第20頁（共20頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高二同步經(jīng)典題精練之離散型隨機變量及其分布列一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?南昌校級期末）已知X服從兩點分布，若P（X＝0）＝5P（X＝1），則P（X＝1）＝（）A．16 B．15 C．14 2．（2024秋?河南期末）已知隨機變量X服從兩點分布，E（X）＝0.6，則其成功概率為（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.63．（2024秋?遼陽期末）下表是離散型隨機變量ξ的概率分布，則P（ξ≥2）＝（）ξ1234Pa24a81216A．34 B．1112 C．23 4．（2024春?碑林區(qū)校級期中）設(shè)隨機變量X服從兩點分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，則D（X）＝（）A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.75．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）已知隨機變量ξ的分布列如下所示，若Eξ＝2，則Dξ的值可能是（）ξ123PabcA．43 B．32 C．2 D二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024?蘇州模擬）隨機變量X的分布列如下表，隨機變量Y～B(3，23)．設(shè)Z＝XYXa1Pp1﹣pA．p=517 B．p=13 C．a(chǎn)（多選）7．（2024春?仁壽縣校級期末）設(shè)隨機變量的分布列為P(A．10a＝1 B．P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5 C．E(ξ)=34 D．P（（多選）8．（2024春?城關(guān)區(qū)校級期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下所示，則下列說法正確的是（）X﹣213P2a0.25aA．a(chǎn)＝0.25 B．E（X）＝1 C．D（X）＝4.5 D．P（0.5＜X＜3.5）＝0.5（多選）9．（2024春?石家莊期末）水平相當(dāng)?shù)募?、乙、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪在首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去．以下說法正確的是（）A．在有甲參與的一輪比賽中，甲獲勝的局數(shù)為隨機變量X，則P(B．記前6輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為隨機變量Y，則P(C．甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率為13D．記事件?n＝“第n輪甲輪空”，則P三．填空題（共3小題）10．（2024秋?武漢期末）已知隨機變量X，Y均服從0﹣1分布，若P(X=1)=P(Y=1)=13，且P（XY＝0）＝1，則P（11．（2023秋?德州期末）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1），則隨機變量Y＝3X﹣1的期望為．12．（2023秋?河南月考）設(shè)隨機變量X的分布列為P（X＝i）＝ai（i＝1，2，?，8），則常數(shù)a＝．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?洛陽期末）小明設(shè)計了一款虛擬電子射擊游戲，游戲規(guī)則如下：參與者手持一把彈槽數(shù)為5的左輪手槍來射擊目標，在任意一個彈槽內(nèi)裝填一顆子彈，然后隨機轉(zhuǎn)動左輪使其中一個彈槽對準槍口開槍射擊，規(guī)定：若該彈槽有子彈則一定能擊中目標，若該彈槽為空槽則子彈射擊不出去，從而無法擊中目標．一次射擊結(jié)束后，若未能擊中目標，則隨機在剩余的任意一個空彈槽內(nèi)裝填一顆子彈，并隨機轉(zhuǎn)動左輪使其中一個彈槽對準槍口重復(fù)射擊，直至擊中目標為止．已知轉(zhuǎn)動到任意槽位的概率均相等，且在所有彈槽內(nèi)填滿子彈就一定能擊中目標，記參與者擊中目標共需要射擊X次．（1）求P（X＝1）和P（X＝2）的值；（2）求X的所有可能取值；（3）求X的分布列．14．（2024秋?南昌校級期末）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率時34，乙每次擊中目標的概率2（1）求甲至少有1次未擊中目標的概率；（2）記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列；（3）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．15．（2024秋?日照期末）為弘揚中華民族的傳統(tǒng)美德，增強老年人的幸福感和歸屬感，某市開展學(xué)生志愿服務(wù)活動．現(xiàn)有來自甲，乙，丙，丁四個地區(qū)的學(xué)生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四個地區(qū)的養(yǎng)老院進行志愿服務(wù)，要求每個地區(qū)分配一名學(xué)生．（1）求甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的概率；（2）在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，常用協(xié)方差來描述兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度，給定離散型隨機變量X，Y，定義協(xié)方差為Cov（X，Y）＝E[（X﹣EX）（Y﹣EY）]．