第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.2.掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí).3.會(huì)用符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．4.借助實(shí)物了解平面的概念，理解平面的特點(diǎn)和基本性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)各面面積之和展開圖棱柱、棱錐、棱臺(tái)柱體、錐體、臺(tái)體的體積棱錐棱臺(tái)棱柱棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積復(fù)習(xí)回顧多面體表面積、體積公式匯總復(fù)習(xí)回顧旋轉(zhuǎn)體表面積、體積公式匯總圓柱圓錐圓臺(tái)?OR球lOO'2πrr??O'Or'2πr'rl2πr??2πrOSlr?導(dǎo)入前面我們初步認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單幾何體的組成元素，知道了頂點(diǎn)、棱（直線段）、平面多邊形是構(gòu)成棱柱、棱錐等多面體的基本元素，我們以直觀感知的方式認(rèn)識(shí)了這些基本元素之間的相互關(guān)系，從而得到了多面體的一些結(jié)構(gòu)特征．為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，需要對(duì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究．本節(jié)我們先研究平面及其基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，研究空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．新知講解——平面

在初中平面幾何中，我們對(duì)點(diǎn)和直線有了一定的認(rèn)識(shí)，知道它們都是由現(xiàn)實(shí)事物抽象得到的.

那么平面呢,是從什么現(xiàn)實(shí)事物中抽象出來的,平面有怎樣的特征？平面：幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.類似于直線向兩端無限延伸,平面是向四周無限延展的.無限延展不計(jì)厚薄絕對(duì)的平平面的特征不計(jì)大小(沒有邊界)(沒有面積)(沒有質(zhì)量)新知講解——平面

該怎樣畫一個(gè)平面呢？

與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面．我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面．①水平放置的平面②垂直放置的平面

在畫平行四邊形表示平面時(shí)，所表示的平面如果是水平平面，通常把銳角畫成45°，橫邊畫成鄰邊的兩倍.圖形語言：β

當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成豎向。新知講解——平面平面的表示

如：平面α、平面β②表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)字母如：平面ABCD③表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)字母表示如：平面AC、平面BD下面，我們來研究平面的基本性質(zhì).新知講解——點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，直線、平面都可以看出是點(diǎn)的集合．接下來我們通過元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，分別用文字語言、符號(hào)語音、圖形語言來描述，點(diǎn)A，直線l，m、平面α的位置關(guān)系．

文字語言符號(hào)語言圖形語言123新知講解——點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系文字語言符號(hào)語言圖形語言4567

思考我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？新知講解——平面的基本性質(zhì)生活中經(jīng)常看到用三角架支撐照相機(jī)、自行車等．由于三個(gè)支點(diǎn)在同一個(gè)平面上且不共線保證了三角支架的穩(wěn)定性.上述經(jīng)驗(yàn)和類似的事實(shí)可以歸納為以下基本事實(shí)：新知講解——平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1

過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.ACB簡(jiǎn)記為：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.符號(hào)語言：A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)！存在性唯一性不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C所確定的平面，可記成平面ABC.新知講解——平面的基本性質(zhì)

在實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上，那么直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上。而一個(gè)點(diǎn)是不可以確定一個(gè)平面的。上述經(jīng)驗(yàn)和類似的事實(shí)可以歸納為以下基本事實(shí)：思考

如果直線l

與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線

l

與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？新知講解——平面的基本性質(zhì)符號(hào)語言：作用：①判斷直線是否在一個(gè)平面內(nèi)

②判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)基本事實(shí)2

如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).αA?B?l新知講解——平面的基本性質(zhì)

我們知道，平面具有“平”和“無限延展”的特征.而基本事實(shí)2反映了直線與平面的位置關(guān)系.我們能不能利用這種位置關(guān)系，用直線的“直”刻畫平面的“平”用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”？ACB

所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面.組成這個(gè)“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個(gè)方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”.

如圖，由基本事實(shí)1，給定不共線三點(diǎn)A,B,C它們可以確定一個(gè)平面ABC；

連接AB,BC,CA,由基本事實(shí)2，這三條直線都在平面ABC內(nèi)，

進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面ABC內(nèi)，新知講解——平面的基本性質(zhì)思考

如下圖，把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？BαB

想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去穿越課桌面?？梢韵胂螅瑑蓚€(gè)平面相交于一條直線，由此我們得到又一個(gè)基本事實(shí)。新知講解——平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.lP

若平面α與β相交于直線l，則把l叫做α與β的交線，記作α∩β=l.符號(hào)語言作用：①判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)．②判斷點(diǎn)在直線上．新知講解——相交平面的畫法⑴先畫兩平面基本線⑵畫兩平面的交線⑶分別作三條線的平行線⑷把被遮部分的線段畫成虛線或不畫，其他為實(shí)線。αβ相交平面的畫法：αββα

如何畫出兩個(gè)相交平面？還可以這樣畫：新知講解——平面的基本性質(zhì)推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αaAααbabaP推論2

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.

