第52講立體幾何中的軌跡問(wèn)題

知識(shí)梳理

立體幾何中的軌跡問(wèn)題常用的五種方法總結(jié)：

1、定義法

2、交軌法

3、幾何法

4、坐標(biāo)法

5、向量法

必考題型全歸納

題型一：由動(dòng)點(diǎn)保持平行求軌跡

例1．（2024·貴州銅仁·高二貴州省銅仁第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的

棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則下列命題：

3

①如果AMBD1，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為；

2

35

②如果B1M∥平面AEC1，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為；

2

③如果EM∥平面D1B1BD，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的周長(zhǎng)為22；

33

④如果EMBD1，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為．

4

其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

例2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，

E在棱DD1上且滿(mǎn)足D1EED，點(diǎn)F是側(cè)面ABB1A1上的動(dòng)點(diǎn)，且D1F//面AEC，則動(dòng)點(diǎn)F

在側(cè)面ABB1A1上的軌跡長(zhǎng)度為．

例3．（2024·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體

ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為所在棱的中點(diǎn)，P為平面BCC1B1內(nèi)（包括邊界）一動(dòng)

點(diǎn)，且D1P∥平面EFG，則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為

變式1．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正三棱

-

柱ABCA1B1C1中，ABAA1，D，E分別為AA1，AC的中點(diǎn)．若側(cè)面BB1C1C的中心為O，

M為側(cè)面AA1C1C內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，OM//平面BDE，且M的軌跡長(zhǎng)度為32，則三棱柱

ABC-A1B1C1的表面積為．

變式2．（2024·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是

線段DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方形B1BCC1所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若D1M//平面A1BE，則M點(diǎn)

軌跡在正方形B1BCC1內(nèi)的長(zhǎng)度為.

變式3．（2024·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，

點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段DD1和線段AA1上，且D1E2ED，AF2FA1，點(diǎn)M是正方形B1BCC1

所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若D1M//平面FBE，則M點(diǎn)的軌跡在正方形B1BCC1內(nèi)的長(zhǎng)度為.

變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是該正

方體表面及其內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)，且BM//平面AD1C，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡所形成區(qū)域的面積

是．

變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E?F分

別是棱AA1,A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線D1P與

平面BEF無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.

變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E?F分

別為AA1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若C1P平面CD1EF，則點(diǎn)P在正方

體表面上運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡長(zhǎng)度為．

變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為3的正四面體ABCD，E為AD的中點(diǎn)，動(dòng)

點(diǎn)P滿(mǎn)足PA2PD，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且平面//平面BCE，則平面截點(diǎn)P的軌跡所形

成的圖形的周長(zhǎng)為.

題型二：由動(dòng)點(diǎn)保持垂直求軌跡

例4．（2024·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，

點(diǎn)P、Q分別是BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，若MP與CQ垂直，則點(diǎn)

M所構(gòu)成的軌跡的周長(zhǎng)為.

例5．（2024·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┰谡睦庵鵄BCDA1B1C1D1中，

，，為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌

AB1AA14EDD1PC1PB1EP

跡的長(zhǎng)為.

例6．（2024·全國(guó)·唐山市第十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知N為正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)

85π

切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，M為B1C1的中點(diǎn)，DNMB，若動(dòng)點(diǎn)N的軌跡長(zhǎng)度為，則正方

5

體的體積是.

變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為4，空間內(nèi)

的點(diǎn)H滿(mǎn)足HAHA1，且HBHC1，則滿(mǎn)足條件的H所形成曲線的軌跡的長(zhǎng)度為.

變式9．（2024·四川成都·三模）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一

π

點(diǎn)，已知AOC，OA2，圓柱的高為5．若點(diǎn)D在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足BCCD0，

3

則點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為．

變式10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓

π

周上一點(diǎn)，已知AOC,OA2，圓柱的高為5．若點(diǎn)D在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足

3

BCAD，則點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為．

變式11．（2024·浙江寧波·高一慈溪中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，

BCCC13，AC4，ACBC，動(dòng)點(diǎn)P在△A1B1C1內(nèi)（包括邊界上），且始終滿(mǎn)足BPAB1，

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是.