如果協(xié)方差為正，說明兩個隨機變量具有正相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為負，說明兩個隨機變量具有負相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為零，說明兩個隨機變量在線性關(guān)系上不相關(guān)．在參加志愿服務(wù)活動的4名學(xué)生中，記在本地區(qū)參加志愿服務(wù)的學(xué)生人數(shù)為X，不在本地區(qū)參加志愿服務(wù)的學(xué)生人數(shù)為Y．（i）求隨機變量X的分布列．（ii）求Cov（X，Y），并說明X，Y之間的線性相關(guān)關(guān)系．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高二同步經(jīng)典題精練之離散型隨機變量及其分布列參考答案與試題解析題號12345答案ADBAD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?南昌校級期末）已知X服從兩點分布，若P（X＝0）＝5P（X＝1），則P（X＝1）＝（）A．16 B．15 C．14 【考點】兩點分布（0﹣1分布）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)兩點分布的特征計算即可．【解答】解：由題意得P（X＝0）+P（X＝1）＝6P（X＝1）＝1，則P(故選：A．【點評】本題主要考查兩點分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?河南期末）已知隨機變量X服從兩點分布，E（X）＝0.6，則其成功概率為（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【考點】兩點分布（0﹣1分布）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)兩點分布的期望即可求解．【解答】解：∵隨機變量X服從兩點分布，設(shè)成功的概率為p，∴E（X）＝0×（1﹣p）+1×p＝p＝0.6．故選：D．【點評】本題主要考查兩點分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?遼陽期末）下表是離散型隨機變量ξ的概率分布，則P（ξ≥2）＝（）ξ1234Pa24a81216A．34 B．1112 C．23 【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得a＝2，根據(jù)對立事件運算求解．【解答】解：由離散型隨機變量ξ的概率分布得：a24+a8+1解得a＝2，∴P(故選：B．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2024春?碑林區(qū)校級期中）設(shè)隨機變量X服從兩點分布，若P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，則D（X）＝（）A．0.21 B．0.3 C．0.4 D．0.7【考點】兩點分布（0﹣1分布）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】A【分析】利用兩點分布P（X＝1）+P（X＝0）＝1，結(jié)合已知條件求出P（X＝1），P（X＝0），再根據(jù)方差公式求解即可．【解答】解：因為隨機變量X服從兩點分布，所以P（X＝1）+P（X＝0）＝1，又P（X＝1）﹣P（X＝0）＝0.4，所以解得P（X＝1）＝0.7，P（X＝0）＝0.3，所以E（X）＝1×0.7+0×0.3＝0.7，D（X）＝（0﹣0.7）2×0.3+（1﹣0.7）2×0.7＝0.21．故選：A．【點評】本題主要考查期望、方差的求解，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024春?梁溪區(qū)校級期中）已知隨機變量ξ的分布列如下所示，若Eξ＝2，則Dξ的值可能是（）ξ123PabcA．43 B．32 C．2 D【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)結(jié)合Eξ＝2，得到a，b，c的關(guān)系，以及c的范圍，將a，b用c表示，則Dξ﹣＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣4＝18c﹣8≤1，【解答】解：依題意，a+b+c＝1，隨機變量ξ的期望E（ξ）＝a+2b+3c＝2，所以b+2c＝1，b＝1﹣2c，a＝c．（0≤c而E（ξ2）＝a+4b+9c，所以Dξ﹣＝E（ξ2）﹣E2（ξ）＝a+4b+9c﹣4＝2c≤1，故選：D．【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)，期望與方差，考查了不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）6．（2024?蘇州模擬）隨機變量X的分布列如下表，隨機變量Y～B(3，23)．設(shè)Z＝XYXa1Pp1﹣pA．p=517 B．p=13 C．a(chǎn)【考點】離散型隨機變量及其分布列；n重伯努利試驗與二項分布．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；數(shù)據(jù)分析．【答案】BC【分析】先利用P(Z=0)=2981判斷a是否等于0，再求p的值；根據(jù)X與Y互相獨立，把E（Z）轉(zhuǎn)化為E（X【解答】解：∵隨機變量Y～B(3，23)，∴P（Y＝若a≠0，則P（Z＝0）＝P（XY＝0）＝P（Y＝0）=1又已知P(Z=0)=2981≠1且X與Y互相獨立，則P（Z＝0）＝P（XY＝0）＝P（X＝0）+P（Y＝0）﹣P（X＝0，Y＝0）＝p+1解得p=13，B選項正確，又E（X）＝0×13+1×23=23，E（Z）＝E（XY）＝E（X）E（Y）=43，故選：BC．【點評】本題考查0﹣1分布與二項分布，屬于中檔題．（多選）7．（2024春?仁壽縣校級期末）設(shè)隨機變量的分布列為P(A．10a＝1 B．