上述三個(gè)關(guān)于平面的基本事實(shí)是人們經(jīng)過長(zhǎng)期觀察與實(shí)踐總結(jié)出來的，是幾何推理的基本依據(jù)，也是我們進(jìn)一步研究立體圖形的基礎(chǔ).

利用基本事實(shí)1和基礎(chǔ)事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可以得到下面三個(gè)推論：作用：確定一個(gè)平面．追問

如你能用基本事實(shí)證明這三個(gè)推論嗎？新知講解——平面的基本性質(zhì)推論一

經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．a(chǎn)證明：如圖，設(shè)點(diǎn)A是直線a外一點(diǎn)，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C，

由基本事實(shí)1，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α．

由基本事實(shí)2，直線a也在平面α內(nèi)，

∴平面α經(jīng)過直線a和點(diǎn)A．

即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面．新知講解——平面的基本性質(zhì)推論二

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．證明：如圖，設(shè)點(diǎn)A、B分別是直線a、b上異于P的點(diǎn)，

由基本事實(shí)1，經(jīng)過A、B、P三點(diǎn)確定一個(gè)平面α．

由基本事實(shí)2，直線a和直線b也在平面α內(nèi)，

∴平面α經(jīng)過直線a和直線b．即兩條相交直線確定一個(gè)平面．新知講解——平面的基本性質(zhì)推論三

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．證明：∵當(dāng)兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，且不相交時(shí)叫做平行線，

∴兩條平行直線a和b必在某個(gè)平面α內(nèi)，

就是說過兩條平行直線有一個(gè)平面α.

如果過a和b還有一個(gè)平面β，那么在a上的任意一點(diǎn)A一定在β內(nèi)，

這樣過點(diǎn)A和直線b有兩個(gè)平面α和β，這和推論1矛盾，

∴過平行直線a和b的平面只有一個(gè)．即兩平行線確定一個(gè)平面．課堂總結(jié)1.平面的含義：2.平面的性質(zhì)：(1)平面的特征：(2)平面的表示：①用希臘字母表示：平面a、平面β、平面γ.②用大寫英文字母表示：平面ABCD、平面AC.①平②無厚?、蹮o限延展的如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)基本事實(shí)2

過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.也可以簡(jiǎn)單說成“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面”.(1)基本事實(shí)1如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.(3)基本事實(shí)3推論1

經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.典例講解1.求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．證明：

可將原問題轉(zhuǎn)化為已知AB∩AC=A,AB

∩BC=B,AC∩BC=C.求證：直線AB、BC、AC

共面.α證法一：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1、l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2、l3確定一個(gè)平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A、B、C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．題型一、點(diǎn)線共面問題典例講解1.求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．題型一、點(diǎn)線共面問題α證法二：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個(gè)平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3∴l(xiāng)3?α.∴直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．

方法總結(jié)證明點(diǎn)、線共面的常用方法（1）納入法：先由部分點(diǎn)、直線確定一個(gè)平面，再證明其他點(diǎn)、直線也在這個(gè)平面內(nèi).（2）重合法：先說明一些點(diǎn)、直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些點(diǎn)、直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.典例講解題型二、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題2.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．

（1）求證：C，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；

（2）求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)；∴EF∥D1C，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面．（1）連接EF，D1C，A1B，∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.

證明：典例講解題型二、點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題2.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．

（1）求證：C，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；

（2）求證：CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)；證明：P（2）設(shè)D1F∩CE＝P，D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，∴點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴P∈DA，即CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．方法總結(jié)證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線的方法

1.證明三線共點(diǎn)的方法

（1）首先說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)；

（2）然后說明這個(gè)點(diǎn)在另外兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交；

（3）最后證明得到的交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn).

2.證明三點(diǎn)共線的方法

（1）首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上；

（2）選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上.鞏固練習(xí)1、如圖，在下列正方體中，M，N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，M，N，P，Q四點(diǎn)共面的是（

）A.B.C.D.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)2、下列敘述中，正確的是（

）鞏固練習(xí)P128練習(xí)1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”．（1）書桌面是平面．