拋物線的簡單幾何性質(zhì)

［4組基礎(chǔ)鞏固練］

一、選擇題

1.若拋物線V=x上一點尸到準線的距離等于它到頂點的距離，則點尸的坐標為()

A.&由B.(1,由

C.&￥)D.乎)

B［設(shè)點P的坐標為(02,4),依題意可知拋物線的準線方程為/=一；,則。2+：=夜耳下,

解得a=q￡故點A的坐標為(、，q?)」

2.拋物線V=2px過點A(2,4),尸是其焦點，又定點8(8,-8),那么：|8月=()

A.1：4B.1：2

C.2：5D.3：8

C［將點A(2,4)的坐標代入爐=2〃x,得〃=4,

???拋物線方程為)2=8x,焦點交(2,0),已知，8(8,-8),

.IAF1^2-2)2+(4-0)24_2

**lfiFl-A/(8-2)2+(-8-0)2-『亍

3.過點(2,4)的直線與拋物線)2=8x只有一個公共點，這樣的直線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

B［點(2,4)在拋物線)2=8%上，則過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的

直線都與拋物線只有一個公共點，故選B.］

4.過點(1,0)作斜率為一2的直線，與拋物線產(chǎn)=8工交于A,B兩點,則弦48的長為

()

A.2回B.2A/T5

C.2布D.2719

B［設(shè)A3,yi),B(M,yi).

由題意如AB的方程為y——2(x—I),

即)，=-2%+2.

|V=8x,

由),得x2—4x+l=0,

**?X|4"X2=4,X\'X2=1.

:.|48|=y(l+爐)[(Xi-j~X2)2—4處及]

=^/(14-4)(16-4)=^/5X\2=2y[i5.]

5.若直線y=奴-2與拋物線尸=81交于4,8兩個不同的點，拋物線的焦點為凡且

\AF],4,I8F1成等差數(shù)列，則2=()

A.2或一1B.-1

C.2D.1±^5

[y=loc-2

C[設(shè)A(xi,yi),8(x2J2).由j2c消去y,得爐A2—4(左+2)x+4=0,

f3=8x

故4=16(2+2)2-16F=64(l+A)>0,解得攵>一1,且為+也=久2~2

由HF|=xi+§=Xi+2,|8Fl=X2+?=X2+2,且忸月，4,|BF|成等差數(shù)列，得即+2+乃

+2=8,得XI+%2=4,

4僅+2)

所以Q=4,解得左=-1或&=2,又心>一1,故A=2.］

二、填空題

6.拋物線f=20”>O)的焦點為凡其準線與雙曲線專一號=1相交于A,B兩點，若

△AB尸為等邊三角形，則〃=_______.

6［因為拋物線x2=2py的準線y=一5和雙曲線與一，=1相交交點橫坐標為x=

」3+4,???由等邊三角形得2\^3+.X^=p,解得p=6.]

7.直線y=x-l被拋物線尸=以截得的線段的中點坐標是.

(3,2)［將y=x—1代入V=4x,整理，得x2—6x+1=0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得鶯+洶

=6沖=3,

.)'i+x%i+x2-26-2

??22~~)~2.

；?所求點的坐標為(3,2).］

8.拋物線爐=以上的點到直線x-y+4=0的最小距離為______.

平［設(shè)與直線x-j+4=0平行且與拋物線產(chǎn)=4%相切的直線方程為x—y+m=0.

[x-y4-/n=0,

由，,得/+（2M一4）氏+旭2=0,

1y=4x

O

則4=(2加一4)2—4/〃2=,解得m=1,

即直線方程為了—>+1=0,

4—1次歷

直線%—)，+4=0與直線x—y+1=0的距離為d=/,?;=^~.

yi」+(—1)"z

即拋物線)2=4X上的點到直線x—)，+4=0的最小距離為邛

三、解答題

9.已知拋物線C：產(chǎn)=2〃W?>0)過點A(2,-4).