P（0.3＜ξ＜0.82）＝0.5 C．E(ξ)=34 D．P（【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，求出a，即可依次判斷．【解答】解：隨機變量的分布列為P(則a+2a+3a+4a＝1，即10a＝1，故A正確；由A可知，a=1P（0.3＜ξ＜0.82）＝P（ξ=24）+P（ξ=34）＝5a＝P（ξ=14）=110，P（ξ=24）=15，P（ξ=34）=3故E（ξ）=14×故選：ABC．【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024春?城關(guān)區(qū)校級期末）已知離散型隨機變量X的分布列如下所示，則下列說法正確的是（）X﹣213P2a0.25aA．a(chǎn)＝0.25 B．E（X）＝1 C．D（X）＝4.5 D．P（0.5＜X＜3.5）＝0.5【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，以及期望、方差的公式，即可求解．【解答】解：由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，2a+0.25+a＝1，解得a＝0.25，故A正確；故X的分布列為：X﹣213P0.50.250.25故E（X）＝（﹣2）×0.5+1×0.25+3×0.25＝0，故B錯誤；D（X）＝0.5×（﹣2﹣0）2+0.25×（1﹣0）2+0.25×（3﹣0）2＝4.5，故C正確；P（0.5＜X＜3.5）＝P（X＝1）+P（X＝3）＝0.5，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，以及期望、方差的公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）9．（2024春?石家莊期末）水平相當(dāng)?shù)募?、乙、丙三人進行乒乓球擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制（即先贏2局者勝），首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪在首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去．以下說法正確的是（）A．在有甲參與的一輪比賽中，甲獲勝的局數(shù)為隨機變量X，則P(B．記前6輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為隨機變量Y，則P(C．甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率為13D．記事件?n＝“第n輪甲輪空”，則P【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】ACD【分析】對于A，運用互斥事件的概率公式和獨立事件的概率乘法公式計算可得；對于B，運用獨立事件的概率乘法公式計算可得；對于C，運用條件概率公式計算；對于D，運用全概率公式化簡得到遞推式，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出概率表達式．【解答】解：對于A，在有甲參與的一輪比賽中，甲獲勝兩局包括兩類互斥的事件：①第一、二局甲全勝；②甲在第一和第三局勝，或者在第二和第三局勝，故P（X＝2）＝（12）2+2×（12）3=1對于B，由題意可得P（Y＝3）＝（12）3=18對于C，設(shè)Ai＝“甲在第i輪獲勝”，由題意可得，甲在第三輪獲勝包括甲在第一、二、三輪均獲勝；或者第一輪輸，第三輪勝兩類情況．則甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率為P（A2|A3|=P(A對于D，因為?n＝（Cn﹣1?n）∪（Cn-1?n），而Cn﹣1?n與C由全概率公式，可得P（?n）＝P（Cn﹣1?n）+P（Cn-1＝P（Cn﹣1）P（?n|Cn﹣1）+P（Cn+1）P（?n|Cn-1）=12（1﹣故P（?n）-13=-12[p（Cn﹣1）-13]，又則{P（?n）-13}組成一個首項為-1可得P（?n）-13=-13×（即P（?n）=13-13×（-1故選：ACD．【點評】本題考查互斥事件的概率公式和獨立事件的概率乘法公式、全概率公式和等比數(shù)列的通項公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）10．（2024秋?武漢期末）已知隨機變量X，Y均服從0﹣1分布，若P(X=1)=P(Y=1)=13，且P（XY＝0）＝1，則P（【考點】兩點分布（0﹣1分布）．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】13【分析】根據(jù)兩點分布的概率特征，結(jié)合互斥事件特征和對立事件概率性質(zhì)計算即可．【解答】解：根據(jù)題意，因為隨機變量X，Y均服從0﹣1分布，且P(所以P（X＝1）＝P（X＝1，Y＝0）+P（X＝1，Y＝1）=13P（Y＝1）＝P（X＝1，Y＝1）+P（X＝0，Y＝1）=13又由P（XY＝0）＝1，即P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝0）＝1，則有P（X＝1，Y＝1）＝1﹣P（XY＝0）＝0③，將③代入①可得：P（X＝1，Y＝0）=1將③代入②可得：P（X＝0，Y＝1）=1又由P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝0）＝1，則P(所以P(故答案為：13【點評】本題考查0﹣1分布的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及概率的計算，屬于中檔題．11．（2023秋?德州期末）已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1），則隨機變量Y＝3X﹣1的期望為1．【考點】兩點分布（0﹣1分布）．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】1．