中學(xué)(理科)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)歸類

一.集合和簡(jiǎn)易邏輯

L留意區(qū)分集合中元素的形式.如：*|)，=lgM一函數(shù)的定義域；3y=lgx}一函數(shù)的值域；

{(x,y)|y=lgx}—函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2.集合的性質(zhì)：①任何一個(gè)集合A是它本身的子集,記為4a4.

②空集是任何集合的子集,記為C=

③空集是任何非空集合的真子集；留意:條件為A=在探討的時(shí)候不要遺忘了A=0的狀

況如：A={x|o?-21=0},假如An/T=0,求。的取值.(答：a<0)

④C.(Ari8)=QAUG，8,Q(AB)=QAnQ8;(A'8)|C=A\(B]O;

:AU5)UC=AU(8UO.

@A(\B=A^>A[JB=B<^AcB<^CuBQCuA^Ar\CuB=0^>CuA\jB=R.

⑥AUB元素的個(gè)數(shù)：card{AUB)=cardA+cardB-card(AC|B).

⑦含〃個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2”；真子集(非空子集)個(gè)數(shù)為2〃-1;非空真子集個(gè)數(shù)為

2”-2.

3.補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較困難的有關(guān)問(wèn)題。

如：已知函數(shù)/(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-〃+1在區(qū)間[-1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使

/(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.(答：)

4.原命題：pnq；逆命題：qnp；否命題：-p=>r；逆否命題：r=>r)；互為逆否

的兩個(gè)命題是等價(jià)的.如：“sinawsin/?”是“a手修'的條件.(答：充分非必要條件)

5.若夕且4冷”，則〃是q的充分非必要條件(或4是p的必要非充分條件).

6.留意命題〃=>夕的否定和它的否命題的區(qū)分：命題〃=>夕的否定是p=>r；否命題是

命題中的：“〃或夕”的否定是“力且F”；“〃且9”的否定是“力或r”.

如：“若。和b都是偶數(shù)，則。+b是偶數(shù)"的否命題是“若a和b不都是偶數(shù)，則〃+6是奇

數(shù)”否定是“若。和人都是偶數(shù)，則是奇數(shù)”.

原結(jié)論否定原結(jié)論否定

是不是至少有一一個(gè)也沒(méi)有

個(gè)

都是不都是至多有?至少有兩個(gè)

個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有n—1

個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有?+1

個(gè)

對(duì)全部X,成立存在某X,不成〃或夕r）且f

對(duì)任何X,不成存在某心成立〃且夕T)或F函數(shù)

1.①映射/:Af8是：⑴

“一對(duì)一或多對(duì)一”的

對(duì)應(yīng)；⑵集合A中的元素必有象且A中不

同元素在8中可以有相同的象；集合8中的元素不肯定有原象(即象集qB).

②一一映射f：(1)“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)；⑵A中不同元素的象必不同，8中元素都

有原象.

2.函數(shù)/：Af8是特殊的映射.特殊在定義域A和值域8都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像

和x軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但和)，軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有，也可能有隨意個(gè).

3.函數(shù)的三要素：定義域，值域,對(duì)應(yīng)法則.探討函數(shù)的問(wèn)題肯定要留意定義域優(yōu)先的原則.

4.求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母工0;偶次根式被開方數(shù)非負(fù);對(duì)數(shù)真數(shù)>0,底數(shù)

>0且。1；零指數(shù)幕的底數(shù)工0)；實(shí)際問(wèn)題有意義；若/⑴定義域?yàn)楹Ｏ?，?fù)合函數(shù)4g(刈

定義域由aKg(x)“解出；若/[g(x)]定義域?yàn)橄?，則/(1)定義域相當(dāng)于時(shí)g(x)的值

域.

5.求值域常用方法：①配方法(二次函數(shù)類)；②逆求法(反函數(shù)法)；③換元法(特殊留意新

元的范圍)；④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域;

⑤不等式法⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：依據(jù)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求值域;

⑧判別式法(慎用)：⑨導(dǎo)數(shù)法(一股適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)).

6.求函數(shù)解析式的常用方法：⑴待定系數(shù)法(已知所求函數(shù)的類型)；⑵代換(配湊)法；

⑶方程的思想對(duì)已知等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于/(%)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。

7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，確定奇偶性方法有定義法、

圖像法等；

⑵若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)==定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)(/(0)=0);

⑶推斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：”x)±/(-x)=O或；

⑷復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

留意：若推斷較為困難解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡(jiǎn)再推斷；既奇又偶的函數(shù)有多

數(shù)個(gè)(如f(x)=0定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可).

⑸奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單

調(diào)性：

⑹確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等.

⑺復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定.(提示：求單調(diào)區(qū)間時(shí)留意定義域)

如：函數(shù))，=唾；(*+2")而本贏增區(qū)間是.(答：(1,2))

8.函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換⑴平移變換：左右平移“左加右減”(留意是針對(duì)x而言)；上

下平移“上加下減”(留意是針對(duì)/(X)而言).