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)若點8(0,2),求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線/的方程.

［解］(1)由拋物線C:V=2px(p>0)過點A(2,-4),

可得16=4p,解得p=4.

所以拋物線。的方程為V=網(wǎng)，

其準線方程為x=-2.

(2)①當直線/的斜率不存在時，x=0符合題意.

②當直線/的斜率為。時，)，=2符合題意.

③當直線/的斜率存在且不為0時，

設(shè)直線/的方程為y=kx+2.

由［［y,=_k8x+2'得妗12—8y+l6=0.

由4=64—64k=0,得攵=1,

故直線/的方程為y=x+2,即％—>+2=0.

綜上直線/的方程為x=0或y=2或x—y+2=0.

10.已知拋物線C：)7=4X,過點(一1,0)的直線與拋物線C相切，設(shè)第一象限的切點為

P.

(1)求點P的坐標；

(2)若過點(2,0)的直線/與拋物線C相交于兩點A,B,圓M是以線段AB為直徑的圓過

點P,求直線/的方程.

［解］(1)由題意知可設(shè)過點(一1,0)的直線方程為x=fy-l.

x=ty—\

聯(lián)立，，得:y2—4)+4=0,

y-=4x

義因為直線與拋物線相切，則/=0,即/=±1.

當f=l時，直線方程為y=x+l,則聯(lián)立得點P坐標為(1,2).

(2)設(shè)直線/的方程為：x=my+2,A(x\ty\)tB(M,”)，

x=〃？+2

聯(lián)立彳，得：丁一4My—8=0,則/>0恒成立，

y—4xl

yo?2=—8,》+”=4加，

(yttV42

則.ML、=4,Xi+x2=m(y\+y2)+4=4nr+4.

由于圓M是以線段AB為直徑的圓過點尸，財附PB=0,

即刈一(即+及)+1+yi”-2(yi+”)+4=0,

4m2+8〃?+3=0,則m=—3或1.

則直線,/的方程為y=—2x+4或尸一條+*

［B組素養(yǎng)提升練」

11.(多選題)經(jīng)過拋物線產(chǎn)=2X。>0)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點，設(shè)《內(nèi)，

9)，B(x2,”)，則下列說法中正確的是()

A.當AB與x軸垂直時，H用最小

B―2

\AFV\BF\~p

C.以弦AB為直徑的圓與直線x=一§相離

D.yij2=~/r

ABD［過拋物線焦點的直線與拋物線相交，其主要結(jié)論有：當力8與A?軸垂直時，\AB\

112

最小，，A正確；麗+麗=萬，???B正確；)例=一/,?,.D正確；以AB為直徑的圓與準

線工=一名相切，，C錯誤，故選ABD.］

12.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反

之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線)2=4X

的焦點為F,一條平行于x軸的光線從點M(3,l)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋

物線上的另一點8射出，則直線A8的斜率為()

4,4

A.-3B.3

「4n16

C.±2D.-g~

A［將y=l代入產(chǎn)=4%，得x=g,即AQ，1)，由拋物線的光學性質(zhì)可知，直線A8經(jīng)

4

1—0-

過焦點尸(1,0),所以直線A8的斜率為"j—3

13.(一題兩空)已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點P(4,

M到焦點的距離為6.則拋物線C的方程為；若拋物線C與直線y=kx-2相交于不

同的兩點A,B,且A3中點橫坐標為2,則2=.

/=8x2［由題意設(shè)拋物線方程為V=2px,其準線方程為彳=一名根據(jù)定義可得4+

8x

§=6,所以p=4,所以拋物線C的方程為)2=8x.由'消去y,得以(4Z+8)x

z［y=lc(—2,

+4=0.

有kWO,J=64(^+l)>0,

解得Q-l且％WO.

一xi+及2H-4_

又方一=-p-=2,

解得攵=2或2=一1(舍去)，所以k的值為2.］

14.設(shè)拋物線9=4%的焦點為F,準線為/.已知點C在/上，以C為圓心的圓與y軸的

正半軸相切于點4.若N以C=120。，則圓的方程為.