變式12．（2024·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）M，N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1

的棱CC1,A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，總有MPBN，則點(diǎn)P的軌跡所圍成

圖形的面積為.

變式13．（2024·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C

是下底面圓周上一點(diǎn)，已知AOC，OA2，圓柱的高為5．若點(diǎn)D在圓柱表面上運(yùn)動(dòng)，

2

且滿(mǎn)足BCAD，則點(diǎn)D的軌跡所圍成圖形的面積為．

變式14．（2024·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，

點(diǎn)M是棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)．若DMC1P，則P點(diǎn)在正方體表面上

運(yùn)動(dòng)所形成的軌跡的長(zhǎng)度為（）

A．25B．225

C．225D．2225

題型三：由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或定長(zhǎng)）求軌跡

例7．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，

5

點(diǎn)Q為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），若DQ，則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為．

12

例8．（2024·湖北武漢·高一湖北省水果湖高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正方體ABCDA1B1C1D1

V

的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)P在AB1C內(nèi)，滿(mǎn)足D1P14，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

例9．（2024·河北邯鄲·高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCDABCD的

棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在該正方體的表面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且PA2則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度

是．

變式15．（2024·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在

該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且PA42，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是．

變式16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）表面積為36π的球M表面上有A，B兩點(diǎn)，且AMB

為等邊三角形，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA2PB，當(dāng)點(diǎn)P在AMB所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，

點(diǎn)P的軌跡是；當(dāng)P在該球的球面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

變式17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積為16，E是棱BC

的中點(diǎn)，P是側(cè)棱AA1上的動(dòng)點(diǎn)，直線C1P交平面EB1D1于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度的最

小值為．

變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為8的正方體ABCDA1B1C1D中，平面ABCD

1

內(nèi)一點(diǎn)E滿(mǎn)足BECB，點(diǎn)P為正方體表面一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足PE22，則動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的

4

軌跡周長(zhǎng)為．

變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是

正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡

長(zhǎng)度為．

變式20．（2024·河南許昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）三棱錐PABC的體積為43，底面三角形

ABC是邊長(zhǎng)為23的正三角形且其中心為O1，三棱錐PABC的外接球球心O到底面ABC

的距離為2，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

變式21．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐PABC中，PAAB,PA4,PC2,AB3，

二面角P-AB-C的大小為30，在側(cè)面PAB內(nèi)(含邊界)有一動(dòng)點(diǎn)M，滿(mǎn)足到PA的距離與

到平面ABC的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為．

題型四：由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡

例10．（2024·山東·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，DEAB，

DC8，DE6.沿著DE將VADE折起，使A到達(dá)點(diǎn)A的位置，且平面ADE平面ADE.

設(shè)P為ADE內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若EPBDPC，則P的軌跡的長(zhǎng)度為.

例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M是線段BC

的中點(diǎn)，P是正方形DCC1D1（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足APDMPC，則P點(diǎn)的軌跡

周長(zhǎng)為.

例12．（2024·湖北省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，

M為棱B1C1的中點(diǎn)，N為底面正方形ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，且直線MN與底面ABCD所成的角

π

為，則動(dòng)點(diǎn)N的軌跡的長(zhǎng)度為．

3

變式22．（2024·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體ABCDA1B1C1D1的

棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為平面A1BD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AE與平面A1BD所成的角為，若

310

sin，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的周長(zhǎng)為．

10

變式23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1的表面

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使AP2的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為a；使直線AP∥平面BDC的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)

度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為c．則a，b，c的大小

關(guān)系為．（用“＜”符號(hào)連接）

變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，AB23，點(diǎn)E為平

25

面A1BD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AE與平面A1BD所成的角為，若sin，則點(diǎn)E的軌跡

5

所圍成的面積為．

變式25．（2024·山西大同·高一統(tǒng)考期中）已知A,B,C,P是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且

π

AB=AC=2,AB^AC．二面角PBCA的大小為，則點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為．

4

變式26．（2024·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的

粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門(mén)，有竹筒形、長(zhǎng)方體形、圓錐形等，但最常見(jiàn)的

還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因?yàn)閷Ⅳ兆影蛇@樣形狀，既可以節(jié)約原料，又