⑵翻折變換：/(X)T/(X)I；

⑶對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證圖像上隨意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍

在圖像上.

②證明圖像a和c,的對(duì)稱性，即證a上隨意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上,反

之亦然.

③函數(shù)y=/(x)和尸/(-x)的圖像關(guān)于直線x=0(y軸)對(duì)稱；函數(shù)y=f(x)和函數(shù)

y=f(-x)的圖像關(guān)于直線)，=0(x軸)對(duì)稱；

④若函數(shù)y=fM對(duì)xwR時(shí)，/(a+x)=/(a-x)或/(x)=f(2a-x)恒成立,則y=f[x｝圖像關(guān)

于直線x=4對(duì)稱；

⑤若y=f(x)對(duì)xeR時(shí)，/(a+x)=/s-x)恒成立,則y=/(x)圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

⑥函數(shù)y=f(a+x),y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由確定)；

⑦函數(shù))=f(x-a)和y=/(匕-幻的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

⑧函數(shù)y=/(x),y=A-f(x)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(由確定)；

⑨函數(shù)y=/(x)和y=-/(-x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；函數(shù)y=/(x),y=(m-工)

的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

⑩函數(shù)y=/(x)和函數(shù)尸尸⑴的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；曲線G：分2)=0,關(guān)于

y=x+a,y=-x+a的對(duì)稱曲線G的方程為f(y-a,x+a)=O(或f(-y+at-x+a)=O;

曲線G：J'(x,y)=O關(guān)于點(diǎn)3,協(xié)的對(duì)稱曲線G方程為：f(2a-x,2b-y)=0.

9.函數(shù)的周期性：⑴若y=/(x)對(duì)xwR時(shí)f(x+a)=/(j—a)恒成立,則/⑶的周期為2|a|;

⑵若)，=/(%)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線X=4對(duì)稱,則/⑶的周期為2|3；

⑶若)，=/&)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則/㈤的周期為43；

⑷若)，=/(%)關(guān)于點(diǎn)30),他0)對(duì)稱,則/(%)的周期為21a-切;

⑸尸/(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b{a*h)對(duì)稱,則函數(shù)y=f(x)的周期為2|"〃|;

⑹)，=/3)對(duì)xeR時(shí)，/(x+a)=-"x)或，則y=/(x)的周期為2|々|；

n+

10.對(duì)數(shù)：(1)logab=logo?b{a>09a*>0,/i€/?);(2)對(duì)數(shù)恒等式)也加=N(a>0,aw1,N>0)；

n

⑶log“(M-N)=logM+log”NAG&M=log”M-logMlogaM=n\ogM;

flNtfa

;⑷對(duì)數(shù)換底公式(a>0,0l,b>0少工1);

推論:log”b\ogbc?log,a=1=>log,a2.log%%???log*an=log,,an.

(以上Af>0,A^>0,?>0,a^l,Z?>O,Z?^l,c>O,c*l,apa2,an>0且an均不等于1)

11.方程左=f(x)有解o&e￡)(Q為f{x}的值域);a>/(%)恒成立<=><7>"(刈最大依，

aM/(x)恒成立oaM一(切最小值?

12.恒成立問(wèn)題的處理方法：⑴分別參數(shù)法(最值法)；⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)

題；

13.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩

看法”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸和所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；

14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：八幻=加+法+凌"0)；②頂點(diǎn)式：

2

/(x)=U(A-Z0+k(a0);③零點(diǎn)式：/(A)=?(A-Xj)(x-x2)(a0).

15.一元二次方程實(shí)根分布:先畫圖再探討△>()、軸和區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)；

16.復(fù)合函數(shù)：⑴復(fù)合函數(shù)定義域求法：若的定義域?yàn)樗颍鋸?fù)合函數(shù)/儂期的定義域

可由不等式aKg(x)可解出;若f[g㈤]的定義域?yàn)閰n小求f(x)的定義域，相當(dāng)于時(shí),

求g⑴的值域；⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定.

17.依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問(wèn)題：

/(?)=g(x)u+h(x)>0(或40)(a<u<b)(或);

18.函數(shù)y=R(cwOSMc)的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線戶-4(由分母為零確定)

和直線(由分子、分母中工的系數(shù)確定)；②對(duì)稱中心是點(diǎn)(-四，)；③反函數(shù)為丁=紅也；

y=gccccx-a

19.函數(shù)：增區(qū)間為，減區(qū)間為.

如：已知函數(shù)在區(qū)間(-2,田)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(答：).

三.數(shù)列

1.由s”求《，4=戶5=1).留意驗(yàn)證q是否包含在后面〃”的公式中，若不符合要

[Sn-Sn_Sn>2,neN)

單獨(dú)列出.如：數(shù)列(叫滿意，求冊(cè)(答：).