2f2

(x+l)+(j-^)=l［由1y2=?可得點尸的坐標為(1,0),準線!的方程為x=~\.

由圓心。在/上，且圓C與y軸正半軸相切(如圖)，可得點C的橫坐標為一1,圓的半

徑為1,NC4O=90°.又因為/用C=120。，所以/。4/=30。，所以|。4|=小，所以點C的

縱坐標為小.

所以圓的方程為(x+1)2+&-小)2=L］

［C組思維提升練］

15.如圖，已知點尸為拋物線氏9=2〃工9>0)的焦點，點A(2,〃?)在拋物線E上，且

\AF\=3.

(1)求拋物線后的方程；

(2)己知點G(—1,0),延長AF交拋物線上于點3,證明：以點尸為圓心且與直線GA相

切的圓，必與直線GB相切.

［解］(1)由拋物線的定義得依刊=2+§

由已知|AF1=3,得2+號=3,解得p=2.

所以拋物線E的方程為y=4x.

(2)法一：如圖，因為點A(2,⑼在拋物線E:)2=4x上，所以〃］=±2啦，由拋物線的對

稱性，不妨設(shè)A(2,2，5).

由A(2,2，5),尸(1,0)可得直線A尸的方程為>'=2A/2(X-1).

由［產(chǎn)2MLD,得*_5-2=。，

iy=4x,

解得x=2或4==從而4；，一地)

義G(—1,0),

6萬.心2小一02g-V2-02^2

所以3一2-(一1)一3'KGB=13，

2-(-0

所以①八+h8=0,從福NAGF=NBGF,這表明點F到直線GA,G8的距離相等，

故以尸為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線G8相切.

法二：如圖，設(shè)以點尸為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為二

因為點A(2,m)在拋物線E:)2=4%上，所以m=±2啦，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)

A(2,2<2).

由A(2,2啦),尸(1,0)可得直線A尸的方程為)，=2啦1).

()，=2gQT),

由

得2?—5%+2=0,

解得x=2或x=；,

從而帽，一地)

又G(—1,0),故直線GA的方程為2"-3y+2吸=0,

|2啦+2上迤

從而r=/一"：—=/—.

V8-I-97^7

又直線GB的方程為2啦x+3y+2&=0,

所以點F到直線GB的距離4=兇|早回=需=二

?\/8-|-9717

這表明以點尸為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切.

第三章3.33.3.2第1課時

保堂檢測二固雙基

1.拋物線f=5的焦點到準線的距離是(D)

A12

?B.

11

C-D.-

?24

I解析］因為拋物線的方程為/=%即2p=*所以p/

因此焦點到準線的距離是今故選D.

2.已知尸是拋物線產(chǎn)=%的焦點，A,8是該拋物線上的兩點，\AF］+\BF］=3,則線段

AB的中點到y(tǒng)軸的距離為(C)

3

A.TB.1

57

C-

4D.4-

［解析］設(shè)Agy),B(&,戶)，則由拋物線的定義得HQ+I防=xi+(+x2+(,

因為|AF1+IM=3,所以x島+X2+/=3,所以汨+X2=,,即線段AB的中點的橫坐標

為總，從而線段A8的中點到)，軸的距離為今故選C.

3.已知拋物線產(chǎn)=2〃刈>0）上的點A到焦點F距離為4,若在y軸上存點B（0,2）使得

BABF=O,則該拋物線的方程為（A）

A.yr=3xB.y2=6x

C.V=4xD.）r=2x

［解析］由題意可得:啰,0）,.%+,=4,解得初=4一多取/=2P（4一鄉(xiāng)=48p—p2.

/.A（4—2，，8p—p2）.

?.?法協(xié)=0,^（4-^）-2（ylSp-p2-2）=0,

；?N8P—p?-4）2=0,解得p=4.經(jīng)過檢驗滿足條件.

