Sw=l(份)，則SAACO=5八加沙=2,設(shè)5八8摟=x5八步〃=>則有，解得，所

以'S^CFH=(2+2):(4+3+1)=1:2

方法三：過(guò)尸點(diǎn)作尸G〃8C交AE于G點(diǎn)，由相像得。。:。尸=區(qū)>:。6=1:1,又因?yàn)?)=2。石,

所以AG:GE=A/：所=1:2,所以兩塊田地AC尸和CFB面積比=A尸：所=1:2

【例39】(2008年第一屆“”綜合素養(yǎng)測(cè)評(píng)六年級(jí)2試)如圖，BC=45,AC=2lfAA灰?被分

成9個(gè)面積相等小三角形，那么。/+必=.

2

【解析】由題意可知，BD:BC=S^D:SMBC=2:9,所以BD=gBC=10,CD=BC-BD=35;義