2.等差數(shù)列{4}oa〃-an_x-d{d為常數(shù))o勿〃=an^+%(〃之2,〃cN*)

oa=an+b{a=d、b=q-d)oS=An2+Bn(A=—,B=6r--);

2(2

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：①4=q"+(〃-m)d,;

②皿+〃=/+&n冊(cè)+a〃=q+4(反之不肯定成立)；特殊地，當(dāng)/〃+〃=2P時(shí)，有am+an=2ap;

③若應(yīng)｝、口是等差數(shù)列，則｛機(jī)+收｝晨、，是非零常數(shù)）是等差數(shù)列;

④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”即SwS.-s2,”，仍是等差數(shù)列；

⑤等差數(shù)列㈤｝,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃時(shí),S偶-5奇=孫;項(xiàng)數(shù)為2〃-1時(shí),

S愣一$奇=〃中=eN*）,S2n,（=（2?-1）可，且；?=/（?）=>.=f（2n-I）.

Bnbn

⑥首項(xiàng)為正（或?yàn)樨?fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最小）問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為解

不等式

（或）.也可用S“=加2+B〃的二次函數(shù)關(guān)系來(lái)分析.

⑦若an=ni,am=n（m*n）,貝！Jam+n=0;若S”=〃?,Sm=n（m工n）,貝?JSm+n=-（m+〃）;

-

若Sm=S”（加工〃），則0;S33（S2m）;Sin+n=Sm+Sn+mnd.

4?等比數(shù)列｛〃"｝o他=q（gw0）o4：=41T之2,〃€N*）<=>a=

ann

5.等二匕數(shù)列的性質(zhì)

①4=a"，；②若｛a“｝、｛〃”｝是等比數(shù)列，則｛她｝、｛q也｝等也是等比數(shù)列；③

町(g=l)］叫(q=l)

④m+〃=/+k=品勺=。外（反之不肯定成立）；

1一夕1一夕"q

Si=S,.+g=S”+q￡.⑤等比數(shù)列中§2外（注：各項(xiàng)均不為0）仍是等

比數(shù)列.⑥等比數(shù)列｛七｝當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為2〃-1時(shí),.

6.①銀如數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)歹U,則數(shù)列｛A，｝（加總有意義）是等比數(shù)列；假如數(shù)列｛2｝是等比

數(shù)列，則數(shù)列｛log,,|凡|｝（〃>0,。/1）是等差數(shù)列；

②若｛q｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則應(yīng)｝是非零常數(shù)數(shù)列；

③假如兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列也是等差數(shù)列，且新

數(shù)列的公差是原兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；假如一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列有公

共項(xiàng),那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列是等比數(shù)列，由特殊到一般的方法探求其通項(xiàng)；

④三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d;

三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法:；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：（為什么？）

7.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.

⑵三知S”（即4+/++?”=/（〃））求知用作差法：.

⑶三知4?生?〃”=/（〃）求為用作商法：.

⑷若《用-勺=/（〃）求見(jiàn)用迭加法.（5）已知，求4r用迭乘法.

⑹三知數(shù)列遞推式求用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）：①形如％="i+b,〃“=”1+以

%=以1+〃.〃+?。ㄈ肆槌?shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為&的等比數(shù)

列后，再求生.②形如的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項(xiàng).

8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加;

④錯(cuò)位相減；⑤分裂通項(xiàng)法.公式：

1+2+3+…+〃=+;12+21+32+-+n2=-n(n+\)(2n+1);13+23+33+;

262

1+3+5+?+〃=，/；

常見(jiàn)裂項(xiàng)公式:；；—!—一1—］；

?（/?-1X?+1）2/?（?+1）（n+1）（M+2）

常見(jiàn)放縮公式：2（g-歷=丁二^<丁口=2（4-g）.

>Jn+\+>Jn\Jnvw+yjn-i

9.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問(wèn)題

⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題.但在求解過(guò)程中，務(wù)必“卡手指”,

細(xì)心計(jì)算

“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長(zhǎng)又砍伐的問(wèn)題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最終”

解決.

⑵利率問(wèn)題：①單利問(wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型：若每期存入本金P

)

兀，每期利率為r,則〃期后本利和為：Sn=p(l+r)+p(l+2r)+“(1+〃r)=p(〃+吧丁r)(等差數(shù)

列問(wèn)題)；②復(fù)利問(wèn)題：按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型：若貸款(向銀行借款)〃元,

采納分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日，如此下去,分〃期

還清.假如每期利率為「(按復(fù)利)，那么每期等額還款4元應(yīng)滿意：

p(l+r)z,=Ml+r)rt-，+x(l+r)n-2++x(l+「)+%(等比數(shù)列問(wèn)題).

