高中數(shù)學(xué)常用公式

一.代數(shù)

1.集合，函數(shù)

A口B,BA-B

AC\B=[x\xeA,且無￡研

AU5={RXEA或無￡現(xiàn)

Av-[x\xeU,且xeA}

card(A\JB)=card{A}+card(B)-card(AC\B)

m__

an=Via^-(a>0,m,neN,且〃〉1)

m

n11

am[a>0,m,nGN,且〃〉1)

an

/嗚N=N,log0N=l°g〃N

log〃a

log“(MN)=log“M+log“N

log“l(fā)og.M-logflN

n

log。M=nlogaM(neR)

fM

基本型：a=b/(x)=logflb(a>0,awl,Z?>0)

b

loga/(x)=bof(x)=a(a>0,awl)

同底型：af(x)=a8(x)f(x)=g(x)(a>0,awl)

logGf(x)=logflg(x)o/(x)=g(%)>0(a>0,aw1)

x

換元型：f(a)=0^f(\ogax)=0

2.數(shù)列

(1)等差數(shù)列

aa

n+i-n=d

an-ax+(n-l)d

a,A,/?成等差n2A=a+b

m+n=k+lnc1inlll+(1r1l-aK,+la,

o(%+6,)/1(...

Sn=------...-=nax+—n\n-l)d

(2)等比數(shù)列

n-l

%=〃聞

a,G,6成等比=G2=ab

m+n=k+lnciman-akat

a^-qn

-------^(#i)

S,,i-q

叫(q=1)

(3)求和公式

n

?=n{n+1)

k=\2

nn(n+1)(2〃+1)

k=\6

n2

次

k=l

3.不等式

a>b<a

a>b,b>c=a>c

a>b^>a+c>b+c

a+b>cna>c-b

a>b,c>d=a+c>b+d

a>b,c>Qac>be

a>b,c<0^ac<be

a>b>0,c>d>Q=>ac<bd

a>b>0=>dn>bn(nEZ,n>1)

a〉b〉0n\Ta>\lb(nGZ,n>1)

(a-Z?)2>0

a,bER=a?+/2lab

a,

2

a,b,cER+a3+Z?3+c3>3abc

+a+b-\-c3/~r~

a,b,ceR=>---------->7abe

3

\a\-\b\<\a±b\<\a\+\b\

4.復(fù)數(shù)

a+bi=c+dioa=c9b-d

\a+bi\=yla2+/72

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+0+d)i

(a+bi)—(c+di)=(a-c)+(Z?-d)i

(a+bi\c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

a+biac+bdbe-ad.

-------=-----------1----------1

c+dic2+d2c2+b2

(a+好=an+Ci"7?)+…+C：(bi)"

a+bi=r(cos3+zsin0)

Mcos%+，sind)G(cos62+zsin%)

=q,q[cos0+%)+，sin(6i+%)]

[r(cos6+sin。)]"

“/八八、a(cos&+isin0.)

=r(cos〃6+ism〃夕)一；--------------(

弓(cos%+zsin^2)

=—[cos(%—2)+，sin(6]—02)1

丫2一一

2k兀+0..2k兀+0

①k-----------bisin----------

nn

左二0,1,,n—1

lZlZ21=*七|

4:

=N

Z2z

l2|

Iz"|=Iin

z

±zz

hl-|z2hki2|^lil+k(2

|z|2二|z|2=zz

Z1±Z2=Zi±z2

Z1，Z2~Z1,Z2

①

Z2

5.排列組合與二項(xiàng)式定理

A：=n(n—l)(n-2)-,*(n-m+1)

n\

A：

(n-m)!

