物理總復(fù)習(xí)：帶電體在電場中的運(yùn)動

編稿：李傳安審稿：

【考綱要求】

L知道帶電體在電場中的運(yùn)動特點(diǎn)；

2、會綜合力學(xué)知識分析帶電體在電場中的運(yùn)動問題；

3、會用能量的觀點(diǎn)處理帶電體在電場中的運(yùn)動問題。

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)、帶電體在電場中的運(yùn)動

要點(diǎn)詮釋：

1、在復(fù)合場中的研究方法

(1)牛頓運(yùn)動的定律+運(yùn)動學(xué)公式

(2)能量方法：能量守恒定律和功能關(guān)系

動量方法：動量守恒定律和動量定理

2、電場中的功能關(guān)系：

(1)只有電場力做功，電勢能和動能之和保持不變。

(2)只有電場力和重力做功，電勢能、重力勢能、動能三者之和保持不變。

(3)除重力之外，其他各力對物體做的功等于物體機(jī)械能的變化。

(4)電場力做功的計(jì)算方法

①由公式卬=&cos。計(jì)算,此公式只在勻強(qiáng)電場中使用，即W=4日

②用公式叱記二式小計(jì)算,此公式適用于任何形式的靜電場。

③靜電場中的動能定理：外力做的總功(包括電場力做的功)等于動能的變

化。

由動能定理計(jì)算電場力做的功。

【典型例題】

類型一、帶電物體在靜電場和重力場的復(fù)合場中運(yùn)動時(shí)的能量守恒

（1）帶電物體只受重力和靜電場力作用時(shí)，電勢能、重力勢能以及動能相互轉(zhuǎn)

化，總能

量守恒，即EPG+JU+EK=恒定值

（2）帶電物體除受重力和靜電場力作用外，如果還受到其它力的作用時(shí)，電

勢能、重力

勢能以及動能之和發(fā)生變化，此變化量等于其它力的功，這類問題通常用動能定

理來解決。

例1、如圖所示，實(shí)線為勻強(qiáng)電場中的電場線，虛線為等勢面，且相鄰等勢

面間的電勢差相等，一正電荷在等勢面A處的動能為20J,運(yùn)動到等勢面C處

的動能為ini而即c等勢面為零電勢能面，則（1）當(dāng)此電荷的電勢能為5J

時(shí)的。（2）當(dāng)此電荷的動能為8J時(shí)的電勢能是多少J?

B---------------------

?氣阻力）

【思路點(diǎn)撥】（1）確定每兩個(gè)等勢面之間的電勢能的差值，（2）根據(jù)零勢面，

確定電勢能零點(diǎn)，這是同一個(gè)等勢面；（3）根據(jù)有一個(gè)已知量的等勢面（零勢面）

確定總能量,（4）所求任意點(diǎn)的某能量就等于總能量減去這點(diǎn)的一個(gè)已知能量。

【答案】

5J;2J0

【解析】（1）在靜電場中運(yùn)動的電荷，它的機(jī)械能和電勢能之和保持不變，即能

量守恒，由此出發(fā)分析問題時(shí)比較方便。電場力做負(fù)功，動能減少，電勢能增加，

由于每兩個(gè)等勢面之間的電勢差相等，則電勢能的差值也相等，又因?yàn)橐粋€(gè)正電

荷在等勢面A處具有動能20J，它運(yùn)動到等勢面C處的動能為10J,說明每兩個(gè)

等勢面之間的電勢能的差值為5J,（也可以根據(jù)電場力做功來理解），取等勢面

Uc的電勢能為零，動能為10J,從A到C動能減少了10J,電勢能增加了10J,

總的能量為電勢能為零）

10Jo（Uc=O,

則等勢面UA的電勢能為-10J，動能為20J.

等勢面B的動能為15J,UB的電勢能為-5J.