四.三角函數(shù)

1.a終邊和。終邊相同oa=e+2A7r(kwZ);a終邊和，終邊共線=a=6+版"(keZ);a終邊

和夕終邊關(guān)于x軸對(duì)稱=a=-6+A;zdeZ);a終邊和。終邊關(guān)于y軸對(duì)稱

<^>a=7r-0+2k^(keZ);a終邊和。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)'稱。a=;r+6+2A:4(AeZ);

a終邊和8終邊關(guān)于角夕終邊對(duì)稱0a=2/—6+2EdeZ).

2.弧長(zhǎng)公式：/=|例/；扇形面積公式：；1弧度(1陽(yáng)4)-57.3。.

3.三角函數(shù)符號(hào)(“正號(hào)”)規(guī)律記憶口訣：“一全二正弦，三切四余弦”.

留意：tanl50=cot75°=2->/3；tan75°=cot150=2+x/5；

4.三角函數(shù)同角關(guān)系中(八塊圖)：留意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx>sinx-cosx,，的關(guān)系.

如(sinx±cosx)2=l±2sinxcosx等.

5.對(duì)于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括;

(留意：公式中始終視a為銳角)

6.角的變換：已知角和特殊角、已知角和目標(biāo)角、己知角

和其倍角或半角、兩角和其和差兔等變換.

如：a=(,a+p)-p\2a=(a+/7)+(a-;勿=(￡+a)一(,一a);;

*=(a_g)-(g_￡)等；“1”的變換：I=sin2x+8s2x=tanxcotx=2sin3()o=tan45。.

222

7.重要結(jié)論：asinx+bcosx=da?+/sin(x+e)其中)；

奇眄A#,1-cos2a2,。,1-cosasina1-cosa

里要公式：sin2a=-;cos~a=;tan-=±---------=----------=---------;

22\1+cosaI+cosasina

i~：-fe?.e、2,e.e.

VI±sin=J(cos-±sin-)'=|cos-±tsin|.

V2222

萬(wàn)能公式:；；.

8.正弦型曲線尸Asin(au十⑺的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；

余弦型曲線y=Acos(◎r+e)的對(duì)稱軸；對(duì)稱中心；

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)

題勿忘三內(nèi)角和等于180。，一般用正、余弦定理實(shí)施邊角互化；

正弦定理：；

余弦定理：片=9+/_-ccosAcosA=1-J=s+且一J一1；

2hc2hc

正弦平方差公式：sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)；三角形的內(nèi)切圓半徑；

面積公式:；射影定理：a=bcosC+ccosB.

10.三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化(切割化弦)、三角函數(shù)次數(shù)的降升(降次、升次)、

運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(和式和積式的互化).解題時(shí)本著“三看”的基本原則來(lái)進(jìn)行：“看角、看

函數(shù)、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形運(yùn)用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次.

協(xié)助角公式中協(xié)助角的確定：asinx+Z?cosx=yja2+Z?2sin(x+3)(其中。角所在的象限由

&6的符號(hào)確定，。角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.尤其是兩者系數(shù)肯定

值之比為1或6的情形.Asinx+Bcosx=C有實(shí)數(shù)解<^>A2+B2>C2.

1L三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

y=Asin(3x4-(pAtan(cox+<p)

超調(diào)心軸相點(diǎn)爭(zhēng)

令鄰中心氏?xj=772

★4piitiOiki-x2i=r

★無(wú)對(duì)稱機(jī)

無(wú)奇對(duì)林利：(1)無(wú)勇對(duì)殊中心,：、

由k4?3bfc由y-0灰無(wú)念義魏文西戴國(guó)家都柏文.JL桶4卜所

三角函文疝的距離為一個(gè)周期！

數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

(2)三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

(3)三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

(4)三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法(五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列)和變換法.

12.三角形中的三角函數(shù)：

(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為乃，隨意兩角和和第三個(gè)角總互補(bǔ)，隨意兩半角和和

第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形o三內(nèi)角都是銳角o三內(nèi)角的余弦值為正值。任兩

角和都是鈍角后隨意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：—=』=f=2R(R為三角形外接圓的半徑).

sinAsinBsine

留意：已知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必留意可能有兩

(3)余弦定理：/=6+/_2睨cosA,8s4=從+(-片=S+父一"2-1等,常選用余弦定

2hc2hc

理鑒定三角形的類型.

(4)面積公式：S=g血=』absinC=嗯^.

2Z4/\

13.MBC中,易得：A+B+t(T)sin4=sin(fi+C),cosA=-cos(fi+C),tanA=-tan(B+C).

②，，?(§)?>Z?<=>A>B<=>sinA>sinB

④銳角AABC中，，sinA>cosB,cosA<cosB,a?+〃>c。，類比得鈍角A4BC結(jié)論.

(§)tanA+tanB+tanC=tanAtanfitanC.

