第七章

隨機(jī)變量及其分布7.4.2超幾何分布

1、理解超幾何分布的概念，能判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布。

2.會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的概率、均值，會(huì)用超幾何分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3.理解二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系學(xué)習(xí)目標(biāo)

問(wèn)題1

已知100件產(chǎn)品中有8件次品,分別采用有放回的方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.

思路一：采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率均為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立，此時(shí)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(4,0.08).

問(wèn)題2

已知100件產(chǎn)品中有8件次品,分別采用無(wú)放回的方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.思考：如果采用不有放回抽樣,那么抽到4件產(chǎn)品中次品數(shù)X是否服從二項(xiàng)分布?如果不服從，那么X的分布列是什么?采用有放回抽樣，雖然每次抽到次品的概率均為0.08，但是每次抽取不是同一個(gè)試驗(yàn)，而且各次抽取的結(jié)果也相互獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，因此X不服從二項(xiàng)分布。思路二：利用古典概型

問(wèn)題2

已知100件產(chǎn)品中有8件次品,分別采用無(wú)放回的方式隨機(jī)抽取4件.設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列.思路一：一次性批量無(wú)序隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品作為樣本，思路二：有順序的依次隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品作為樣本，（利用古典概型）一、超幾何分布

一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.1.公式中個(gè)字母的含義N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.超幾何分布模型是一種不放回抽樣，是古典概率模型.記作：X~H(N，M，n).1.判斷下列隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，如果服從，其中的N,M，n，k的取值分別是什么？（1）某射擊選手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊3次，命中目標(biāo)的次數(shù)X；（2）盒中4個(gè)白球和3個(gè)黑球，不放回地摸取3個(gè)球，摸到黑球的個(gè)數(shù)X；（3）袋中有10個(gè)球，其中7個(gè)紅球，3個(gè)白球，每次不放回地從中摸出一個(gè)球，X是首次摸出黑球時(shí)的總次數(shù)；（4）從4名男演員和3名女演員中選4人，其中女演員的人數(shù)X；（5）10個(gè)村莊中有4個(gè)村莊交通不方便，若用隨機(jī)變量X表示任選7個(gè)村莊中交通不方便的村莊個(gè)數(shù)；鞏固練習(xí)不服從服從,N=7,M=3,n=3,k=0,1,2,3,不服從服從,N=7,M=3,n=4,k=0,1,2,3,服從，N=10,M=4,n=7,k=1,2,3,4,解:

另解:

例1.一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為??,則??服從超幾何分布,且??=30,??=3,??=10,??的分布列為至少有1件不合格的概率為??(??≥1)=??(??=1)+??(??=2)+??(??=3)??(??≥1)=1???(??=0)正難則反，利用對(duì)立事件求概率求超幾何分布的分布列的策略：1、判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布（不放回抽樣問(wèn)題）；2、根據(jù)已知條件，確定N,M,n對(duì)應(yīng)的值；3、代入超幾何分布的概率公式，求出結(jié)果：（1）將總體分為兩類，各有M件和N-M件；（2）分別從兩類元素中取個(gè)體，利用組合數(shù)求基本事件數(shù)：（3）利用概率公式1.袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)球，記X為摸出的兩球中白球的個(gè)數(shù)，求X的分布列，并求至少有一個(gè)白球的概率．2.從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.解:設(shè)X表示選出的5名數(shù)學(xué)中含甲的人數(shù)(只能取0或1),則X服從超幾何分布,且N=50,M=1,n=5,因此甲被選中的概率為練習(xí)探究：

服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么？令

，則p是N件產(chǎn)品的____________,

而

是抽取的n件產(chǎn)品的_______________,

因而可猜想：總體次品率樣本次品率二、超幾何分布的均值與方差____________p思考：如何進(jìn)行嚴(yán)格證明若X服從超幾何分布,D(X)＝二、超幾何分布的均值與方差解:例2.一袋中有7個(gè)大小相同的小球，其中有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球，從中任取3個(gè)球.

(1).求紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各取1個(gè)的概率.

(2).設(shè)X表示取到的藍(lán)色小球的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.X012P練習(xí)：

1.在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品;其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品.(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．解:

例3.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.(1)對(duì)于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為對(duì)于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系

例3.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.在相同的誤差限定下，采用不放回摸球估算的結(jié)果更可靠些0.0500.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.2.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.1.在相同的誤差限定下，采用不放回摸球估算的結(jié)果更可靠些1.區(qū)別1.一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系3.當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系3.超幾何分布更集中在均值附近.2.在相同的誤差限定下，采用不放回的超幾何分布摸球估算的結(jié)果更可靠些1.二項(xiàng)分布和超幾何分布都可以描述隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中恰有k件次品的分布規(guī)律。.2.二項(xiàng)分布與超幾何分布的均值相同.注意：1．超幾何分布的總體里只有兩類物品．2