則任意點(diǎn)的電勢能為5J時(shí),其動能為&.電=1（V-5J=5）。

（2）當(dāng)此電荷的動能為8J時(shí)，其電勢能為%=E總-Ez;t=10J-8J=2J

【總結(jié)升華】本題（1）中各等勢面的能量關(guān)系：

等勢面UA的動能為20J,電勢能為-10J，總能量為10Jo

等勢面UB的動能為15J,電勢能為-5J，總能量為10J。

等勢面Uc的動能為10J，電勢能為0，總能量為10Jo

以上關(guān)系充分體現(xiàn)了能量守恒，要體會能量守恒的涵義。

解決靜電場中能量守恒問題的思路和基本方法：（不是唯一的只是推薦）

（1）確定每兩個(gè)等勢面之間的電勢能的差值，如本題利用等勢面Uc的已知?jiǎng)?/p>

能和等勢面UA的動能為零來確定；（2）根據(jù)零勢面，確定電勢能零點(diǎn)，這是同

一個(gè)等勢面；（3）根據(jù)有一個(gè)已知量的等勢面確定總能量,本題利用等勢面UB,

兩個(gè)能量值相加（代數(shù)和，注意正負(fù)）；（4）所求任意點(diǎn)的某能量就等于總能量

減去這點(diǎn)的一個(gè)已知能量。

舉一反三

【變式1】如圖所示，a、b、c三條虛線為電場中的等勢面,等勢面b的電勢為

零；:y面間的電勢差相等,一個(gè)帶正電的粒子在A點(diǎn)時(shí)的動能為

1C：；下從A運(yùn)動到B速度為零，當(dāng)這個(gè)粒子的動能為7.5J時(shí)，

其人產(chǎn)I

A.12.5JB.2.5JC.OD.-2.5J

【答案】D

【解析】根據(jù)動能定理可知,帶電粒子從A到B,電場力做功為-10J,則帶電

粒子從A運(yùn)動到等勢面b時(shí)，電場力做功-5J,粒子在等勢面b時(shí)動能為5J,

帶電粒子在電場中的電勢能和動能之和為5J,當(dāng)動能為7.5J時(shí)，其電勢能為-

力做正功，動能增大，電勢能減小，AB均錯(cuò)；小球豎直方向只受重力，加速度

為重力加速度，到最大高度的時(shí)間%,C對；到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，具有水平方向

g

的速度，速度不為零，加速度等于重力加速度與電場力引起的加速度的矢量和，

大于重力加速度，D錯(cuò)。故選C。

【總結(jié)升華】本題在電場和重力場的復(fù)合場中重點(diǎn)考察帶電小球的功能關(guān)系轉(zhuǎn)

化，在學(xué)習(xí)過程中要明確各種功能關(guān)系是解這類問題的關(guān)鍵。

I一個(gè)絕緣光滑半圓軌道放在豎直向下的勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)為

個(gè)質(zhì)量為m,帶電量為+q的小球由靜止下滑，則()

A.小球運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒

B.小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)速度最大

C.小球在最低點(diǎn)受到的壓力mg+qE

D.小球在最低點(diǎn)受到的壓力為3(+qE)

【答案】BD

【解析】小球在重力場和靜電場構(gòu)成的復(fù)合場中運(yùn)動時(shí)，重力勢能、動能和電勢

能之和守恒，小球由靜止下滑的過程中，電場力做功，電勢能發(fā)生變化，因此球

的機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；帶正電的小球在最低點(diǎn)處電勢能和重力勢能都

最小，由能量守恒知，其動能必定最大，速度最大，選項(xiàng)B正確；對小球運(yùn)用

動能定理mgR+qER=；mv2；

在最低點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律N-mg一qE=

R

解得小球在最低點(diǎn)受到的壓力是N=3(〃2g+qE)

類型二、等效"重力場〃問題

例3、如圖所示，光滑絕緣半球槽的半徑為R，處在水平向右的勻強(qiáng)電場中，

一質(zhì)量為m的帶電小球從槽的右端A處無初速沿軌道滑下滑到最低位置B時(shí),

球一~~，，了‘求：（1）小球受到電場力的大小和方向；

，動過程中的最大速度.

B

【思路點(diǎn)撥】已知球?qū)壍赖膲毫?，即可根?jù)牛頓第二定律結(jié)合圓周運(yùn)動的特點(diǎn)，

求出速度，求出電場力。求最大速度,最大速度的點(diǎn)加速度為零，合力為零，找

出最大速度的地方應(yīng)用動能定理求解。

【答案】（1），電/方向水平向右；（2）jRg函-1）

【解析】（1）設(shè)小球運(yùn)動到最低位置B時(shí)速度為v,

2

此時(shí)N-mg=m—,求得v2=gR

R

設(shè)電場力大小為F,由題意，小球從A處沿槽滑到最低位置B的過程中，

設(shè)電場力方向向右;根據(jù)動能定理〃吆=

聯(lián)立解得尸〃藥，電場力為正，所以方向水平向右

■:速度的條件：是小球沿軌道運(yùn)動到某位置時(shí)切向

合力”的連線與豎直方向的夾角為e,如圖標(biāo)