14.(小結(jié))角的范圍：異面直線所成角(0，］；直線和平面所成角［0二］；二面角和兩向量的夾

22

角。川；直線的傾斜角［0,幻；4和，，的夾角。為.留意術(shù)語(yǔ):坡度、仰角、俯角、方位角等.

2

五.平面對(duì)量

1.設(shè)a=0,y),h=(x2>y2).(1)allh<^>xyy2-x2y1=0;(2)a_LZ?oaZ?=0ox}x2+yty2=0.

2.平面對(duì)量基本定理：假如e；和s是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任

一向量明有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4,使々二布十七；.

3.設(shè)a=(X|,y),b=(x2,y2),則“.力=|〃忖|856=中2+y必?其幾何意義是等于a的長(zhǎng)度

和b在〃的方向上的投影的乘積；a在力的方向上的投影我36=32=呼+)'辦.

網(wǎng)

4.三點(diǎn)A、B、C共線=人B和AC共線；和A啟共線的單位向量.

ab

5.平面對(duì)量數(shù)量積性質(zhì)：設(shè)a=（%,乂），0=@2,y2）,則cos。==52+產(chǎn).

1。1聞+￡《€+￡

留意：S,力為銳角=ab>0,方不同向；S,?！禐橹苯?a》=0;《〃力）為鈍角=。力<0,a,方不

反向.

6?同向或有Oo|a+B|=|a|+|碓卜a|一間=|。一向;。,〃反向或有0

<=>|a-〃|=|a|+|在卜々|一間=|a+〃|;a?1不共線o||a|一間<|a土+|山.

7.平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：⑴若〉=（*M，b=（x2,y2）f則。?力=%與+乂M；

IAB|=Ja-獷+（乂-％尸；⑵若a=（%丫），則，=a,a=V+y?.

8.熟記平移公式和定比分點(diǎn)公式.①當(dāng)點(diǎn)P在線段而上時(shí)，4>0；當(dāng)點(diǎn)P在線段施（或

麗）延長(zhǎng)線上時(shí)，2<-1或-1”<0.②分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若PF=APP2;且

［（%,%）,P（x,y）Eg，％）；

則，中點(diǎn)坐標(biāo)公式：.

③片，尸，巴三點(diǎn)共線<=>存在實(shí)數(shù);I、〃使得OP=/lOq+〃O6且4+〃=1.

9.三角形中向量性質(zhì)：①AB+AC過(guò)3C邊的中點(diǎn)：（&+上）口加一士）；

\AB\\AC\\AB\\AC\

@PG='（PA+PI3+PC）<^GA+GB+GC=0^G^JMBC^jS.^;

3

@PA-PB=PBPCPA-PC

④18clpU|C41PB+|4例PC=0=尸為AABC的內(nèi)心；所在直線過(guò)AABC內(nèi)心.

⑤設(shè)以不,）,以馬,%）,.|AB\\AC|sinA=^\ABf\ACf-（AB-AC）2.

⑥。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，則S^OA+5AA“OB+SMOBOC=0.

ff

10.P（x,y）如：皿1平；移一>P（x,y,有（PP'=。）：y=fix）網(wǎng)州用平.移->y-k=f（x-h）.

六.不等式

1.駕馭課本上的幾個(gè)不等式性質(zhì)，留意運(yùn)用條件，另外須要特殊留意：

①若H>0,人則即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊取倒數(shù),不等號(hào)方向要變更.

ab

②假如對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要留意它的正負(fù)號(hào),假如正負(fù)號(hào)未定，要留意

分類探討.

2.駕馭幾類不等式（一元一次、二次、肯定值不等式、簡(jiǎn)潔的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式）的解法，尤

其留意用分類探討的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標(biāo)根法，零點(diǎn)分區(qū)間法.

3.駕馭重要不等式，⑴均值不等式：若々,“0,則出姿之空之。之產(chǎn)？（當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)

一十一

ab

取等號(hào)）運(yùn)用條件：“一正二定三相等”常用的方法為:拆、湊、平方等;⑵ahcwR,

a2+〃+c22他+從+的（當(dāng)且僅當(dāng)。=b=C符，豉尊號(hào)）；⑶公式函意菱形如：

,;⑷若則（真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)）；

4.含肯定值不等式：4b同號(hào)或有0o|a+b|=|a|+向之||〃|-網(wǎng)Ra-力|；異號(hào)或有0

<=>\a-b\=\a\+\b^a\-\b^=\a+b\.

5.證明不等式常用方法：⑴比較法：作差比較：A-8K0=A?瓦留意：若兩個(gè)正數(shù)作差比

較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大??；⑵綜合法：由因?qū)Ч虎欠治龇ǎ簣?zhí)果索因.

基本步驟：要證…需證…，只需證…；⑷反證法：正難則反；⑸放縮法：將不等式一側(cè)適

當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.

