金融工程與風(fēng)險管理第3章金融工程的基本分析方法4/1/202513.1無套利定價法套利（Arbitrage）：能帶來利潤的零風(fēng)險和零凈投資的戰(zhàn)略。零投資（zeroinvestment）：構(gòu)建一個自融資組合（self-financingportfolio）。無風(fēng)險（riskfree）正收益（positivereturn）例如：某人從A銀行以5%的年利率借入，同時以6%的年利率存入B銀行，這就構(gòu)成了套利。4/1/20252兩種套利途徑：當(dāng)前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。套利=免費(fèi)的午餐。通過套利將市場從非均衡拉向均衡，故金融資產(chǎn)的均衡價格是無套利條件下給出，形成了無套利定價原則。一個均衡的市場是不存在套利機(jī)會的，金融資產(chǎn)的均衡價格不可能提供套利機(jī)會。無套利并不需要市場參與者一致行動，實(shí)際上只要少量的理性投資者就可以使市場無套利。4/1/20253案例2-1假設(shè)現(xiàn)在6個月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動？答案是肯定的。4/1/20254回顧：連續(xù)復(fù)利的概念若名義利率為r，一年（期）平均付息m次，則相應(yīng)的有效利率rm為后者為連續(xù)復(fù)利，如果是T年（期），則4/1/20255套利過程是：交易者按10%的利率借入一筆6個月資金（假設(shè)1000萬元）簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的利率，在6個月后從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.10×0.5）。按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.12×1），并用1110萬元（等于1051e0.11×0.5）償還1年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。這是哪一種套利？

4/1/20256無套利的定價法的應(yīng)用原理：

無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。

如果兩種資產(chǎn)（組合）的現(xiàn)金流特征完全相同，根據(jù)無套利原理，二者可以相互復(fù)制如果A資產(chǎn)（組合）與B資產(chǎn)（組合）的風(fēng)險完全相同，則已知A資產(chǎn)的收益，就可以推斷B的收益，從而得到B的資產(chǎn)的定價。4/1/202573.2金融工程的基本假設(shè)金融工程需要通過建立模型來實(shí)現(xiàn)風(fēng)險的定量化，為此，需要對現(xiàn)實(shí)的世界做出一定的假設(shè)市場無摩擦性（frictionless）無交易成本、無賣空限制，簡化金融工具的定價分析過程，并由理想的市場進(jìn)一步到現(xiàn)實(shí)的市場。無對手風(fēng)險（counterpartrisk）：交易的任何一方無違約市場參與者厭惡風(fēng)險，且希望財富越多越好。市場不存在套利機(jī)會。這是金融工程最重要的假設(shè)。4/1/20258案例2-2無套利定價法運(yùn)用到期權(quán)定價中假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，問題：求一份3個月期執(zhí)行價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。

4/1/20259為了找出該期權(quán)的價值，可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和m單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若股票價格＝11，則該期權(quán)執(zhí)行，則組合價值為11m－0.5若股票價格＝9，則該期權(quán)不執(zhí)行，則組合價值為9m為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險，m必須滿足下式：11m－0.5＝9m，即m=0.25組合價值為2.25元4/1/202510由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場價格為10元，因此，從無套利出發(fā)，期權(quán)費(fèi)f（期權(quán)的價值）必須滿足根據(jù)無套利定價原理，無風(fēng)險組合只能獲得無風(fēng)險利率，所以組合的現(xiàn)值為4/1/202511無套利定價法的應(yīng)用

金融工具的模仿（mimicking）即通過構(gòu)建一個資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。注意：盈虧狀況相似或者相同，但價值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通過構(gòu)建一個資產(chǎn)（組合）使之與被模仿的金融工具具有相同價值。合成是建立在模仿的基礎(chǔ)上4/1/202512案例2-3：模仿股票（themimickingstock)模仿股票：一個買權(quán)多頭和一個賣權(quán)空頭的組合。假設(shè)t時刻，股票買權(quán)和賣權(quán)的價格分別是ct和pt，兩個期權(quán)的執(zhí)行價格都是X＝St（t時刻股票的價格），到期日股票價格為ST。則到期日的收益為4/1/202513股票模仿股票模仿股票與實(shí)際股票有所區(qū)別！4/1/202514案例2-4合成股票（compoundstock）合成股票的構(gòu)成是：一個看漲期權(quán)的多頭，一個看跌期權(quán)的空頭+無風(fēng)險債券多頭。為消除模擬股票與股票之間的差異（-ct＋pt），需要購買的無風(fēng)險債券的數(shù)量為：-ct＋pt