II2

/wgsin8=Feos。得tan。=5，可彳導(dǎo)sin。=方,cos0=

小球由A處到最大速度位置的過程中，應(yīng)用動能定理

mgRcos6-gI-sin。）=；m匕:-0

解得匕"=1Rg（逐T）。

【總結(jié)升華】求速度最大的點(diǎn)，可以設(shè)一個(gè)角度，求B點(diǎn)切線方向合力為零，

就可求出角度,這點(diǎn)速度最大。這點(diǎn)不是最低點(diǎn),所以叫”等效最低點(diǎn)"。

舉一反三

【變式】如圖所示，在豎直平面內(nèi),有一半徑為R的絕緣的光滑圓環(huán)，圓環(huán)處

于場強(qiáng)大小為E,方向水平向右的勻強(qiáng)電場中,圓環(huán)上的A、C兩點(diǎn)處于同一水

平面上，B、D分別為圓環(huán)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn).M為圓環(huán)上的一點(diǎn)，

zMOA=45°.環(huán)上穿著一個(gè)質(zhì)量為m,帶電量為+q的小球，它正在圓環(huán)上做

圓周運(yùn)動，已知電場力大小qE等于重力的大小mg,且小球經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)球與環(huán)

之間的相互作用力為零.

求：（1）帶電小球在圓環(huán)上做圓周運(yùn)動的最小速度；

__D

點(diǎn)時(shí)的動能；

-上做圓周運(yùn)動的最大速度及位置。

B

【答案】（1）匕曲=（2）%=（半-l）n?gR,

（3）連接M0并延長至與圓環(huán)的交點(diǎn)P,vmax=瓜麗

【解析】（1）小球經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)球與環(huán)之間的相互作用力為零，M是等效〃最高

點(diǎn)",此時(shí)小球的速度最小，重力與電場力的合力提供向心力，已知理＞〃吆；

zMOA=45°,

F合=6mg,根據(jù)牛頓第二定律F合=6mg=m

所以M點(diǎn)的動能等〃]

以R最小速度為vmin=yp2gR.

（等效"重力加速度”為/=3g，則%in=阿=4^）

（2）當(dāng)小球從M點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的過程中，電場力和重力做功分別為

WK=-mgR(]-cos45)=一mgR(l

x/2

W=mgRsin45=——mgR

c下2

根據(jù)動能定理—mgR-mgR(\---)=EKA-EKM

DDmgR

Z在等效"最低點(diǎn)〃，連接M0并延長至與圓環(huán)的交點(diǎn)P就是等

F圖所示。

從M到P點(diǎn)（前面已求出的A、B、C、D的動能都能用，但要保證正確，從B

到P最簡單)根據(jù)動能定理〃吆2Rsin45°+尸2RCOS45°=EW-EKM

解得最大動能為&"平MR,最大速度匕加=氏麗.

類型三、電場中的功能關(guān)系

【高清課堂：帶電體在電場中的運(yùn)動2例4］

例4、一個(gè)質(zhì)量為m的帶電量為-q的物體，可以在水平軌道Ox上運(yùn)動，

軌道0端有一與軌道垂直的固定墻。軌道處于勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度大小為E,

方向沿Ox軸正方向。當(dāng)物體m以初速度%從幾點(diǎn)沿x軸正方向運(yùn)動時(shí)受到軌

道大小不變的摩擦力/的作用，且/<小，設(shè)物體與墻面碰撞時(shí)機(jī)械能無損失，

且電量不變，求：

動至與墻面碰撞時(shí)電場力做了多少功？

它所通過的總路程為多少？

【思路點(diǎn)撥】對小物體進(jìn)行運(yùn)動過程分析，根據(jù)靜電場場力做功與路徑無關(guān)求出

小物體所通過的總路程。

［答案］x:叫;

【解析】運(yùn)動過程分析：小物體受到的電場力尸=%,大小不變，方向指向墻

壁；摩擦力的方向總是與小物體運(yùn)動的方向相反。不管開始時(shí)小物體是沿x軸的

正方向還是負(fù)方向運(yùn)動，因?yàn)榱?lt;%,經(jīng)多次碰撞后,如果小球處在Ox軸的某

點(diǎn)，總會向0點(diǎn)加速運(yùn)動的，所以小物體最終會靜止在。點(diǎn)。在這一過程中，

摩擦力所做負(fù)功使物體的機(jī)械能|片和電勢能把％變?yōu)榱?。?jù)此可求得總路程

X。

(1)滑塊從飛到。點(diǎn)電場力做功為%,用F為

(2)滑塊運(yùn)動過程中摩擦力總與其運(yùn)動方向相反,對m做負(fù)功，而電場力在滑

塊停在。點(diǎn)時(shí)做功僅為夕E%。設(shè)滑塊通過的總路程為x，則根據(jù)動能定理得：

c/Ex{)-fa=O--mvi)

