中職數(shù)學(xué)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)說(shuō)明：(1)在和角公式中，令α＝β，即得到二倍角公式；(2)要靈活理解“二倍角”的含義．二倍角公式不僅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍，3α是eq\f(3α,2)的二倍等，所有這些均可以應(yīng)用二倍角公式．基礎(chǔ)訓(xùn)練1．cos170°cos50°＋sin170°sin50°＝____________．2．sin15°＝____________．3．計(jì)算：eq\f(tan70°－tan25°,1＋tan70°·tan25°)＝____________．4．2cos275°－1＝____________．5.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝____________．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1兩角和與差的余弦公式例1(1)求值cos75°；(2)求值cos75°cos105°＋sin75°sin105°；(3)化簡(jiǎn)cos(36°＋α)cos(α－24°)＋sin(36°＋α)sin(α－24°)．【解】(1)cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).(2)原式＝cos(75°－105°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).(3)原式＝cos(36°＋α－α＋24°)＝cos60°＝eq\f(1,2).【變式訓(xùn)練】1.求值：cos20°cos25°－sin20°sin25°＝____________．2．求值：cos55°cos65°－cos35°sin65°＝____________．3．化簡(jiǎn)：cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝____________．例2(1)已知cosα＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，求cos(α＋eq\f(π,4))；(2)已知α，β為銳角，cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，求cosβ及角β的值．【解】(1)因?yàn)閏osα＝eq\f(12,13)，α∈(eq\f(3π,2)，2π)，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(5,13)，∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(12,13)×eq\f(\r(2),2)－(－eq\f(5,13))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(17\r(2),26).(2)∵cosα＝eq\f(1,7)，α為銳角，∴sinα＝eq\r(1－（\f(1,7)）2)＝eq\f(4\r(3),7)，∵0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，∴0＜α＋β＜π，又∵cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－（－\f(11,14)）2)＝eq\f(5\r(3),14)，又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2)，∵β為銳角，∴β＝eq\f(π,3).反思提煉：適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行角的變形是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，需根據(jù)已知條件中的角靈活地將所求的角進(jìn)行變形．【變式訓(xùn)練】1.已知sinα＝－eq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(π<α<\f(3π,2))))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))).2．已知cos(α－eq\f(π,3))＝eq\f(12,13)，eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)，求cosα.考點(diǎn)2兩角和與差的正弦、正切公式例4設(shè)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝eq\f(1,4)，且α是銳角．(1)求sinα；(2)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))).【解】(1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2))))＝cosα＝eq\f(1,4)，α為銳角，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(15),4)；(2)由(1)可得tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(15)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\a\vs4\al\co1(\f(π,4))))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanα·tan\f(π,4))＝eq\f(\r(15)＋1,1－\r(15))＝－eq\f(8＋\r(15),7).【變式訓(xùn)練】已知sin(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(2\r(5),5)，eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2)，求tan(α＋eq\f(π,3))，tanα.考點(diǎn)3二倍角公式例5化簡(jiǎn)或求值：(1)cos2eq\f(π,8)－sin2eq\f(π,8)；(2)cos15°sin15°；(3)2cos275°；(4)cos4eq\f(α,2)－sin4eq\f(α,2)；(5)eq\f(1,1－tanα)－eq\f(1,1＋tanα)；(6)1＋2cos2θ－cos2θ.【解】(1)原式＝cos(2×eq\f(π,8))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)；(2)原式＝eq\f(1,2)·(2sin15°cos15°)＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4)；(3)原式＝(2cos275°－1)＋1＝cos150°＋1＝－cos30°＋1＝－eq\f(\r(3),2)＋1；(4)原式＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝cos(2×eq\f(α,2))＝cosα；(5)原式＝eq\f(1＋tanα－（1－tanα）,（1＋tanα）（1－tanα）)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α；(6)原式＝1＋2cos2θ－(2cos2θ－1)＝2.例6若α∈[eq\f(π,2)，π]，且cos2α＝eq\f(3,5)，則tanα的值等于()A．2B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－2【解析】∵cos2α＝eq\f(3,5)，∴2cos2α－1＝eq\f(3,5)，cos2α＝eq\f(4,5)，sin2α＝eq\f(1,5)，∴tan2α＝eq\f(1,4)，∵α∈[eq\f(π,2)，π]，∴tanα＝－eq\f(1,2).故選C.【變式訓(xùn)練】已知cos2α＝eq\f(1,9)，α在第一象限，求sinα、cosα、tan(eq\f(π,4)＋α)．例7已知sinα＝eq\f(4,5)，α為銳角，求2cos2(eq\f(π,4)－eq\f(α,2))－1的值．【解】∵sinα＝eq\f(4,5)，α為銳角，∴2cos2(eq\f(π,4)－eq\f(α,2))－1＝cos2(eq\f(π,4)－eq\f(π,2))＝cos(eq\f(π,2)－α)＝sinα＝eq\f(4,5).反思提煉：二倍角公式表示了一個(gè)角的三角函數(shù)和它的二倍角的三角函數(shù)間的關(guān)系，它不僅適用于2α與α，其它如4α與2α，α與eq\f(α,2)，(eq\f(π,2)－α)與(eq\f(π,4)－eq\f(α,2))等也都適用．題目中利用了余弦的二倍角公式．【變式訓(xùn)練】已知角α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(4,5)，求sin(eq\f(π,6)－2α)的值．