湖南師大附中屆高考適應(yīng)性演練（一）數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)．滿分分，考試時(shí)間分鐘．注意事項(xiàng)：．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)等填寫在答題卡上．．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．．考試結(jié)束后，考生將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法表示集合，再利用補(bǔ)集的定義求解.【詳解】集合，而，所以.故選：C2.若（，的值分別等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求值即可.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，可得.故選：A.第1頁(yè)/共22頁(yè)3.已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，則（）A.B.C.512D.1024【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用等比數(shù)列基本量運(yùn)算求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，所以，又，解得，設(shè)的公比為q，則，解得，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以．故選：A4.已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則（）A.B.4C.D.2【答案】B【解析】【分析】求出圓的圓心及半徑，再利用圓的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】圓：的圓心，半徑，點(diǎn)到直線：的距離，直線與圓相交，則.故選：B5.如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則正方體被平面所截得的截面周長(zhǎng)是（）第2頁(yè)/共22頁(yè)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出截面并求出其面積.【詳解】在正方體中，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)，得，則四邊形為平行四邊形，，由是的中點(diǎn)，得，梯形是正方體被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周長(zhǎng)是.故選：B6.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，曲線CP是雙曲線E與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)，且三點(diǎn)共線，直線的斜率，則雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為第3頁(yè)/共22頁(yè)（）A.B.C.D.【答案】D【解析】三點(diǎn)共線求得的值，此時(shí)直線，橢圓的方程可求，則點(diǎn)坐標(biāo)可求，最后利用雙曲線的定義求實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】橢圓的短軸長(zhǎng)為4，則，設(shè)，，則因三點(diǎn)共線，則，則，因，則，則直線，聯(lián)立橢圓，解得，則點(diǎn)則實(shí)軸長(zhǎng)為，故選：D.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第4頁(yè)/共22頁(yè)【分析】構(gòu)造函數(shù)，目標(biāo)即可轉(zhuǎn)化為解不等式，再結(jié)合可得在上單調(diào)遞減的性質(zhì)即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，因，所以不等式可變?yōu)?，即，所以，即，所以不等式的解集?故選：D.8.在數(shù)列中，，，項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法中不正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用遞推關(guān)系式構(gòu)造出等差數(shù)列，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和，根據(jù)所求可對(duì)各選項(xiàng)做出判斷.【詳解】由題意，，等式兩邊同時(shí)除以，可得.設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.則，.故A正確；所以，，第5頁(yè)/共22頁(yè)則，兩式相減可得，所以.故B正確；對(duì)于C，.故C正確；對(duì)于D，，，則.故D錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.在上的值域?yàn)镈.兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為【答案】AD【解析】【分析】由的值求出的值可判斷A；通過(guò)函數(shù)的平移原則可判斷B；直接根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；令解出可判斷D.第6頁(yè)/共22頁(yè)【詳解】因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，A正確．，B不正確．由，得，則，C不正確．由，得，則，即，所以兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值為，D正確．故選：AD.10.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和是，且.下列說(shuō)法正確的是（）A.B.若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是C.存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D.，使得當(dāng)時(shí)，總有【答案】ABD【解析】A項(xiàng)即可判斷B，C，再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算判斷D.【詳解】由得，相減可得，，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，對(duì)于A，，，故正確；對(duì)于B，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，第7頁(yè)/共22頁(yè)若，則需要，則，故正確，對(duì)于C，，若為等比數(shù)列，則為常數(shù)，則，此時(shí)，故，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，只要足夠大，一定會(huì)有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時(shí)，總有，故正確，故選：ABD.次，若投中次數(shù)不低于投籃次數(shù)的，則通過(guò)考核.學(xué)生甲準(zhǔn)備參加該社團(tuán)，且他的投籃命中率為0.9，每次是否投中相互獨(dú)立.若，記甲通過(guò)考核的概率為，若，記甲通過(guò)考核的概率為，若，記甲通過(guò)考核的概率為，若，記甲通過(guò)考核的概率為，若，記甲通過(guò)考核的概率為，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由題意確定甲的投中次數(shù)為，滿足.進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】記甲的投中次數(shù)為，則.