則到期日，組合的價值為max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-X4/1/2025153.3風(fēng)險中性定價法無風(fēng)險資產(chǎn)的收益是確定的，其風(fēng)險為零，而風(fēng)險資產(chǎn)的收益具有隨機(jī)性——各種狀態(tài)的出現(xiàn)具有一定的概率，故具有補(bǔ)償風(fēng)險的超額收益率。風(fēng)險資產(chǎn)的效用需要考慮人的風(fēng)險偏好，而無風(fēng)險資產(chǎn)只需要考慮收益，與風(fēng)險偏好無關(guān)啟發(fā)：改變各個狀態(tài)出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險資產(chǎn)的回報率等于無風(fēng)險收益率——超額收益率為0。4/1/202516風(fēng)險中性定價原理風(fēng)險中性定價原理：在這個改變了概率的世界里，所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風(fēng)險中性假定僅僅是為了定價方便而作出的人為假定聯(lián)系：數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)變換、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的效用？4/1/202517應(yīng)用案例2-2，在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1-p。（雖然有實(shí)際的概率，但可以不管），如果風(fēng)險中性，則該股票無超額收益，這個風(fēng)險中性世界的概率是同樣，在風(fēng)險中性的世界里，可以賦予期權(quán)價值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無風(fēng)險收益率，則期權(quán)的現(xiàn)值為兩種方法求得結(jié)果是等價的——風(fēng)險中性定價本質(zhì)上仍是無套利定價。4/1/202518風(fēng)險中性定價法的含義對于兩個資產(chǎn)組合1和2，其均值和方差分別如下在上述的這種情況下，我們無法比較哪種資產(chǎn)組合占優(yōu)，此時就將這兩種資產(chǎn)組合放入一個風(fēng)險中性的世界，比較他們的收益的大小。4/1/202519比較兩種定價方法假設(shè)一個無紅利支付的股票，當(dāng)前時刻t，股票價格為s，基于該股票的某個期權(quán)的價值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個有效期內(nèi)，股票價格或者上升到su（u>1），或者下降到sd（1>d>0）。當(dāng)股票價格上升到su時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價格下降到sd時，期權(quán)的收益為fd。4/1/202520無套利定價法的思路首先，構(gòu)造由m股股票多頭和一個期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無風(fēng)險時的m值。4/1/202521如果無風(fēng)險利率為r，則該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值為在無套利假定下，構(gòu)造組合的成本滿足將（3.1）代入（3.2）整理得到4/1/202522總結(jié)：風(fēng)險中性定價的思路假定風(fēng)險中性世界中股票的上升概率為p，由于股票的期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，其現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：4/1/202523由上式可見，期權(quán)價值只與無風(fēng)險利率、股票上漲（下跌）的幅度和時間有關(guān)，而不依賴于股票上漲的實(shí)際概率。這完全違反直覺！期權(quán)的價值依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的上漲（下跌），但未來上升和下跌的概率已經(jīng)包含在股票的價格中！4/1/2025243.3狀態(tài)價格定價技術(shù)定義：在特定的狀態(tài)發(fā)生時回報為1，否則回報為0。如果未來時刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報狀況以及市場無風(fēng)險利率水平，我們就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行定價，這就是狀態(tài)價格定價技術(shù)。該方法是無套利定價原則和證券復(fù)制技術(shù)的具體運(yùn)用。4/1/202525案例2-5A是有風(fēng)險證券，當(dāng)前的價格PA，一年后其價格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和下降狀態(tài)（概率是1-q），由A證券的價格變化可以構(gòu)造兩個基本證券。uPAdPAPAq1-q4/1/2025261、構(gòu)造兩個基本證券（單位證券）?；咀C券1在證券市場上升時價值為1，下跌時價值為0；基本證券1現(xiàn)在的市場價格是πu，基本證券2恰好相反，在市場上升時價值為0，在下跌時價值為1?；咀C券2的價格是πd。

10πuq1-q01πdq1-q4/1/202527q1-qπuuPA+πddPA1×uPA＋0×dPA＝uPA0×uPA＋1×dPA＝dPAuPAdPAPAq1-q2、令基本證券的現(xiàn)金流等價于證券A。購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2組成一個假想的證券組合根據(jù)無套利假設(shè)4/1/202528由此可見，該組合在T時刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流，所以兩個基本證券的組合是證券A的復(fù)制品。根據(jù)無套利原理，復(fù)制品與被復(fù)制對象的市場價格應(yīng)該相等，即或者（3.3）4/1/2025293、求兩個基本證券當(dāng)前的價值在T時刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，各1個單位基本證券構(gòu)成的組合其終值為1元。q1-q1πu+1πd1×1＋0×1＝10×1＋1×1＝1因此，該組合是無風(fēng)險的，根據(jù)無套利原理該基本證券組合的收益率，只能是無風(fēng)險收益率，若無風(fēng)險收益率為r，則（3.4）tT4/1/202530所以由（3.3）和（3.4）聯(lián)立得到注意：在上述的兩個等式中，實(shí)際的概率并沒有在等式中出現(xiàn)？狀態(tài)價格定價技術(shù)：（1）由市場上已知證券的狀態(tài)得到基本證券；（2）由基本證券來模擬未知的證券，使他們終值相等，從而得到未知證券的現(xiàn)值。4/1/202531例子：狀態(tài)價格法定價技術(shù)假設(shè)有價證券的市場情況如下：PA＝100，r＝2％，u＝1.07，d＝0.98，T－t＝1，若另外有一個證券B，其價格1年后可能上升為103，也可能下降為98.5元，求證券B的合理價格。計(jì)算步驟：由證券A構(gòu)造基本證券1和基本證券2；基本證券來復(fù)制證券B：uPB份的基本證券1和dPB份的基本證券2。4/1/2025324/1/202533結(jié)論：只要有具備上述性質(zhì)的兩個基本證券存在，我們就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價證券定價。擴(kuò)展二叉數(shù)模型。關(guān)于有價證券的價格上升的概率q，雖依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對q認(rèn)識的分歧不影響為有價證券定價的結(jié)論。無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價格定價技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險偏好無關(guān)。4/1/202534PAu1PAu1u2PAu1d1PAd1d2PAd1PA二叉數(shù)模型的基本原理4/1/2025359、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。4月-254月-25Tuesday,April1,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。01:21:5401:21:5401:214/1/20251:21:54AM11、夫?qū)W須志也，才須學(xué)也，非學(xué)無以廣才，非志無以成學(xué)。4月-2501:21:5401:21Apr-2501-Apr-2512、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。01:21:5401:21:5401:21Tuesday,April1,202513、志不立，天下無可成之事。4月-254月-2501:21:5401:21:54April1,202514、ThankyouverymuchfortakingmewithyouonthatsplendidoutingtoLondon.ItwasthefirsttimethatIhadseentheToweroranyoftheotherfamoussights.IfI'dgonealone,Icouldn'thaveseennearlyasmuch,becauseIwould