A：〃(〃一1)…(〃—zn+1)

C：

mlml

n\

C：

m\(n—m)\

Mlc：+c;-1

C機(jī)_^jn—m

nrnrr

(〃+3"=C^a+C；晨%+-+Cna-b+-+C?〃

酊二C"一"

二.三角函數(shù)

1.同角關(guān)系

sm.2a+cos2a-\1

I+tan2a-sec2a

l+cot2a-esc2a

.1sina

smacsca=I,tana=------

COS6Z

icos。

cosasec。=1,cot。=------

sina

tanacota=1

2.誘導(dǎo)公式

sin(Z-360°+a)=sina

cos(Z?3600+a)=cosa

tan(^-360°+a)=tana

cos(-a)=cosa

sin(-a)=-sina

tan(-a)=-tana

sin(180°±cif)==psina

COS(180°±6Z)=-cosa

tan(180°±cif)=±tana

sin(360。-a)=-sina

COS(360°-6Z)=cosa

tan(3600-a)=-tana

sin(90°±dz)=cosa

COS(90O±6Z)=干sina

tan(90°±dz)==pcota

sin(270°±dZ)=-cosa

cos(270。土a)=±sina

tan(270°±dz)==pcota

3.和差公式

sin(cr±/?)=sinacos0±cosasinD

cos(tz±/?)=cosacos不sinasinB

,c、tana±tan￡

tan(zcr±0)=--------------—

1+tan6Ztan0

4.倍角公式

sin2。=2sinacos。

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

八2tana

tan2a=------------

1-tana

5.半角公式

siny=±.

01-cos^sin。

tan—=----------=----------

2sin夕1+cos0

6.萬能公式

Car2a

2tan—I-tan—

sina=-----c-o-s-a---=-----------

I1+tan2—a1+tan—

22

Ca

2tan—

tana-------------

,2a

1-tan2—

2

asina+bcosa=da2+b2sin(a+0)

7.正弦定理：

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即：=―竺=」一

sinAsinBsinC

8.余弦定理：

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩

倍，即：

a2=b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-labcosC

三.向量運(yùn)算

1.向量的加法

〃+0=0+a

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

2.向量減法

一(-a)=a

a+(一〃)—(一〃)+a=0

a—b=a+(—Z?)

3.實(shí)數(shù)與向量的積：以下公式；I、"為實(shí)數(shù)，。、匕為向量

|?kz|=14M

A(ua)=(2u)a

(2+u)a=Aa+ua

A(a+b)=Aa+Ab

線段的定比分點(diǎn)：設(shè)々產(chǎn)=率，《、P、舄的坐標(biāo)分別為(%，%),(x,y),

(馬，%)，則有：

x,+AX

X=-----9

1+2

、..X+儀

y-----------

1+2

向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

數(shù)量積(內(nèi)積)：。力=|〃帆cos。

向量b在a方向的投影為例cos。

設(shè)a、b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，。是a與e的夾角，貝U

(1)e-a=a-e=|^|cos0

(2)a_LZ?oa?Z?=0

(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a-b=\a\[b\；

當(dāng)a與b反向時(shí),a-b=-同步|;

a-a—a2=|tz|2

\a\=?〃

(4)cosd=

同Ml

(5)\a-b\<|?||/?|

數(shù)量積運(yùn)算律：(a,b,c為向量，4為實(shí)數(shù))

a-b=b-a(交換律)

(九2)?b-4(a?b)=a?(2b)

(a+b)-c=a-c+b-c

四.解析幾何

1.直線方程

y-%=左（元一%1）

y=kx+b

y一%二

丁2一元2一元1

ab

Ax+By+C=Q

2.兩點(diǎn)距離、定比分點(diǎn)

\AB\=\XB-XA\

山舄I=J（》2-占）2+（y2f）2

x+

x=-}-----

1+2

、…%+為2

y--------

1+A

x,+x

x=-----9

2

2

3.兩直線關(guān)系

7//7A]_G

I]〃/?<^>———w—

A252C2

或匕=&且4—82

人與，2重合=血=旦=6

&B2C2

或匕=&且々=》2

4與，2相交0ALW旦

12

A252

或女1W女2

I】J_4AA?+B]B?—0

或左比2-T

/1到6的角

k—k

tan-----(1+kkw0)

1Ili]2x2

到6的夾角

k?—k[

tan。(1+左/2W°)

1+左]左2

點(diǎn)到直線的距離

d：|Ax()+^()+C|

，_VA2+52

4.圓錐曲線

(1)圓

(x-tz)2+(y-Z?)2=R?

