8.4.1平面

觀察長(zhǎng)方體，你能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的位置關(guān)系嗎？問(wèn)題

長(zhǎng)方體由上下、前后、左右六個(gè)面圍成．

有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直線與面平行，有些棱所在直線與面相交，每條棱所在的直線都可以看成是某個(gè)平面內(nèi)的直線，等等．

觀察教室里的桌面、黑板面，它們呈現(xiàn)出怎樣的形象？觀察

觀察活動(dòng)室里的地面，它呈現(xiàn)出怎樣的形象？觀察

觀察海面，它又呈現(xiàn)出怎樣的形象？觀察

生活中的一些物體通常呈平面形，課桌面、黑板面、海面都給我們平面的形象．

幾何里所說(shuō)的“平面”（plane）就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的，但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的．1、平面的概念課桌面黑板面平靜的水面平面的形象幾何里的平面是無(wú)限延展的.

請(qǐng)你從適當(dāng)?shù)慕嵌群途嚯x觀察教室里的桌面、黑板面或門(mén)的表面，它們呈現(xiàn)出怎樣的形象？2.平面的畫(huà)法2.平面的畫(huà)法

我們常常把水平的平面畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，用平行四邊形表示平面．

平行四邊形的銳角通常畫(huà)成45°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍．DCABADCBEF被遮擋部分用虛線表示

為了增強(qiáng)立體感，常常把被遮擋部分用虛線畫(huà)出來(lái)．2.平面的畫(huà)法判斷下列各題的說(shuō)法正確與否，在正確的說(shuō)法的題號(hào)后打√，否則打x:1、一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；(

)2、平面有邊界；()3、一個(gè)平面的面積是25cm2；()4、菱形的面積是4cm2；()5、一個(gè)平面可以把空間分成兩部分.()練習(xí)注意：1、平面的兩個(gè)特征：

②平的（沒(méi)有厚度）

①無(wú)限延展一個(gè)平面把空間分成兩部分.2、一條直線把平面分成兩部分.DCAB平面ABCD平面AC或平面BDADCBEF平面記作：3.平面的表示平面記作：平面

常把希臘字母α、β、γ等寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角上，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母作為這個(gè)平面的名稱(chēng)．

圖形

符號(hào)語(yǔ)言

文字語(yǔ)言(讀法)點(diǎn)A在直線a上點(diǎn)A不在直線a上點(diǎn)A在平面α內(nèi)

點(diǎn)A不在平面α內(nèi)

直線a、b交于點(diǎn)A

4、點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系（1）符號(hào)表示：（2）集合關(guān)系：點(diǎn)A、線a、面α

圖形

符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言(讀法)直線a在平面內(nèi)直線a與平面無(wú)公共點(diǎn)直線a與平面交于點(diǎn)A平面與相交于直線(2)直線a經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)M

(3)直線在平面內(nèi),又在平面內(nèi)(1)點(diǎn)A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)例.

將下列文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言：P84題型一立體幾何中三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換【例1】用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形.(1)平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點(diǎn)A，B.(2)點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上.解(1)用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖.(2)用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖.

生活中經(jīng)常看到用三角架支撐照相機(jī)．5.平面公理思考

測(cè)量員用三角架支撐測(cè)量用的平板儀．思考基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．ACB存在性唯一性作用：確定平面的主要依據(jù)．

不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C所確定的平面，可以記成“平面ABC”．

如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？思考

實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：把一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放到桌面上，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上．

如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l是否在平面α內(nèi)？思考基本事實(shí)2如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．ABl作用：判定直線是否在平面內(nèi)．

經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

基本事實(shí)1

ABC三條推論:1.經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面2.經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面3.經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．基本事實(shí)2

把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？B思考

把三角板的一個(gè)角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B？為什么？思考BAC交點(diǎn)的分布有怎樣的規(guī)律？基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．作用：①判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)．②判斷點(diǎn)在直線上．lP兩個(gè)平面若相交，則公共點(diǎn)肯定在它們的交線上(1)兩個(gè)平面的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能有()(2)三個(gè)平面兩兩相交,則它們交線的條數(shù)()A.0B.1C.2D.０或無(wú)數(shù)A.最多4條最少3條B.最多3條最少1條

C.最多3條最少2條

D.最多2條最少1條

(3)已知空間四點(diǎn)中，無(wú)三點(diǎn)共線，則可確定A．一個(gè)平面B．四個(gè)平面C．一個(gè)或四個(gè)平面D．無(wú)法確定平面的個(gè)數(shù)練一練P85題型二點(diǎn)、線共面問(wèn)題【例2】已知直線a∥b，直線l與a，b都相交，求證：過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面.證明如圖所示.由已知a∥b，所以過(guò)a，b有且只有一個(gè)平面α.設(shè)a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α，即過(guò)a，b，l有且只有一個(gè)平面.P85題型三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、面共線問(wèn)題角度1線共點(diǎn)問(wèn)題【例3】如圖所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中點(diǎn).求證：FE，HG，DC三線共點(diǎn).證明如圖所示，連接C1B，GF，HE，由題意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四邊形HC1BE是平行四邊形，∴HE∥C1B.又C1G＝GC，CF＝BF，∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG與EF相交.設(shè)交點(diǎn)為K，∴K∈HG，又HG?平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD.∵K∈EF，EF?平面ABCD，∴K∈平面ABCD，∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC，∴EF，HG，DC三線共點(diǎn).角度2點(diǎn)共線問(wèn)題【例4】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線.證明如圖，連接A1B，CD1，BD1，顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，∴BD1?平面A1BCD1.同理，BD1?平面ABC1D1，∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1與平面ABC1D1的交線上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三點(diǎn)共線.角度3面共線問(wèn)題【例5】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1和AA1的中點(diǎn)，畫(huà)出平面BED1F與平面ABCD的交線并說(shuō)明理由.解如圖，在平面AA1D1D內(nèi)，延長(zhǎng)D1F，∵D1F與DA不平行，因此D1F與DA必相交于一點(diǎn)，設(shè)為P，則P∈FD1，P∈AD.又∵D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.∴P∈(平面