微專題31解三角形中的要素

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、正弦定理：-^―==2R,其中尺為AABC外接圓的半徑

sinAsinBsinC

正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具

備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行

例如：(1)sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C<=>a2+b2-ab=c2

(2)ZJCOSC+ccosB=a=4>sinBcosC+sinCeosB=sinA(恒等式)

、besinBsinC

(z3)—=----------

asin-A

2、余弦定理：t/2=Z?2+c2—2Z?ccosA

1t/、4b1+c~-a2

變式：⑴cosA=---------------

2bc

①此公式通過邊的大小(角兩邊與對(duì)邊)可以判斷出A是鈍角還是銳角

當(dāng)尸+，>42時(shí)，cosA>0,即A為銳角;

當(dāng)〃+,2=/(勾股定理)時(shí)，cosA-0,即4為直角；

當(dāng)加+。2<。2時(shí),cosA<0,即A為鈍角

②觀察到分式為齊二次分式，所以已知。，dc的值或者a:Z?:c均可求出cosA

(2)?2=+c)2-2bc(1+cosA)此公式在已知b+c和be時(shí)不需要計(jì)算出優(yōu)c的值，進(jìn)

行整體代入即可

3、三角形面積公式：

(1)S=-a-h(。為三角形的底，//為對(duì)應(yīng)的高)

2

(2)S=—absmC=—bcsmA=—acsmB

222

(3)S=^a+b+c)-r(廠為三角形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑)

(4)海倫公式：S=Jp(p_a)(p_.)(p_c),p=g(a+b+c)

(5)向量方法：s=|^(|a|.|s|j2-(a.&)2(其中z了為邊。力所構(gòu)成的向量，方向任意)

證明：S=-absmC^S2=-a2b2sin2C=-a2b2(1-cos2C)

244v7

z.S=-d(ab)，-(abcosCp,而卜?=abcosC

坐標(biāo)表示：a=[xvyi),b^x2,y2),則S=；上為—/R

4、三角形內(nèi)角和4+3+。=萬(兩角可表示另一角)。

sin(A+5)=sin(^—C)=sinC

cos(A+B)=cos(?一C)=一cosC

5、確定三角形要素的條件：

(1)唯一確定的三角形：

①已知三邊(SSS)：可利用余弦定理求出剩余的三個(gè)角

②已知兩邊及夾角(SAS)：可利用余弦定理求出第三邊，進(jìn)而用余弦定理(或正弦定理)求

出剩余兩角

③兩角及一邊(AAS或ASA)：利用兩角先求出另一個(gè)角，然后利用正弦定理確定其它兩條

邊

(2)不唯一確定的三角形

①已知三個(gè)角(AAA)：由相似三角形可知，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形有無數(shù)多個(gè)。由正弦

定理可得：已知三個(gè)角只能求出三邊的比例：a:b:c=sinA:sinB:sinC

②已知兩邊及一邊的對(duì)角(SSA)：比如已知a,反A,所確定的三角形有可能唯一，也有可能

是兩個(gè)。其原因在于當(dāng)使用正弦定理求8時(shí)，一心=—也=>sin5=9吧4,而

sinAsinBa

時(shí)，一個(gè)sinB可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角(1個(gè)銳角，1個(gè)鈍角)，所以三角形可

能不唯一。(判定是否唯一可利用三角形大角對(duì)大邊的特點(diǎn)，具體可參考例1)

6、解三角形的常用方法：

(1)直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解

(2)間接法：可以根據(jù)所求變量的個(gè)數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進(jìn)行求

解

7、三角形的中線定理與角平分線定理

(1)三角形中線定理：如圖，設(shè)AO為AABC的一條中線，

A

貝ijAB2+AC2=2(AD-+BD~)(知三求一)

證明：在△ABD中//\

AB~=AD1+BD--2AD-BDcosADB①//\

BtC

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosADC②

?.￡)為8C中點(diǎn):.BD=CD

?「ZADB+ZADC—7icosADB=—cosADC

/.①+②可得：

AB-+AC2=2(AD2+BDr)

(2)角平分線定理：如圖，設(shè)40為中NB4C的

4R

角平分線，則絲BD

ACCD

證明：過。作DE〃AC交AB于E

BDBE

ZEDA=ZDAC

DC~AE

?.?AD為N3AC的角平分線

:.ZEAD=ZDAC:.ZEDA=ZEAD

.?.△E4D為等腰三角形:.EA=ED

BD

--=—而由ABED?ABAC可得：—=—

"~DC~AEEDEDAC

ABBD

ACCD

二、典型例題:

例1：(1)AABC的內(nèi)角A,5c所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c=0,b=J83=60。，則

C=____

(2))N43。的內(nèi)角45。所對(duì)的邊分別為4,仇0,若。=、5為=幾,。=30。，則6=

hp「sin/?