不失飽滿(mǎn)，而且十分美觀．如圖，假設(shè)一個(gè)粽子的外形是正三棱錐PABC，其側(cè)棱和底面

邊長(zhǎng)分別是8cm和6cm，O是頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影．若D是底面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且

239

直線PD與底面ABC所成角的正切值為，則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡長(zhǎng)為．

3

變式27．（2024·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)

P為正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足直線BP與下底面ABCD所成角為60的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)

度為（）

333

A．B．πC．3D．π

362

變式28．在正方體ABCDA1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足DD1ADD1M，

則動(dòng)點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)的軌跡為（）

A．圓的一部分B．橢圓的一部分

C．雙曲線一支的一部分D．前三個(gè)答案都不對(duì)

題型五：投影求軌跡

例13．（2024·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）如圖，在ABC中，ABC90，AB1，BC2，

D為線段BC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△ABD沿線段AD折起至VABD，使二面角

BADC的大小為120°，則在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．不存在點(diǎn)D，使得CBAB

B．點(diǎn)B在平面ABC上的投影軌跡是一段圓弧

10

C．BA與平面ABC所成角的余弦值的取值范圍是,1

5

D．線段CB的最小值是3

例14．（2024·江蘇徐州·高二徐州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等腰RtABC中，

ABAC，BC2，M為BC的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，D為線段BM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于

兩端點(diǎn)），ABD沿AD翻折至B1DDC，點(diǎn)A在平面B1CD上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在線

段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法不正確的是（）．

A．線段NO為定長(zhǎng)B．AMOB1DA180

C．CO(1,2)D．點(diǎn)O的軌跡是圓弧

例15．（2024·江西贛州·高二南康中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，

M為BC中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ABD沿AD翻折使BDDC，點(diǎn)

A在平面BCD上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A．線段NO為定長(zhǎng)B．AMOADB180

C．線段CO的長(zhǎng)CO1,2D．點(diǎn)O的軌跡是圓弧

變式29．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為O，

在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸

點(diǎn)為E，OE3．若光線與地面所成角為，橢圓的離心率e．

變式30．（2024·浙江嘉興·高三嘉興一中校考期中）如圖，在ABC中，AB7，AC10，

BC3.過(guò)AC的中點(diǎn)M的動(dòng)直線l與線段AB交于點(diǎn)N.將AMN沿直線l向上翻折至

△AMN，使得點(diǎn)A在平面BCMN內(nèi)的投影H落在線段BC上.則點(diǎn)A的軌跡長(zhǎng)度

為.

變式31．（2024·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB1，BC3，E為線

段BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將ABE沿AE折起得到ABE，當(dāng)二面角BAED的平面角為120，

點(diǎn)B在平面ABC上的投影為K，當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)K所形成軌跡的長(zhǎng)度為.

題型六：翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡

例16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在矩形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，AD1,AB2，將

VADE沿DE折起得到ADE，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，若將ADE繞DE旋轉(zhuǎn)90，則在此過(guò)

程中動(dòng)點(diǎn)M形成的軌跡長(zhǎng)度為.

例17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）矩形ABCD中，AB2,AD3，E為AB中點(diǎn)，將△

ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當(dāng)θ在0，范圍內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)A'的軌跡

長(zhǎng)度為

例18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，

DEAB，DC8，DE6.沿著DE將VADE折起，使A到達(dá)點(diǎn)A的位置，且平面ADE

平面BCDE.若點(diǎn)P為ADE內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足EPBDPC，則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度

為.

變式32．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，ABC60.將菱形沿對(duì)

角線AC折疊成大小為60°的二面角BACD.設(shè)E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐BACD表

面上動(dòng)點(diǎn)，且總滿(mǎn)足ACEF，則點(diǎn)F軌跡的長(zhǎng)度為.

變式33．（2024·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB3，AD1，點(diǎn)

E在CD上，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使面AED面ABC，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，求點(diǎn)D在

面ABC上的射影K的軌跡長(zhǎng)度為（）

222ππ

A．B．C．D．

2323

變式34．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為2,D60．如圖所示，

將ACD沿AC折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)S的位置，連接SB，得到三棱錐SABC，此時(shí)

SB3．E是線段SA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在三棱錐SABC的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EFAC，

則點(diǎn)F的軌跡的周長(zhǎng)為（）

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