放縮法的方法有：①添加或舍去一些項(xiàng)，如：7771>|a|;即后〉〃,②將分子或分母放大（或

縮?。?/p>

I

③利用基本不等式，如：.④利用常用結(jié)論:yjk+1—y[k

Jk+1+&

2。L_=_L，(程度大)；3。口(程度小)；

kk+\(k+l)jtk-(k-l)kk-\kkk-12k-\Ar+1

⑹換元法：_換元的目的四是削減不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元

有三角換元、代數(shù)換元.如：知f+V=/,可設(shè)x=acosay=asin。；知f+產(chǎn)小，可設(shè)

x=rcos^,y=rsinO(0<;*<1);矢口，可設(shè)x=acosay=bsin。；已矢口，可設(shè)x=aseca)，=btan。.

⑺最值法，如：a>/(x)城大值，則。>/㈤恒成立.a</(x)最小值，則a<f(x)恒成年/\

七.直線和圓的方程

1.直線的傾斜角a的范圍是［0,m;

2.直線的傾斜角和斜率的變更關(guān)系［如右圖)：。~)

3.直線方程五種形式：\\

⑴點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)(廝,%)斜率為3則直線方程為)，-k=加-即)，它不包括垂直于x

軸的直線.⑵斜截式：已知直線在)，軸上的截距為b和斜率左，則直線方程為y=h+〃，它

不包括垂直于x軸的直線.⑶兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)片(和,)、鳥(七,內(nèi))兩點(diǎn)，則直線方程為,

它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線.⑷截距式：已知直線在x軸和)，軸上的截距為，則直線方

程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線.⑸一般式：任何直線均可寫成

Ar+5)，+C=0(A,B不同時(shí)為0)的形式.

提示：⑴直線方程的各種形式都有局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截

距式呢？)

⑵直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等O直線的斜率為-1或

直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)。直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距肯定值相

等O直線的斜率為±1或直線過(guò)原點(diǎn).

⑶截距不是距離，截距相等時(shí)不要忘了過(guò)原點(diǎn)的特殊情形.

4.直線4:Ax+4y+G=0和直線4：4》+&y+G=0的位置關(guān)系：

⑴平行<=>=0(斜率)且與。2-鳥。尸0(在y軸上截距)；

⑵相交o\B2-0；(3)重合oA員-44=。且4c2-EG=0.

5.直線系方程：①過(guò)兩直線4：然+町+&=0,/2：4x+&y+G=o.交點(diǎn)的直線系方程可設(shè)

為/V+4y+G+〃4x+82y+G)=o；②和直線/：加+冷+c=o平行的直線系方程可設(shè)為

Ar+By+ni=0(mwc);③和直線/:AY+By+C=0垂直的直線系方程口J設(shè)為-Ay+〃=0.

6.到角和夾角公式：⑴乙至此的角是指直線6圍著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線，2重合所轉(zhuǎn)

k

的角凡6c(0,乃)且tan。=?'(k]k2N—1);

1+畢2

(2兒和/，的夾角是指不人于直角的角且

1+k&

7.點(diǎn)P(x。,%)到直線Ar+8y+C=0的距離公式；

兩條平行線Ax+By+G=0和Ar+By+G=0的距離是.

8.設(shè)三角形&46c三頂點(diǎn)4(芭,y),3(.”2)，。(下，為)，則重心6盧+；+*3,%+,+%).

9.有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論

⑴點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別是(a,-b),(-a,b),-b),(Z?M).

⑵曲線/(x,y)=0關(guān)于下列點(diǎn)和直線對(duì)稱的曲線方程為：①點(diǎn)(〃,份:f(2a-x,2b-y)=0;

②x軸：/(x,-y)=0;③y軸：fi-x,y)=0;④原點(diǎn)：f(-x,-y)=0;⑤直線y=x:

/(y,x)=0;⑥直線y=-x:/(-y,-x)=0；⑦直線x=a:f(2a-xyy)=0.

10.⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(*-。)2+(y-b)2=產(chǎn).

⑵圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=^D2+E2-4F>0).

特殊提示：只有當(dāng)4+￡2-4/>0時(shí),方程f+V+m+母+尸=0才表示圓心為,半徑為的圓

2222

(二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=A=C^0fS.B=0,D+E-4AF>0).

⑶圓的參數(shù)方程：(。為參數(shù))，其中圓心為(〃向，半徑為「.圓的參數(shù)方程主要應(yīng)用是三角

換元：x2+y2=r2->x=rcosO,y=rsin0;x2+y2=t2^x=rcos0,y=rsin^(0^r<.x/t).

⑷乂4(Xi，y)、8(工2，必)為直徑的圓的方程。-內(nèi))。-工2)+(〉-X)(丫-%)=。；

IL點(diǎn)和圓的位置關(guān)云的推斷通常用幾何法(計(jì)算圓心到直線距離).點(diǎn)P(%,y0)及圓的方程

(x-d)2+(y-b)2=r2.①(及一〃/+(%-4/0點(diǎn)?在圓外；

22

②(％-4+(y0-Z>)<r=點(diǎn)尸在圓內(nèi)；③產(chǎn)+(%-6)2=/=點(diǎn)?在圓上.