思路：(1)由已知瓦瓦。求?？陕?lián)想到使用正弦定理：----=-----nsinC=------

sinBsinCb

代入可解得：sinC=-o由c<b可得：C<B=60a,所以C=30°

2

答案：C=30°

hcAsin「

(2)由已知C,〃。求8可聯(lián)想到使用正弦定理：----=-----^sinB=———

sin3sinCc

代入可解得：sinB=—,則3=60°或3=120°,由c<b可得：C<B,所以3=60°和

2

3=120°均滿足條件

答案：3=60°或3=120°

小煉有話說：對(duì)比(1)(2)可發(fā)現(xiàn)對(duì)于兩邊及一邊的對(duì)角，滿足條件的三角形可能唯一確

定，也有可能兩種情況，在判斷時(shí)可根據(jù)“大邊對(duì)大角”的原則，利用邊的大小關(guān)系判斷出角之

間的大小關(guān)系，判定出所求角是否可能存在鈍角的情況。進(jìn)而確定是一個(gè)解還是兩個(gè)解。

例2：在AABC中，BC=2,B=60。,若的面積等于二二，則AC邊長(zhǎng)為

2

思路：通過條件可想到利用面積S與BC,NB求出另一條邊AB,再利用余弦定理求出AC即

可

“ABC2222

.-.AB=1

.-.AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=l+4-2-2-=3

2

:.AC=6

答案：A/3

例3：(2012課標(biāo)全國(guó))已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊，且有

acosC+百asinC-b-c=0

(1)求A

(2)若a=2,且△ABC的面積為6,求女。

(1)思路：從等式acosC+JWasinC-Z?-c=0入手，觀察每一項(xiàng)關(guān)于。，"c齊次，考慮

利用正弦定理邊化角：

acosC+y/3asinC-b-c=0nsinAcosC+A/3sinAsinC-sinB-sinC=0,所涉及式

子與AC關(guān)聯(lián)較大，從而考慮換掉sin5=sin(A+C),展開化簡(jiǎn)后即可求出A

解:acosC+y/3asinC-b-c=Q

=>sinAcosC+V3sinAsinC-sinB-sinC=0

nsinAcosC+A/3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0

nsinAcosC+A/3sinAsinC-sinAcosC-sinCcosA-sinC=0

即6sinA-cosA=ln2sin(A-^)=lnsin|A-看￡

62

.TC7C__.TC5?/A、

:.A——=—或A——=—(舍)