，該拋物線的方程為）2=8工故選A.

4.拋物線V=x的焦點到準線的距離等于

［解析］拋物線y2=x中2P=1,??.p=0.5,，拋物線V=x的焦點到準線的距離等于

0.5.

5.過拋物線產(chǎn)=舐的焦點作直線/,交拋物線于A、B兩點,若線段AB中點的橫坐標

為3,則3?的值為10.

［解析］由拋物線y2=&i知，p=4.

設(shè)A（%i,》）、3（x2,工），根據(jù)拋物線定義知：

依尸|=總+§,|8F|=X2+1

.?.H8|=|AF|+|5F|=xi+g+jt2+?=xi+x2+p,

由條件知嗎及=3,則占+9=6,

又?.?p=4,.-.|AB|=10.

第三章3.33.3.2第1課時

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請同學們認真完成練案［28］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.拋物線《=—8），的通徑為線段AB,則AB長是（D）

A.1B.2

C.4D.8

［解析1拋物線/=一8），，通徑為|一8|=8,???選D.

2.拋物線丁=%與直線2x—3y—8=0交于4、8兩點，則線段48中點的坐標為（B）

”f11327\

A-I8,4）B.1&，4）

<113_27Af_B327>

［解析］由2x—3y—8=0得，1=3+4,代入V=9x中得）7一當,一36=0,設(shè)A（xi，

Jl）?B（X2，J2）,

AB的中點為（xo,yo）,則把

工0="*=鑒川+4+聶+4）=孤+”）+4=1）'0+4=皆,故選B.

3.已知拋物線C：V=12x,過點P（2,0）且斜率為1的直線/與拋物線C相交于A、B兩

點，則線段AB的中點到拋物線C的準線的距離為（C）

A.22B.14

C.11D.8

［解析］拋物線C)2=12%,可得準線方程為：x=-3.過點P(2Q)月斜率為1的直線

/：y=x-2,

丁=12x

由題意可得：，可得『一16x+4=0,

y=x—2

直線/與拋物線C相交于4、B兩點,則線段A8的中點的橫坐標為8,

則線段A8的中點到拋物線。的準線的距離為8+3=11.

4.已知A是拋物線尸=2〃的＞0)上一點，尸是拋物線的焦點，。為坐標原點，當依月

=4時，ZOM=120°,則拋物線的準線方程是(A)

A.x=-\B.x=~3

C.x=-1或x=-3D.y=-l

［解析］過A作準線的垂直AC,過尸作AC的垂線，垂足分別為C,B.

由題意N8M=N0用一90°=30°,

A點到準線的距離為：d=H3|+|8C|=p+2=4,

解得p=2,

則拋物線的準線方程是x=-l.

故選A.

5.已知A,B是拋物線52=2〃初＞0)上的兩點，。為原點，若曲|=|無且拋物線的

焦點恰好為aAOB的垂心，則直線A8的方程是(C)

3

A.x=pB.x="^p

c5、c

C.x=2pD.x=3p

［解析］,：\OA\=\OB\,

8關(guān)于工軸對稱.

設(shè)AQb,42pxo),8(沏，—yllpxo).

VAF1OB,造，0),

??Xo=jP，

，直線A8的方程是x=|p.

二、填空題

6.頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程是y2=

24x或《=—24x.

［解析］:頂點與焦點距離為6,

即?=6,.*.2/7=24,

又???對稱軸為x軸，

，拋物線方程為＞2=24K或y^~—24x.

7.設(shè)拋物線V=4x的焦點為F,準線為/,則以尸為圓心，且與/相切的圓的方程為

(x—l)2+y2=4.

［解析］,:拋物線產(chǎn)=4%的焦點/的坐標為(1,0),準線/為直線x=-1,

???圓的圓心坐標為(1,0).

又二圓與/相切，

圓心到/的距離為圓的半徑，

，r=2.

:.圓的方程為(x—1產(chǎn)+9=4.