【分析】根據(jù)題意，由二項分布的性質(zhì)求出P（X＝1），即可得E（X），結(jié)合期望的性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，P（X＝0）＝3﹣4P（X＝1），而P（X＝0）+P（X＝1）＝1，則有1﹣4P（X＝1）＝3﹣4P（X＝1），解可得P（X＝1）=2則E（X）=2故E（Y）＝E（3X﹣1）＝3×23-1故答案為：1．【點評】本題考查隨機變量的期望計算，涉及二項分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023秋?河南月考）設(shè)隨機變量X的分布列為P（X＝i）＝ai（i＝1，2，?，8），則常數(shù)a＝136【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】136【分析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可得結(jié)果．【解答】解：P（X＝i）＝ai（i＝1，2，?，8），∴a（1+2+3+?+8）＝36a＝1，解得a=故答案為：136【點評】本題考查隨機變量分布列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?洛陽期末）小明設(shè)計了一款虛擬電子射擊游戲，游戲規(guī)則如下：參與者手持一把彈槽數(shù)為5的左輪手槍來射擊目標，在任意一個彈槽內(nèi)裝填一顆子彈，然后隨機轉(zhuǎn)動左輪使其中一個彈槽對準槍口開槍射擊，規(guī)定：若該彈槽有子彈則一定能擊中目標，若該彈槽為空槽則子彈射擊不出去，從而無法擊中目標．一次射擊結(jié)束后，若未能擊中目標，則隨機在剩余的任意一個空彈槽內(nèi)裝填一顆子彈，并隨機轉(zhuǎn)動左輪使其中一個彈槽對準槍口重復(fù)射擊，直至擊中目標為止．已知轉(zhuǎn)動到任意槽位的概率均相等，且在所有彈槽內(nèi)填滿子彈就一定能擊中目標，記參與者擊中目標共需要射擊X次．（1）求P（X＝1）和P（X＝2）的值；（2）求X的所有可能取值；（3）求X的分布列．【考點】離散型隨機變量及其分布列．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解．【答案】（1）P（X＝1）=15，P（X＝2）（2）X的所有可能取值為1，2，3，4，5．（3）X的分布列為：X12345分析】（1）由題意得P（X＝1）=15，利用相互獨立事件概率乘法公式能求出P（X＝（2）利用列舉法得到X的所有可能取值為1，2，3，4，5．（3）分別求出X取值為1，2，3，4，5對應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．【解答】解：（1）由題意得P（X＝1）=1P（X＝2）＝（1-15）（2）由題意得X的所有可能取值為1，2，3，4，5．（3）P（X＝3）＝（1-15）×（1-2P（X＝4）＝（1-15）×（1-25）×（1P（X＝5）＝（1-15）×（1-25）×（1-35）×（∴X的分布列為：X12345點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式、離散型隨機變量的分布列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．14．（2024秋?南昌校級期末）甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率時34，乙每次擊中目標的概率2（1）求甲至少有1次未擊中目標的概率；（2）記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列；（3）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率．【考點】離散型隨機變量及其分布列；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）3764（2）分布列見解析．（3）764【分析】（1）由題意知，兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響；甲每次擊中目標的概率為34，射擊3次，相當(dāng)于3（2）根據(jù)題意看出變量的可能取值，根據(jù)變量對應(yīng)的事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式，寫出變量對應(yīng)的概率，寫出分布列．（3）甲恰比乙多擊中目標2次，包括甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次，甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次，這兩種情況是互斥的，根據(jù)公式公式得到結(jié)果．【解答】解：（1）記“甲連續(xù)射擊3次，至少1次未擊中目標”為事件A1，由題意知兩人射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響，射擊3次，相當(dāng)于3次獨立重復(fù)試驗，故P(（2）依題可知ξ的可能取值為0，1，2，3，并且ξ～B即P(ξ=0)=(P(ξ=2)=ξ的概率分布列為：ξ0123P16496427642764（3）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標2次為事件A，甲恰擊中目標2次且乙恰擊中目標0次為事件B1，甲恰擊中目標3次且乙恰擊中目標1次為事件B2，則A＝B1+B2，B1、B2為互斥事件，P(∴甲恰好比乙多擊中目標2次的概率為764【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．15．（2024秋?日照期末）為弘揚中華民族的傳統(tǒng)美德，增強老年人的幸福感和歸屬感，某市開展學(xué)生志愿服務(wù)活動．