6666

'.A4——兀

3

(2)思路：由(1)可得A=工，再由a=2可想到利用面積與關(guān)于A的余弦

定理可列出8C的兩個(gè)方程，解出dC即可

解：SARr=—bcsinA=yf3^>bc=4

a2=b2+c~—2bccosA^>4=b'+c2—be

b2+c~-be=4-〃+。2=8b=2

=>可解得<

be=4be=4c=2

小煉有話說：通過第（1）問可以看出，在遇到關(guān)于邊角的方程時(shí)，可觀察邊與角正弦中是否

具備齊次的特點(diǎn)，以便于進(jìn)行邊角互化。另一方面當(dāng)角A,6c同時(shí)出現(xiàn)在方程中時(shí)，通常要

從所給項(xiàng)中聯(lián)想到相關(guān)兩角和差的正余弦公式，然后選擇要消去的角

例4：如圖，在AABC中，。是邊AC上的點(diǎn)，且A3=AZ>,2A3=68￡>,8C=28。，則

B

sinC的值為

思路：求sinC的值考慮把C放入到三角形中，可選的三角形有AABC/\

和ABDC,在ABDC中，已知條件有兩邊3￡>,3。，但是缺少一個(gè)AD

角（或者邊），看能否通過其它三角形求出所需要素，在AABD中，三邊比例已知，進(jìn)而可

求出NBZM,再利用補(bǔ)角關(guān)系求出N3OC,從而ABDC中已知兩邊一角，可解出C

解：由2AB=例?？稍O(shè)應(yīng)）=2左則A3=顯

:.AD=?c,BC=4k

在AADB中，cosADB=AD+BD-AB=走

2ADBD2瓜-2k一石

.1.cosBDC=-cosADB=———■sinBDC=—

33

BDBC,「BD-sinBDC

在△BDC中，由正弦定理可得:----------=>smC=

sinCsinBDC-------------------BC~6

小煉有話說：（1）在圖形中求邊或角，要把邊和角放入到三角形當(dāng)中求解，在選擇三■角形時(shí)

盡量選擇要素多的，并考慮如何將所缺要素利用其它條件求出。

（2）本題中給出了關(guān)于邊的比例，通常對(duì)于比例式可考慮引入一個(gè)字母（例如本題中的左），

這樣可以將比例轉(zhuǎn)化為邊的具體數(shù)值，便于計(jì)算

例5：已知AABC中，。，仇c分別是角A,5c所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，若AABC的面積為S,且

2s=（。+〃）2—。2,則tan。等于

?1

思路：由已知2s=(a+b)可聯(lián)想到余弦定理關(guān)于cosC的內(nèi)容，而S=5absinC,所

以可以得到一個(gè)關(guān)于sinC,cosC的式子，進(jìn)而求出tanC

91

解：2s=(a+b)—c?02?]absinC=+/—/+

而/=〃2+/一2"cosC:.a2+b2-c2=2"cosC代入可得：

absinC=2ab+2aZ?cosC=>sinC=2+2cosC

,"4

sinC=—

sinC=2+2cosC5

22

sinC+cosC-\「3

cosC=——

4

tanC=—

3

_4

答案：tanC=——

3

例6：在AAfiC中，內(nèi)角A,所對(duì)的邊分別為a,反c，已知AAfiC的面積為3"虧

Z?-c=2,cosA=--,則。的值為

4

思路：已知cosA求?？梢月?lián)想到余弦定理，但要解出仇。的值，所以尋找解出仇。的條件，

2

SABC=—besinA=3^15,而sinA=A/1—cosA=代入可得Z?c=24,再由Z?—c=2

2222

可得a=b+c-2Z?ccosA=(Z?-c)+2bc-2bccosA=64f所以a=8

答案：8

例7：設(shè)AABC的內(nèi)角A,5c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若6sinA—gacosB=0,且

〃=ac,則"￡的值為（）

b

A.正B.72

C.2D.4

2

思路：由bsinA-百acosB=0可得：sinBsinA-y/3sinAcos5=0,從而tanB=J§\

兀

解得B——,從b—etc可聯(lián)想到余弦定理：Z?2—/+，—2tzccosB—/+/—ac,所以

3

有a?+H一。)2=。，從而〃=。再由/=〃?？傻谩ǘ?=。，所以P+0的

b

值為2

答案：C

小煉有話說：本題的難點(diǎn)在于公式的選擇，Z?2=ac以及所求巴士也會(huì)讓我們想到正弦定理。

但是通過嘗試可發(fā)現(xiàn)利用角進(jìn)行計(jì)算較為復(fù)雜。所以在解三角形的題目中，條件的特征決定

選擇哪種公式入手；如果所給是關(guān)于邊，角正弦的其次式，可以考慮正弦定理。如果條件中

含有角的余弦，或者是邊的平方項(xiàng)，那么可考慮嘗試余弦定理。

例8：設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為仇c,且。2二片+%人二―，則。=()

思路：由/次的結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,可以此為突破

口，即方之一人。=尸+o2—2bccosA,代入解得：c=(6―1)人，進(jìn)而求出a=，—1b,

得到比例代入余弦定理可計(jì)算出C

22

解：由廿二片+A可得:a-b-be,

a2=b2+c2-2Z?ccosA

:.b2—bc—b2+c2-2bccosA

c2=(V3-1)&C:.C=(6—1)人代入到"=4+60

可得：Cl限-1)方

a:b:c=]:1：A/3-1

+11

er+b2-c2~(^~)_41

V3-1

6

4

例9：已知AABC的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角

的余弦值是()