X.一個正二角形的兩個頂點在拋物線/=〃二卜，另一個頂點是坐標原點.如果這個二

角形的面積為36/5,則。=±2、/1.

［解析］設(shè)正三角形邊長為工

3成=］布60。，12.

當。>0時，將(2，6)代入產(chǎn)=初得。=2小，

當aVO時，將(一麗，6)代入y2=ar得〃=一2小，

故。=±2巾.

三、解答題

9.已知拋物線的焦點尸在x軸上，直線/過尸且垂直于x軸，/與拋物線交于A、B兩

點，坐標原點。為拋物線的頂點，若△048的面積等于4,求此拋物線的標準方程.

［解析］由題意，設(shè)拋物線的方程為產(chǎn)=2〃%(/7片0),

焦點堵，0),直線/：x=§.

.?.4,8兩點的坐標分別為p),—p),

：.\AB\=2\p\.?.?△048的面積為4,

2-2|pl=4.,\p=±2y［2.

???拋物線的方程為產(chǎn)=±4".

10.已知宜線/經(jīng)過拋物線爐=6的焦點凡且與拋物線交于A,B兩點.

(1)若直線/的傾斜角為60。，求|4B|的值；

(2)若陽陰=9,求線段AB的中點M到準線的距離.

［解析］(1)因為拋物線方程為V=6x,所以準線方程為“=一|,4|,0),又因為直線

/的傾斜角為60。，所以直線/的斜率為攵=3!16()。=小，所以直線/的方程為y=，5(x一號,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,J2),

y=6x,

聯(lián)U(H)，

Q

消去y得x2—5x+w=0,

則M+及=5,

而|A8|=g同+|8網(wǎng)=XI+§+悶+芻=鶯+M+p,

所以M8|=5+3=8.

(2)由拋物線的定義，知質(zhì)冏=依用+|8網(wǎng)=汨+上+3=9,所以用+及=6,

于是線段A8的中點M的橫空標是3.

又準線方程是尸一家3所以中點M到準線的距離為3+尹3宗9

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.設(shè)拋物線V=2x的焦點為尸，互相垂直的兩條直線過凡與拋物線相交所得的弦分

別為4B,CD,則|4卦|8|的最小值為(A)

A.16B.8

C.4D.2

22

［解析］設(shè)A8傾斜角為a,則依陰=藍工，因為48,CO垂直，所以1印=；^石，因此

>111(AV/Oo<A

4|6

■母18尸;1^^=時216,選A.

2.如果拋物線丁=4人的焦點為尸，點M為該拋物線上的動點，又點A（—1,O）,那么掰

的最大值是（D）

A.3B.當

C.當D.1

［解析］由拋物線的方程可得，焦點尸（1,0）,準線方程為：X=一1，4—1,0）點在準線上，

作的_1_準線交于N,由拋物線的性質(zhì)可得=

所以|M4|一|M4「

MN

在三角形AMN中，訴^cos/MAF,

所以卷!的最大值時，/或M最小，

當月，W,尸三點共線時，/用M最小，

所以這時制的最大值為1,故選D.

y

3.（多選題）若拋物線），2=X上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐

標為（BD）

A.-乎）B.（1,邛）

CG,9）D.19

［解析I設(shè)焦點為F,原點為O,P（沏，泗），由條件及拋物線的定義知，|PR=|PO|,又

心,OJ,：.xo=^

.,.^=1，.*.yo=±4,故選BD.

4.（多選題）已知過拋物線?=6x焦點的弦長為12,則該弦所在直線的傾斜角可以是

（BD）

A乙B-

A.6B.4

一冗n3

C.D.不兀

［解析］方法1：。??拋物線）2=&,.二2p=6,.,??=］,

即焦點坐標啰，0）

當直線傾斜角為宗時，即直線為廠,，此時弦長為2P=6W12,故直線斜率存在.