圓心為(a,人)，半徑為R

(2)橢圓

22

-y+=1(Q〉/?〉0)

ab

焦點(diǎn)與(-c,0),F2(C,0)

(b2=a2-c2)

離心率e=￡

a

2

準(zhǔn)線方程入=土?

焦半徑=〃+e%0,=a-exQ

(3)雙曲線：

二一亡=1

/b2"

(4)拋物線

拋物線F=2px(p〉0)

焦點(diǎn)R(三，0)

準(zhǔn)線方程x=-3

2

五.立體幾何

1.空間兩直線平行判定

(1)aIIb,bIIallc

alia

(3)auB>=>alib

a^\/3=b

aIIp

(4)/Pl6z=a>=>a//b

=b

2.空間兩直線垂直判定

a-La

(1)卜=〃_Lb

bua

aIIb

(2)>=11b

IA.a

3.直線與平面平行

(1)判定

d

bua\=alla

aIlb

al10}

\=a110

〃uaj

(2)性質(zhì)

aI/P

auab=>〃//》

a^\/3=b

4.直線與平面垂直

(1)判定

mua,nua,mC\n-B

>=>11.a

LLm,ll.n

a!lb

=>bVa

a±aJ

(2)性質(zhì)

a.La

>=>〃///7

bLa

5.平面與平面平行

(1)判定

a,bu/3

<1>a/la.bIla>=a11。

aC\b=A

<2>=a〃0

ally

=>o///?

尸/“

(2)性質(zhì)

a//j3

<1>y[\a-a>=aIlb

yP\0=b

〃u。na110

6.平面與平面垂直

(1)判定

〃u

<1>=>a邛

a.Lj3

<2>二面角的平面角0=90°

(2)性質(zhì)

al/3,aV\/3=b

<1>>=>a^/3

aa,aA-b

A^a9Aea

<2>a，/3>=aua

aI/3

7.幾何體的側(cè)面積

S正棱柱側(cè)=Ch

s正棱錐側(cè)=]C"

S圓柱側(cè)=2兀Rh

s圓錐側(cè)=兀Ri

S球=4冰之

8.幾何體的體積

腺梭料枉=Sh

V段捺錐錐=—3Sh

2

V國(guó)同柱料=7iRh

1

V圓錐=~^R9h

43

V球=3做3

六.概率與統(tǒng)計(jì)

1.概率性質(zhì)

(1)Pi>0,i=1,2,........；

(2)Pi+p2+......=1

2.二次分布

Eq…=b(k；n,p)

3.期望

EJ=&Pi+x2p2+...+xnpn+........

E(aJ+b)=aEJ+b

若自?B(n,p),則=

4.方差

=-四)2.P]+(%-&)2-P2+.....+(%-&)2-pn+-???

5.正態(tài)分布

](X-M)2

y(X)=——e2b2,xG(-00,+oo)

J27rb

式中的實(shí)數(shù)小。(。>0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。

正態(tài)分布常記作N(”,(T2)

1工

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，當(dāng)(7=1,沅=0時(shí)，/(x)=—j=e2,%￡(-00,+

J27r'

七.極限

任何一個(gè)常數(shù)數(shù)列的極限都是這個(gè)常數(shù)本身o

即lime=c(c是常數(shù))

"foo

lim/(x)=〃olimf(x)=lim/(%)=a

x—>XQx—>XQxj

極限四則運(yùn)算

如果lim/(%)=〃，limg(x)=b,那么

x—>x0x—>x0

\im[f(x)±g(x)]=a+b

lim[/(x)-g(x)]=a-b

「/(x)a..八、

lim------=—(Z?w0)

%.與g(x)b

如果lima”=a,-b,那么

n—>oon—>co

lim(a“+bn)=a+b

lim(a?-bn)=a-b

八foo

lim^=3(0w0