思路：不妨考慮avbvc,將?三個(gè)邊設(shè)為a=x—Lb=x,c=x+1,則C=2A,想到正弦定

csinCsin

理一=-----=-------=2cosA,再將cosA利用余弦定理用邊表示，列方程解出x,從而求

asinAsinA

出cosA

解：設(shè)〃<bvc,貝！Ja=x-l,b=x,c=x+l

csinCsin2A八，

?.?C=2A—=------=---------=2cosA

asinAsinA

cb1+C1-a1b2+c--a2

-=2--------代入〃=%-1,5=羽。=%+1可得：

a2bcbe

%2+（%+l）2_"_]）2

x+1

，解得：x=5

x-1X（X+1）

..ci—4,b—5,c=6

.?.cosA=-23

2bc4

答案：A

小煉有話說：本題的特色在于如何利用“最大內(nèi)角是最小內(nèi)角2倍”這個(gè)條件，可聯(lián)想到正余弦

的二倍角公式。本題采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之間與題目中邊的條件找到聯(lián)

系。如果采用余弦二倍角公式，則有cosC=2cos2A-1,即便使用余弦定理也會(huì)導(dǎo)致方程次

數(shù)過高，不利于求解。

例10：在AABC中，。為邊5c上一點(diǎn)，1CD,ZADB=120°,AD=2,若AADC的

面積為3—百，則NB4C=

思路：要求出NBAC,可在AABC中求解，通過觀察條件

ZADB=120°(ZADC=120°),AZ)=2,=3-73,可

從AADC可解，解出A￡),AC,進(jìn)而求出5￡>,再在

中解出AB,從而AABC三邊齊備，利用余弦定理可求出

ABAC

解：—AD-DC-sinADC=3-43

2（3-⑹

DC==2（V3-1）

2sin—

3

:.BD=-DC=j3-l

2

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosADC=22+[2（73-1）J-2-2-2（73-l）cosy

=6（4-2@

.-.AC=76.（73-1）

同理AB2=AD2+DB2-2AD-DB-cosADB

-22+(V3-1)2-2-2-(V3-1)COS^=6

AB=4^

AB-+AC2-BC26+6(V3-l)-13(g-1)]

1

cosBAC=------------------=------——「'以二~~；~—

2ABAC2.A/6.V6(A/3-1)2

:.ZBAC=60°

答案：NR4C=60°

小煉有話說：(1)本題與例4想法類似，都是把所求要素放入到三角形中，同時(shí)要通過條件

觀察哪個(gè)三角形條件比較齊備，可作為入手點(diǎn)解出其他要素

(2)本題還可以利用輔助線簡(jiǎn)化運(yùn)算，作A"，5c于進(jìn)而利用在HfAADM中

NADC=60°,AD=2得AM=6,,DM=1,再用工=3—G解出CD=2(百—1)

進(jìn)而BD=6-l,則在上

BM=BD+DM=?CM=CD-DM=2也-3

所以ZBAM=45°,tan2WAC=-2-73可得：

AM

ZMAC=15°,所以NR4C=60°

三、近年好題精選

7T

1、設(shè)AABC的內(nèi)角A,5c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,"C,且。=1,3=4,5.筋0=2,貝！jsinA=

()

72B屈V821

A.D.——

105010

2、設(shè)AABC的內(nèi)角A,3,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為。，"c,且人=3,c=l,A=25,則。的值為

()

A.A/2B.2&C.#>D.2A/3

3、在AABC中，。為邊上一點(diǎn)，DC=2BD,AD=6,NADC=45。，若AC=,

則()

A.2+y/3B.4C.2+^[5D.3+y/5

sin24

4、（2015,北京）在△ABC中，〃=4/=5,c=6,則------=

sinC

5、（2015,廣東）設(shè)AABC的內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a,0,c，若口=6點(diǎn)115=工,。=工，