設(shè)所求直線方程為產(chǎn)4工一養(yǎng)

Q

與拋物線產(chǎn)=6.1消去y,得A21—(3F+6)x+不2=0.

設(shè)直線交拋物線于A3,>1),8(X2,J2),

..3F+6

..X\+X2=~后一?

:直線過拋物線產(chǎn)=6田焦點，弦長為12,

xi4~X24-3=12,.??XI+X2=9,

用3斤+6.

即一至一=9,解得3=1,

A:=tana=±\,*.*aG［O,兀)，或竽.

方法2：弦長依陰=總為(a為直線4B的傾斜角)，

/.12=s'%,sin2a=*sina=±^,

VaG［O,冗)，，片:或a=華.

二、填空題

5.已知拋物線C：9=2外0>0)的焦點為尸，M為拋物線的準線上一點，

且M的縱坐標為35，N是直線MF與拋物線的一個交點，若加=2稱,則D=3.

［解析］拋物線C：尸=27"夕>0)的焦點為F,M為拋物線的準線上一點，且M的縱坐

標為34，N是直線M尸與拋物線的一個交點，若雨=2標，

設(shè)N",)，)，從―y3⑹，堰,0),

-3巾),芯=?-

，可得痣,同，代入拋物線方程可得：3=2XpX言解得p=3.故

y—3y/3=2(—y)

答案為3.

6.已知A(2,0),8為拋物線產(chǎn)=“上一點，則H陰的最小值為_乎_.

［解析］設(shè)點5(x,y)t則工=920,所以

~y—々工人—X人。人2J'4"

所以當時，|4B|取得最小值，且依耳.=乎.

7.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,則F的坐標為(1,0)：過點F的直線交拋物

線。于A,8兩點，若依回=4,則4AOB的面積為_竽_.

［解析］由拋物線C：>2=4%可得p=2,故焦點坐標為(1,0).

設(shè)A(Mbyo)t則HF|=xo+g=xo+l=4,故即=3.

不妨設(shè)A在第一象限，則州=24，

故以8=3_?=V^?故直線J=A/3(A--1).

y=4x,

由,L可得3f—10x+3=0,

g小a—1)

三、解答題

8.如圖所示，己知直線/：y=2%—4交拋物線產(chǎn)=敘于A,8兩點，試在拋物線AO8

這段曲線上求一點P,使△以8的面積最大，并求出這個最大面積.

.由\y=心2x—4,

解得

由圖可知A(4,4),8(1,-2),則|4陰=34.

設(shè)PQ),泗)為拋物線AOB這段曲線上一點，d為點P到直線AB的距離，則:

|兀一泗_4|1傍

d=由=1|2一和一4-1)2-9|.

???一2＜沖〈4,-I)2一9Vo.

?"=赤［9一伙—I)不

91Qt-27

從而當州=1時，Smax=￡Xw^X3小=彳.

因此，當點P的坐標為G，1)時，△以8的面積取得最大值，最大值為與.

9.定長為3的線段4B的端點A、8在拋物線產(chǎn)=彳上移動，求AB中點到y(tǒng)軸距離的

最小值，并求出此時A8中點M的坐標.

［解析］如圖，設(shè)尸是拋物線V=x的焦點，A、8兩點到準線的垂線分別是AC、BD,

"點到準線的垂線為MMN為垂足，

根據(jù)拋物線定義得HC|=|4F|,|8。|=出川,

\MN\=^(\AF\+|BF|)

設(shè)M點的橫坐標為x,則|MN=X+￡

Ax=|A/M—4^2—4=4,

等號成立的條件是弦AB過點凡

由于|A8|>2p=l,

???A8過焦點是可能的，此時M點到y(tǒng)軸的最短距離是點即A8的中點橫坐標為今

當戶在AB上時，設(shè)月、B的縱坐標分別為y、”，則川力=-p2=一從而⑴+力產(chǎn)

=M+貨+2》?=2乂普—92,?5+”=/,

???”點的坐標為你寫）時，M到1y軸距離的最小值為永

第三章3.33.3.2第2課時

課堂檢測二周雙基

1.在拋物線）2=8x中，以（1,一1）為中點的弦所在直線的方程是（C）

A.A-4>--3=0B.x+4y+3=0

C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0

［解析］設(shè)弦兩端點為4（."yi）.B（X2,yi）,則>1+”=—2.