2

12,圓上一點(diǎn)的切線方程：點(diǎn)P(%,%)在圓/+,2=/上，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：xox+yoy=r；

過(guò)圓+()，-匕)2=產(chǎn)上一點(diǎn)PG，%)切線方程為

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

13.過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線,肯定有兩條,假如只求出了一條,那么另外一條就是和x軸垂直

的直線.

14.直線和圓的位置關(guān)系,通常轉(zhuǎn)化為圓心距和半徑的關(guān)系,或者利用垂徑定理,構(gòu)造直角三

角形解決弦長(zhǎng)問(wèn)題.①相離②d=ro相切③小廣。相交

15.圓和圓的位置關(guān)系，常常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距和兩圓的半徑之間的關(guān)系.

設(shè)兩圓的圓心距為d,兩圓的半徑分別為廣，心

d>R+ro兩圓相離；d=R+ro兩圓相夕卜切；|R—〃|vdvR+ro兩圓相交；d=jR—r|o兩圓

相內(nèi)切；d<|R-川—兩圓內(nèi)含；4=0=兩圓同心.

16.過(guò)圓G：f+V+Ax+gy+E=0,G：1+,2+如+瑪y+居=0交點(diǎn)的圓(相交弦)系方程為

2222

(x+y+D1x+E,y+f；)+2(x+y+D2x^E2y+^)-0.冗一一1時(shí)為兩圓相交弦所在直線方程.

17.解決直線和圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)?，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦

心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等).

18.求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：(1)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；(2)作出可行域,

寫出目標(biāo)函數(shù)(推斷幾何意義)；(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解.

八.圓錐曲線方程

1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P(x。,%)為橢圓上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為小-c,0),5￡0),

貝！J|p用=。+"0,|「用=。一為(”左力口右減”)；

2.雙曲線焦半徑：設(shè)PC%,%)為雙曲線上任一點(diǎn),焦點(diǎn)為￡(-c,0),鳥(c,0),

則：⑴當(dāng)尸點(diǎn)在右支上時(shí)，|PKI=a+"°,|PEI=-〃+⑵當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí)，|M|=-。-/，

\PF2\=a-ex^;(e為離心率).另：雙曲線的漸近線方程為.

3.拋物線焦半徑公式：設(shè)P?,%)為拋物線)，2=2px(p>0)上隨意一點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)，則

；y2=_2*(p>0)上隨意一點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)，貝IJ.

4.共漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為(4為參數(shù)，2。0).

5.兩個(gè)常見(jiàn)的曲線系方程：⑴過(guò)曲線工(x,y)=0,&(x,y)=0的交點(diǎn)的曲線系方程是

工(.“)+延0")=0。為參數(shù)).⑵共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中

k<max{a2,b2},當(dāng)k<rmn{a2,b2}時(shí),表示橢圓；當(dāng)min{a2,Z?2)<k<max{?2,Z?2}時(shí),表示雙曲線.

6.直線和圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式I陰=_/)2+(,_%)2或IA5|=ViTFIX-毛I(xiàn)

=J(l+公)KN+毛)2-4中2]=J1+qIX->21(弦端點(diǎn)4(X，y),必)，由方程消去

)，得至1」收2+法+c=0,A>0,%為斜率).這里體現(xiàn)了解幾中“設(shè)而不求”的思想；

7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為手，焦準(zhǔn)距為，拋物線的通徑為2p,焦準(zhǔn)距為p;

雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為一

8.中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱粕的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為加2+/2=1（對(duì)于橢圓

A>0,5>0）;

9.拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為血從即%）、8（當(dāng),%），則有如下結(jié)論：

z

（1）|A8|=X]+W+p；（2）,yxy2=-p^（3）.

10.橢圓左焦點(diǎn)弦|AB|=2a+e（玉+x2）.右焦點(diǎn)弦|AB|=2a-e（x+%2）?

11.對(duì)于y2=2px（p±0）拋物線上的:點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，以簡(jiǎn)化計(jì)算.

12.圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解.在橢圓中，

以P&,%）為中點(diǎn)的弦所在直線斜率；在雙曲線中，以P（%,%）為中點(diǎn)的弦所在直線斜率；在

拋物線丁=2川（〃>0）中，以P（%,%）為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率.

13.求軌跡方程的常用方法；

⑴干脆法：干脆通過(guò)建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成尸（x,y）=0,是求軌跡的最基本的方法.

⑵待定系數(shù)法：可先依據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的

方程即可.

⑶代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）.

⑷定義法：假如能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿意某已知曲線的定義，則可由曲線的定義干脆寫

出方程.