26

貝!!）=_______

6、（2015,福建）若銳角AABC的面積為10G，且AB=5,AC=8,則等于

答案：7

7、（2015,天津）在AABC中，內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a,A,c,已知“15。的面積為3,

b-c=2,cosA=,則〃的值為

4

8、（2014,天津）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為，已知b—c=L。，

4

2sinB=3sinC,貝（IcosA的值為

---?---?7T

9、（2014,山東）在AABC中，已知A3-AC=tanA,當(dāng)人=—時(shí)，AABC的面積為

6

10、（2014,遼寧）在AABC中，內(nèi)角A&C的對(duì)邊分別為a,b,c，且”>c,已知

-.—.1

BA-BC=2,cosB=—,b=3,求：

3

（1）a,c的值

（2）cos（5—C）的值

11、（2015,陜西）設(shè)AABC的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a,A,c,向量云=[,、&）與

n=（cosA,sinB）平行

（1）求A

（2）若。=幣,b=2,求AABC的面積

12、（2015,新課標(biāo)ID在AABC中，。是8C上的點(diǎn)，AD平分NA4C,血的面積是

△AZX7面積的2倍

(2)若AD=1,DC=J,求3￡),AC的長(zhǎng)

2

13、(2015,安徽)在AABC中，A=物,A3=6,AC=3拒，點(diǎn)。在5c邊上，AD=BD,

4

求AD的長(zhǎng)A

14、(2015,江蘇)在AABC中，已知AB=2,AC=3,A=^

(1)求BC的長(zhǎng)D

(2)求sin2c的值

習(xí)題答案：

1、答案：A

A

解析：SARC=—acsinB-2^c=4/2

.?22=片+。2—2〃CCOSJB代入可得：/=1+32—214正史=25

2

.',b—5

ab..a.v2

/.------=-------nsmA=—?sm8=—

sinAsinBb10

2、答案：D

解析：-：A=2BsinA-sin2B=2sinBcosB

^+C1~b2

/.a=2Z?cosBcosB=--------------

lac

a1+C1-b24+1—9

a=2b-=>a=6?

lacla

:.a2=3（a2-8）:修=24=

3、答案：C

解析：設(shè)3￡>=x,則CD=2x,由余弦定理可得:

\ABf=\ADf+\BDf-2\AD\-\BD\COS1350

|AC|2=|A￡>|2+|C￡>|2-2|AD|-|CD|cos45°,代入可得:

\ABf=2+x2+2x

-,-\AC\=42\AB\

|AC「=2+4/-4x

2++2x

解得:x-2+A/5

22+4X2-4X

4、答案：1

sin2Ac-sinAb1+c2-a1a.25+36-164,

解析:-------=2cosA-------=2--------------------=2--------------------=1

sinCsinC2bcc2566

5、答案：1

Ijrrr27rab

解析：由sinB=—及C=—可得：B=—，從而A=——,由正弦定理可得：——

2663sinAsin3

解得b=l

6、答案：7

解析：由SABc=^AB-ACsinA,可得：sinA=—,即4=工，再由余弦定理可計(jì)算

△/1ZJV223

BC=7AC2+AB2-2AB-ACcosA=7

7、答案：8

解析：cosA=--nsinA=A/1-COS2A=由5

44

/.S：c-；bcsinA=3A/15nbe=24

/.由余弦定理可得：a?=〃+/_2/?ccosA-{b-c)2+2/?c(l-cosA)=64

.,.a=8

8、答案：---

4

解析：由2sinB=3sinC可得26=3c代入到b—c=」a即可得到a:b:c=4:3:2,不妨

4

942+4左2—1642

設(shè)a=4k,b=3k,c=2k,則cosA=t---------—

2bc-2-3k-2k~4

9、答案：工

6

___1___?.qinA

解析：AB-AC=tanA=>Z?ccosA=------

cosA

,sinAsin2A

二.be二——S^ABC=gbesinA=g

cosAcos2A26

10、解析：由A4?BC=2可得：accosB=2

ac-6

由余弦定理可得：b1=(〃+c)2-2。。(1+以%3)即9=(。+0)2-16=>〃+C=5

ac-6「

a=3

:.<ac-5解得：<

”2

a>c

1/---------25/2

(2)由cos3二—可得：sinB=vl-cos2B=-----

33

,一jbc.〃esmB4v2

由正弦TE理可知：----=-----=>smC=--------=------