9.2.4

總體離散程度的估計

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息。平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大。平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況，而這些極端情況顯然是不能忽視的．因此，只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)．特別的，當樣本數(shù)據(jù)質量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.問題引入

有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７

那么兩個人的水平就沒有什么差異嗎?

如果你是教練，你應當如何對這次射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應當如何作出選擇？問題引入

思考：甲、乙兩人射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是7.從這個角度看，兩名運動員之間沒有差別.觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？

甲成績比較分散,乙成績相對集中.即甲的成績波動幅度比較大，而乙的成績比較穩(wěn)定.思考：如何度量成績的這種差異呢？一、極差：甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6，乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.

甲的成績波動范圍比乙的大，極差在一定程度上刻畫了樣本數(shù)據(jù)的離散程度.思考：為什么說“一定程度”呢？

因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.

如果射擊成績穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠；否則，會比較遠.因此，可以用這個量度量成績的波動幅度.

假設一組數(shù)據(jù)是用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”，即作為到的“距離”.它們都可以刻畫離散程度.

方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致.標準差的單位與原始數(shù)據(jù)一致.在解決實際問題中，一般多采用標準差.

總體中所有個體的變量值分別為總體平均數(shù)為.則稱為總體方差，為總體標準差.

一個樣本中個體的變量值分別為樣本平均數(shù)為.則稱為樣本方差，為樣本標準差.

標準差（方差）刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.所以，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的.

實際問題中，我們通常用樣本標準差估計總體標準差.在隨機抽樣中，樣本標準差依賴于樣本的選取，具有隨機性.

請同學們計算兩名運動員成績的標準差.由可知，甲的成績離散程度大，乙的成績離散程度小.由此可以估計，乙比甲的射擊成績穩(wěn)定.所以應選乙.

如果總體的N個變量值中，不同的值有k（k≤N)個,不妨記為

其中

則總體方差還可以寫成加權的形式

思考：那么標準差的取值范圍是什么？標準差為0的樣本數(shù)據(jù)有何特點？標準差為0的所有樣本數(shù)據(jù)都相等.說明:標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離.它用來描述樣本數(shù)據(jù)的分散程度.在實際應用中，標準差常被理解為穩(wěn)定性.題型一標準差、方差的計算與應用【例1】從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株，分別測它們的株高如下：(單位：cm)甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640問：(1)哪種玉米苗長得高？(2)哪種玉米苗長得齊？【訓練1】某班40名學生平均分成兩組，兩組學生某次考試成績情況如下所示：組別平均數(shù)標準差第一組904第二組806求全班這次考試成績的平均數(shù)和標準差.

例6在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？

解：把男生樣本記為其平均數(shù)記為，方差記為；把女生樣本記為其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為可得同理可得因此所以

所以總樣本的方差為51.4862，并據(jù)此估計高一年級學生身高的總體方差為51.4862.

樣本標準差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的幅度大小，平均數(shù)和標準差一起能反映數(shù)據(jù)值的信息.

例如：根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，可以計算出樣本平均數(shù)樣本標準差

可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個.也就是說，絕大部分數(shù)據(jù)落在內(nèi).

題型二分層隨機抽樣的方差【例2】甲、乙兩支田徑隊的體檢結果為：甲隊隊員體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊隊員體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊的隊員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊全部隊員的平均體重和方差分別是多少？探究：關于統(tǒng)計的有關性質及規(guī)律題型三方差、標準差與統(tǒng)計圖表的綜合應用【例3】甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；(2)根據(jù)圖形和(1)中計算結果，對兩人的訓練成績作出評價.【訓練3】為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家