TA、8在拋物線上，.二田=8為，父=8x2,

兩式相減得，（yi+y2）。1一x）=8（X|—X2）,

；?直線AB方程為y+1=—4（x—1）,

即4x+>，-3=0.

2.直線y=x+l與拋物線尸=2內(nèi)相交，所得弦長為2%,則此拋物線方程為（C

A.y^=2xB.y2=6x

C.爐=一合或V=6xD.以上都不對

［解布把x=y-\代入V=2px得y2—2py+2P=0,

?』+”=2〃，》”=2〃，k=T,

可解得p=-l或3.

?二拋物線方程為）2=—2r或產(chǎn)=6尤故選C.

3.拋物線），="的焦點關(guān)于直線工一），-1=0的對稱點的坐標是（A）

A.（2,-1）B.（1,-1）

C.［,D.（=,一七）

［解析］y=jx2=>;r=4y,焦總為（0』），其關(guān)于％—y—1=0的對稱點為（2,—1）.

4.直線丫=履-2交拋物線）2=8x于4、B兩點，若AB中點的橫坐標為2,則攵=（C）

A.2或一2B.-1

C.2D.3

［K=8X

［解析］由得以2—4（4+2比+4=0,由力>0得心>一1,

［y=kx—2

則失"2）=%即2=2.

5.已知拋物線Cf=2py（p>0）,斜率為々的直線/經(jīng)過點P（0,-4）,/與。有公共

點A,B,當2=2時，A與8重合.

(1)求C的方程；

(2)若人為PB的中點，求汝陽.

［解析］⑴當上=2時，直線/：)，=2*—4,

\xL=2py

聯(lián)立方程組得｛c.,，消去y得/-4〃小+8〃=0,

ly=2x-4

由題意/=16p2—32p=0,解得p=2或p=0(舍去)，故。的方程為f=4y.

(2)由(1)得，當心>2或AV-2時直線與拋物線有兩個不同交點，

直線方程/：y=kx-4,設(shè)4為，Ji),8(X2,”)，

A?=4y

聯(lián)立方程?,消去j得x2—4依+16=0,

y=kx-4

則xi+垃=44，XIX2=16,

又A為P8的中點，則§=2,

x\

,?X\X2=lx\=16,%I+X2=3XI=42.

g_

.*.x}=8,F=E，|XLX2|=MI=2巾,

第三章3.33.3.2第2課時

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

請同學們認真完成練案［29］

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.已知尸為拋物線尸=4小x的焦點，過點尸的直線交拋物線于4,3兩點，若亦=

3麗，則H3|=(A)

A逆B巡

A.33

C.D.小

［解析］???直線AB過焦點，且崩=3苑，，直線AB的傾斜角為60?；?20。，，|48|=

2p4\(3_16A/3

sin5(對2-3,

2.過拋物線焦點尸的直線與拋物線相交于A、8兩點，若點A、B在拋物線準線上的射

影分別為A,Bi，則/4尸81為(C)

A.45°B.60°

C.90°D.120°

［解析］設(shè)拋物線方為)2=2px(p>0).

，ZA4iF=NA用i,

NBFBi=NFBiB.

又AAX//OY//BXR.

：.ZA\FO=ZFAiAt

NBiFO=NFBiB,

，NAFBi=，AFB=90。.

3.過拋物線產(chǎn)=4”的焦點，作一條直線與拋物線交于4、B兩點，它們的橫坐標之和

等于5,則這樣的直線（B）

A.有且僅有一條B.有且僅有兩條

C.有無窮多條D.不存在

［解析］由定義|4的=5+2=7,

???|4B|min=4,???這樣的直線有兩條.