_IHVQ+2qEx()

x=~■~'o

2f

【總結(jié)升華】靜電場場力做功與路徑無關(guān)，解題時(shí)要靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用動能定理。

舉一反三

【變式】一塊矩形絕緣板放在光滑水平面上，另有一質(zhì)量為m,帶電量為q的

小物塊沿板的上表面以某一初速度從左端A水平向右滑上該板，整個(gè)裝置處于

豎直向下，足夠大的勻強(qiáng)電場中，小物塊沿板運(yùn)動至右端B恰好停在板上.若

強(qiáng)場大小不變而方向反向，當(dāng)小物塊仍由A端以相同的初速度滑上板面，則小

物塊運(yùn)動到距A端的距離為板長2/3處時(shí)，就相對于板靜止了。

(1)小物塊帶何種電荷？

E是多少？

Xk,

【答案】(1)小物塊帶負(fù)電荷。(2)E=^~.

5q

【解析】(1)第一次小物塊與平板達(dá)到共同速度，在平板上滑行的距離(相對位

移)比第二次的大，損失的能量相等，說明小物塊受到的摩擦力第一次的小，第

二次的大，結(jié)合受力分析，可知小物塊帶負(fù)電荷.

(2)設(shè)小屋塊的初速度為v0,平板的質(zhì)量為M,長度為L,m和M相對靜止

時(shí)的共同速度為v,m和M間的動摩擦因數(shù)為〃，在小物塊由A端沿板運(yùn)動至

B端的過程中,對系統(tǒng)應(yīng)用功能關(guān)系有〃(〃吆-qE)L=；mvl-；(m+M)v2.

在電場反向后，小物塊仍由A端沿板運(yùn)動至相對靜止的過程中,對系統(tǒng)應(yīng)用功

能關(guān)系

21111

有ju(mg+qE)—L=—mv1——(m+M)v2.

3

聯(lián)立解得電場強(qiáng)度為E二等。

5q

【高清課堂：帶電體在電場中的運(yùn)動2例6]

例5、真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)電場。在電場中,若

將一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的小球由靜止釋放,運(yùn)動中小球的速度與豎直方向夾

角為37。(取sin370=0.6,

cos37°=0.8X現(xiàn)將該小球從電場中某點(diǎn)以初速度端豎直向上拋出。求運(yùn)動過程

中

(1)小球受到的電場力的大小和方向；

(2)小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的電勢能變化量；

(3)小球的最小動量的大小和方向。

【思路點(diǎn)撥】作出受力圖，根據(jù)小球做直線運(yùn)動的特點(diǎn)求出電場力；根據(jù)動能定

理北山由以土.為功,再判斷電勢能變化量。

—~—V〃爾，方向水平向右；(2)電勢能減少了總“詒;(3)最小

云一日已----,與水平方向成37度夾角。

喀.5

7

【解析】(1)根據(jù)題意作圖如圖，電場力尸=mgtan37=~mg

4

電場力方向與場強(qiáng)方向相同，水平向右。

(2)要求電勢能的變化量，根據(jù)功能關(guān)系，就是求電場力做了多少功。做正功，

電勢能減少；做負(fù)功，電勢能增加。

以初速度%豎直向上拋出，由匕=%-/，上升時(shí)間=為

k2g

水平方向受電場力，水平方向的加速度%.=藝

m4

水平方向的位移x=》

24？

電場力做功W=qEx=1mg=mvo

根據(jù)功能關(guān)系，電場力做正功，電勢能減少，故電勢能減少了看，〃片。

(3)求小球的最小動量，顯然就是求最小速度，設(shè)，時(shí)刻小球的速度為-,

豎直方向：/=%-gf

水平方向：也="=；gf

2

小球的速度v=+*=/-2v()gt+Vo

2

77^V-2V()^+(VJ-V)=0,當(dāng)/=?為?時(shí)，有最小速度

IA25g

大小為%in=,%

、3

大小為〃min=〃?％in=g〃/。

:當(dāng)速度方向與合力方向垂直時(shí),速度最小，采用分解速度的方

方向與水平方向成37度夾角，婦圖。

mg

【總結(jié)升華】求電勢能的變化量，根據(jù)功能關(guān)系，就是求電場力做了多少功。做

正功，電勢能減少；做負(fù)功，電勢能增加。此外，求最小速度也是本題的一個(gè)難

點(diǎn)，一是明確最小速度的條件，二是根據(jù)一元二次方程求最大值、最小值的方法

求解。

舉一反三

【變式1］質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球從距地面高為h處以一定的初速度水

平拋出.在距拋出點(diǎn)水平距離為I處，有一根管口比小球直徑略大的上下都開口

的豎直細(xì)管，管的上口距地面1h