[課堂訓(xùn)練]1．cos70°cos40°＋sin70°sin40°＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)2．2cos275°－1＝()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)3．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))＝2，則tanx＝()A．3B.eq\f(1,3)C．－3D．－eq\f(1,3)4．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無(wú)法判定5．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，則sin2θ＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)6．已知eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(1,2)，則cos2α＝____________．7．已知θ是第二象限的角，sin(π－θ)＝eq\f(3,5)，則tan2θ＝____________．8．在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)(0°<A<45°)，cosB＝eq\f(5,13)(45°<B<90°)，求sinC與cosC的值．9．已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈(0，eq\f(π,2))．(1)求tanα及tan2α的值；(2)求sin(2α＋eq\f(π,4))的值．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式答案知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．－eq\f(1,2)【解析】原式＝cos(170°－50°)＝cos120°＝－cos60°＝－eq\f(1,2).2.eq\f(\r(6)－\r(2),4)【解析】sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).3．1【解析】由兩角差的正切公式可得：eq\f(tan70°－tan25°,1＋tan70°·tan25°)＝tan(70°－25°)＝tan45°＝1.4．－eq\f(\r(3),2)【解析】2cos275°－1＝cos150°＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).5．1【解析】eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1.重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】1.eq\f(\r(2),2)【解析】原式＝cos20°cos25°－sin20°sin25°＝cos(20°＋25°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).2．－eq\f(1,2)【解析】原式＝cos55°cos65°－sin55°sin65°＝cos(55°＋65°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).3．cosβ【解析】cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝cos(α＋β－α)＝cosβ.【例2】【變式訓(xùn)練】1.【解】∵sinα＝－eq\f(4,5)，π<α<eq\f(3π,2)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴cos(eq\f(π,6)－α)＝coseq\f(π,6)cosα＋sineq\f(π,6)sinα＝eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(3,5))＋eq\f(1,2)×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(3\r(3)＋4,10)，cos(eq\f(π,3)＋α)＝coseq\f(π,3)cosα－sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(1,2)×(－eq\f(3,5))－eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(4,5))＝eq\f(4\r(3)－3,10).2．【解】eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)，0<α－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)，∴sin(α－eq\f(π,3))>0，∴sin(α－eq\f(π,3))＝eq\r(1－cos2（α－\f(π,3)）)＝eq\f(5,13)，∴cosα＝cos[(α－eq\f(π,3))+eq\f(π,3)]＝cos(α－eq\f(π,3))coseq\f(π,3)－sin(α－eq\f(π,3))sineq\f(π,3)＝eq\f(12,13)×eq\f(1,2)－eq\f(5,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(12－5\r(3),26).【例4】【變式訓(xùn)練】【解】∵eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，∴cos(α＋eq\f(π,3))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝－eq\f(\r(5),5)，tan(α＋eq\f(π,3))＝－2，∵tan(α＋eq\f(π,3))＝eq\f(tanα＋\r(3),1－\r(3)tanα)＝－2，∴tanα＝eq\f(8＋5\r(3),11).【例6】【變式訓(xùn)練】【解】∵cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(1,9)，α在第一象限，∴sinα＝eq\f(2,3)，cosα＝eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝eq\f(2\r(5),5)，tan(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝9＋4eq\r(5).【例7】【變式訓(xùn)練】【解】∵α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，sinα＝eq\f(4,5)，∴cosα＝eq\f(3,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25).又∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,2)<2α<π，∴cos2α＝－eq\r(1－sin22α)＝－eq\r(1－（\f(24,25)）2)＝－eq\f(7,25).故sin(eq\f(π,6)－2α)＝sineq\f(π,6)cos2α－coseq\f(π,6)sin2α＝eq\f(1,2)×(－eq\f(7,25))－eq\f(\r(3),2)×eq\f(24,25)＝－eq\f(7＋24\r(3),50).課堂訓(xùn)練1．C【解析】原式＝cos(70°－40°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).2．C3．B【解析】∵tan(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanx＋tan\f(π,4),1－tanx·tan\f(π,4))＝eq\f(tanx＋1,1－tanx)＝2，∴tanx＋1＝2－2tanx?tanx＝eq\f(1,3).4．C【解析】∵cosAcosB>sinAsinB，即cos(A＋B)>0，∴A＋B為銳角，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，所以角C為鈍角．5．D【解析】tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ,cosθsinθ)＝eq\f(1,\f(1,2)sin2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝4，sin2θ＝eq\f(1,2)，故選D.6．－eq\f(4,5)【解析】eq\f(sinα－cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(1,2)?eq\f(tanα－1,tan＋1)＝eq\f(1,2)?tanα＝3，cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－9,1＋9)＝－eq\f(4,