4.設(shè)拋物線V=8x的準線與x軸交于點Q,若過點。的直線/與拋物線有公共點，則

直線/的斜率的取值范圍是（C）

A.-^B.［—2,2］

C.［—1,1］D.［—4,4］

［解析］‘拋物線）2=8x的準線（直線”=—2）與x軸/交點為。（-2,0）,于是，可設(shè)過點

y2=8x,

。（一2,0）的直線/的方程為），=&（x+2）,聯(lián)立?消去），，得松+（43—8火+43

產(chǎn)總+2）,

=0,判別式』=（4合-8）2—163=-649+6420,解得一1W2W1.故選C.

5.設(shè)尸為拋物線）2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若城+/+元=0,則

曲|+|而|+|向等于（B）

A.9B.6

C.4D.3

［解析|設(shè)A、B、。三點坐標分別為（汨，川）、（及，”）、（為，”）.由題意知&1,0）,因

為茂+而+或?=0,所以劭+及+為=3.根據(jù)拋物線定義，有向|+|兩+|元1=?+1+及+

1+后+1=3+3=6.故選B.

二、填空題

6.斜率為小的直線過拋物線C>2=4%的焦點，且與。交于A,B兩點，則依8|=_號

［解析］由題意得直線方程為y=#（x—l）,聯(lián)立方程，得匕Y得獷一10x

〔尸缶

+3=0,，山+沖二號，故|48|=1+&+1+初=2+號=竽.

7.已知拋物線C：9=2〃如>0）的準線為I,過M（l,0）且斜率為小的直線與I相交于A,

與C的一個交點為8,若4法=加萬，則〃=2.

［解析］本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系.

如圖，由斜率為，5,N8Mx=60。，可得8P=%8,

又俞=證，為中點.

：?BP=BM,:.M為焦點、,

即g=1,，p=2.

8.如果點P，P2,尸3，…，Po是拋物線V=2x上的點，它們的橫坐標依次為由，X2,

制，…，刈)，F(xiàn)是拋物線的焦點，若汨+及+內(nèi)+…+孫)=5,則IP1E+IP2FI+…+|丹0同=

10.

［解析1由拋物線的定義可知，拋物線)2=2川9>0)上的點P(x0,州)到焦點F的距離

儼月=沏+冬在產(chǎn)=〃中，p=l,所以IP1M+IP2FI+…+|尸而=即+足+…+xio+5p=lO.

三、解答題

9.已知拋物線C：V=2px過點A(l,2).

(1)求拋物線。的方程；

(2)求過點P(3,—2)的直線與拋物線。交于M,N兩個不同的點(均與點A不重合).設(shè)

直線AM,4N的斜率分別為由，法求證：自必為定值.

［解析］(1)由題意得2P=4,所以拋物線方程為y2=4x.

M

(2)設(shè)M(,y),N(X2,”)，直線MN的方程為x=Q+2)+3,

代入拋物線方程得產(chǎn)一4)一8/—12=0.

所以4=16尸+321+48>0,)1+、2=4/,9”=—81—12.

yi-2y—2yi-2y2~2

所以卜生=2

4141

_16_16_

丫|)空+2。1+以)+4—8/—12+8/+4

所以h42為定值為-2.

10.已知拋物線V=-x與直線y=?x+l)相交于A,B兩點.

(1)求證：OA_LO5；

(2)當△048的面積等于血時，求A的值.

［解析］(1)如圖所示，

fy2=-x

由《，消去X得，ky1+y—k=O.

ly=A(x+l)

設(shè)人(即，川)、8(X2,”)，由根與系數(shù)的關(guān)系得V少2=-1,>1+1y2=—￡

???A、B在拋物線y=-x上,

Xl,yi=-X2t二此?痰=X|X2.

yiV2mi1

,:koA-koB1,C.OALOB.

x\X2x\X2y\yi

(2)設(shè)直線與x軸交于點N