現(xiàn)有來自甲，乙，丙，丁四個地區(qū)的學(xué)生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四個地區(qū)的養(yǎng)老院進行志愿服務(wù)，要求每個地區(qū)分配一名學(xué)生．（1）求甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的概率；（2）在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，常用協(xié)方差來描述兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度，給定離散型隨機變量X，Y，定義協(xié)方差為Cov（X，Y）＝E[（X﹣EX）（Y﹣EY）]．如果協(xié)方差為正，說明兩個隨機變量具有正相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為負，說明兩個隨機變量具有負相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為零，說明兩個隨機變量在線性關(guān)系上不相關(guān)．在參加志愿服務(wù)活動的4名學(xué)生中，記在本地區(qū)參加志愿服務(wù)的學(xué)生人數(shù)為X，不在本地區(qū)參加志愿服務(wù)的學(xué)生人數(shù)為Y．（i）求隨機變量X的分布列．（ii）求Cov（X，Y），并說明X，Y之間的線性相關(guān)關(guān)系．【考點】離散型隨機變量及其分布列；相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）712（2）（i）X的分布列為：X0124P381314124（ii）由（i）得E(則E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝3，則（X﹣EX）（Y﹣EY）＝（X﹣1）（Y﹣3）＝（X﹣1）（1﹣X）＝﹣（X﹣1）2，設(shè)Z＝（X﹣EX）（Y﹣EY），則Z的分布列為：z﹣9﹣10P1245813則Cov（X，Y）＝E（Z）＝﹣1x5+0x3+（﹣9）×24＝﹣1，∵Cov（X，Y）＜0，∴X與Y負相關(guān)．∴在本地區(qū)參與志愿活動的學(xué)生人數(shù)與不在本地區(qū)志愿活動的學(xué)生人數(shù)呈負相關(guān)．【分析】（1）記事件A：“甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)”，則四名學(xué)生參加志愿服務(wù)安排方式共有A44=24種，甲地區(qū)學(xué)生在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的安排方式：A33=6種，甲地區(qū)學(xué)生不在乙地區(qū)且乙地區(qū)學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的安排方式有C2（2）（i）由題可知，X的所有取值為0，1，2，4且Y的取值為4，2，1，0，即X+Y＝4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出結(jié)果．（ii）由（i）得E(X)=0×38+1×13+2×14+4×124=1，則E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝3，則（X﹣EX）（Y﹣EY）＝（X﹣1）（Y﹣3）＝（X﹣1）（1﹣X）＝﹣（X﹣【解答】解：（1）記事件A：“甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)”，則四名學(xué)生參加志愿服務(wù)安排方式共有A4甲地區(qū)學(xué)生在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的安排方式：A3甲地區(qū)學(xué)生不在乙地區(qū)且乙地區(qū)學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的安排方式有C2則甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的概率為：P(（2）（i）由題可知，X的所有取值為0，1，2，4且Y的取值為4，2，1，0，即X+Y＝4，則P(P(P(則X的分布列為：X0124P381314124（ii）由（i）得E(則E（Y）＝E（4﹣X）＝4﹣E（X）＝3，則（X﹣EX）（Y﹣EY）＝（X﹣1）（Y﹣3）＝（X﹣1）（1﹣X）＝﹣（X﹣1）2，設(shè)Z＝（X﹣EX）（Y﹣EY），則Z的分布列為：z﹣9﹣10P1245813則Cov（X，Y）＝E（Z）＝﹣1x5+0x3+（﹣9）×24＝﹣1，∵Cov（X，Y）＜0，∴X與Y負相關(guān)．∴在本地區(qū)參與志愿活動的學(xué)生人數(shù)與不在本地區(qū)志愿活動的學(xué)生人數(shù)呈負相關(guān)．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．

考點卡片1．相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認識】﹣對于相互獨立事件A和B，P(【解題方法點撥】﹣應(yīng)用乘法公式計算獨立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨立性．【命題方向】﹣重點考察獨立事件的概率計算及獨立性證明．2．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關(guān)概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機變量．（3）連續(xù)型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．3．離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．4．兩點分布（0-1分布）【知識點的認識】﹣0﹣1分布：也