⑸交軌法（參數(shù)法）：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Pa/）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易干脆找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),

可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得一般方程.

14.解析幾何和向量綜合的有關(guān)結(jié)論：

⑴給出直線的方向向量〃=。&）或〃=（肛m.等于已知直線的斜率k或2；

m

⑵給出蘇+麗和A8相交,等于已知蘇+而過(guò)A8的中點(diǎn)；

（3）給出麗+麗=6,等于己知產(chǎn)是MN的中點(diǎn)；

⑷給出42+的=〃帆+即），等于己知尸,。和43的中點(diǎn)三點(diǎn)共線；

⑸給出以下情形之一：①而〃就；②存在實(shí)數(shù)/I,使AB=/iAC；③若存在實(shí)數(shù)a,尸，

且a+尸=1;使0。=0。4+僅用，等于已知4反。三點(diǎn)共線.

⑹給出，等于已知P是而的定比分點(diǎn)，4為定比,即而=力方

⑺給出總贏=0,等于已知即是直角，給出誦?礪=加<0,等于已

知是鈍角或反向共線,給出蘇?麗=機(jī)>0,等于已知ZAMB是銳角或同向共線.

⑻給出，等于已知MP是ZAM8的平分線.

⑼在平行四邊形ABCD中，給出（而+心）?（而-而）=0,等于已知/WCD是菱形.

⑩在平行四邊形ABCD中，給出|AB+AO|=|48-|,等于已知ABCD是矩形.

（11）在AA8C中，給出6V=OB=OC\等于己知。是AA8C的外心（三角形的外心是外接圓

的圓心,是三角形三邊區(qū)直學(xué)2線的交點(diǎn)）.

（⑵在AA8C中，給出而+而+了=6,等于已知。是AA3C的重心（三角形的重心是三角形

三條中線的交點(diǎn)）—

（13）在AA8C中,給出萬(wàn)J?麗=麗?歷?蘇，等于已知0是A48c的垂心（三角形的垂心

是三角形三條高的交曳.

（14）在AABC中，給出而=3十（九￡?）等于已知前通過(guò)AABC的內(nèi)心.

（15）在AABC中，給出〃.次+Z??而+c.云=0等于已知。是AABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓

的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)）.

?在AA8C中，給此等于已知AO是AA8C中3c邊的中線.

九.直線、平面、簡(jiǎn)潔幾何體

1.從一點(diǎn)。動(dòng)身的三條射線04、08、OC.若ZAO8=ZAOC,則點(diǎn)A在平面80c上的射影在

ZBOC的平分線上；

2.立平斜三角余弦公式：（圖略）成和平面所成的角是%AC在平面內(nèi)，AC和他的射影A4

成4,設(shè)NBAC=q,貝！］cosacos62=cosa；

3.異面直線所成角的求法：⑴平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條

的平行線.

⑵補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟識(shí)的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,

其目的在于簡(jiǎn)潔發(fā)覺(jué)兩條異面直線間的關(guān)系；

4.直線和平面所成角：過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段,是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.

5.二面角的求法：⑴定義法；⑵二垂線法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面積射影公式

S射—S科cos0

其中。為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫出平面角；

6.空間距離的求法：⑴兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線,所以一般先利用垂直

作出公垂線,然后再進(jìn)行計(jì)算.⑵求點(diǎn)到直線的距離,一般用三垂線定理作出垂線再求解.

⑶求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作.因此,確定已知面的垂

面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線,轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高,利用等體積法列方程求解.

7.用向量方法求空間角和距離：

⑴求異面直線所成的角：設(shè)a、b分別為異面直線〃、力的方向向量，則兩異面直線所成

的角.

⑵求線面角：設(shè)/是斜線/的方向向量，〃是平面a的法向量，則斜線/和平面7所成的角.

⑶求二面角（法一）在a內(nèi)a_L2,在夕內(nèi)/>_!_/,其方向如圖（略），則二面角a-/-〃的平面

角.（法二）設(shè)小%是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)

指向外側(cè)，則二面角-尸的平面角.

（4）求點(diǎn)面距離：設(shè)〃是平面a的法向量，在a內(nèi)取一點(diǎn)&則4到a的距離

d=|AB||cos昨四回（即痛在〃方向上投影的肯定值）.

1?1

8.正棱錐的各側(cè)面和底面所成的角兩等,記為氏則及COS，=S底.

——Eh?八Ft、，\ULrl.HzJ-Earccos▲

9.正四面體（設(shè)棱長(zhǎng)為〃）的性質(zhì)：（如圖）3

①全面積S=&2；②體積；

③對(duì)棱間的距離；④相鄰面所成二面角；

⑤外接球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；

⑦壬四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值.

⑧壬四面體和正方形（如圖）

10.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長(zhǎng)方體、正方體、正四面體關(guān)于側(cè)棱、

側(cè)面、對(duì)角面、平行于底的