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，甲通過(guò)考核最少要投中2次，0.972，A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，將甲的投中次數(shù)分為以下3種情況，分別為..第8頁(yè)/共22頁(yè)當(dāng)時(shí)，甲通過(guò)考核最少要投中次.若前20次里投中次數(shù)不少于，則第21次不管投中與否都通過(guò)考核；若前20次投中10次，則第21次投中才能通過(guò)考核；若前20次里投中次數(shù)不超過(guò)9，則第21次不管投中與否都不能通過(guò)考核.，顯然，B錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，將甲的投中次數(shù)分為以下3種情況，分別為..當(dāng)時(shí)，若前19次里投中次數(shù)不少于10，則第20次不管投中與否都通過(guò)考核；若前19次投中92019次里投中次數(shù)不超過(guò)820次不管投中與否都不能通過(guò)考核.，顯然，C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，將甲的投中次數(shù)分為以下4種情況，分別為..當(dāng)時(shí)，甲通過(guò)考核最少要投中次.若前20次里投中次數(shù)不少于，則第21，22次不管投中與否都通過(guò)考核；若前20次投中10次，則第次至少要投中1次才能通過(guò)考核；若前20次投中9次，則第21，22次都投中才能通過(guò)考核；若前20次里投中次數(shù)不超過(guò)8，則第21，22次不管投中與否都不能通過(guò)考核.，.，所以，D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．第9頁(yè)/共22頁(yè)12.函數(shù)的極值點(diǎn)為________.【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后在定義域內(nèi)分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和不同區(qū)間上的正負(fù)，確定極值點(diǎn).【詳解】確定定義域：由于包含函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得：在內(nèi),單調(diào)遞減；在內(nèi),單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點(diǎn)，沒(méi)有其它極值點(diǎn).故答案：.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】由得到，由兩角和差余弦公式展開化簡(jiǎn)即可求解；【詳解】由，得：，，，所以，故答案為：第10頁(yè)/共22頁(yè)14.若正整數(shù)m，n的公約數(shù)只有1，則稱m，n互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的定義求得和，進(jìn)而是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可求解.【詳解】小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是2的倍數(shù)，即，共個(gè)，所以與互質(zhì)的數(shù)有個(gè)，即；小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是3倍數(shù)，即，共個(gè)，所以與互質(zhì)的數(shù)有個(gè)，即；所以，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.折紙是一項(xiàng)玩法多樣的活動(dòng).通過(guò)折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動(dòng)物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術(shù)形式，還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).在紙片中，，，所對(duì)的邊分別為，第11頁(yè)/共22頁(yè)，，的面積為，.（1）證明：；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若，是的中點(diǎn)，現(xiàn)需要對(duì)紙片做一次折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求折疊后紙片重疊部分的面積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】1）利用正弦定理和面積公式即可證明；（2）利用面積代換，再結(jié)合三角恒等變形，即可求解；（3）設(shè)對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，再利用余弦定理得到邊角關(guān)系，然后利用方程組思想來(lái)求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：由正弦定理可得，則，又因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】將代入，得即，所以，即，解得：，第12頁(yè)/共22頁(yè)又因?yàn)?，所以；【小?wèn)3詳解】由余弦定理得，則，即，所以解得則；設(shè)折痕為線段，其中在上，在上，設(shè)，，則，，，在中，由余弦定理得，解得在中，由余弦定理得，解得重疊部分的面積為的面積，.因?yàn)樗?所以16.某綠色水果生態(tài)園在某種水果收獲的.隨機(jī)摘下該水果100個(gè)作為樣本，其質(zhì)量分別在，第13頁(yè)/共22頁(yè)，，，，布直方圖如圖所示：（1）求圖中a的值；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從質(zhì)量為，的水果中隨機(jī)抽取66個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求這3個(gè)水果中恰有1個(gè)質(zhì)量在內(nèi)的概率；（3）某經(jīng)銷商來(lái)收購(gòu)水果時(shí)，該生態(tài)園有水果約10000個(gè)要出售.經(jīng)銷商提出如下兩種收購(gòu)方案：方案A：所有水果以10元/千克收購(gòu)；方案B250克的水果以2元/250克的以3元/個(gè)收購(gòu).假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，請(qǐng)估算該生態(tài)園選擇哪種方案獲利更多？【答案】（1）（2）（3）該生態(tài)園選擇方案獲利更多【解析】1）由頻率分布直方圖面積為1，即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)求出質(zhì)量在和內(nèi)的分別有4個(gè)和2個(gè)，然后列舉法結(jié)合古典概型概率公式求解即可；（3）算出兩種方案的利潤(rùn)，比較大小即可判斷.【小問(wèn)1詳解】由解得：【小問(wèn)2詳解】第14頁(yè)/共22頁(yè)根據(jù)分層抽樣，抽取的6個(gè)水果中，質(zhì)量在和內(nèi)的分別有4個(gè)和2個(gè)．設(shè)質(zhì)量在內(nèi)的4個(gè)水果分別為A，B，C，D，質(zhì)量在內(nèi)2個(gè)水果分別為，其樣本空間可記為，共包含20個(gè)樣本點(diǎn)．記E：其中恰有一個(gè)在內(nèi)，則，則E包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為12，所以；【小問(wèn)3詳解】方案：收益元；方案：低于250克獲利元，不低于250克獲利元，總計(jì)元．因?yàn)椋栽撋鷳B(tài)園選擇方案獲利更多.17.如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=.（1）證明:PB⊥AC;第15頁(yè)/共22頁(yè)（2）若側(cè)面PAB是等邊三角形，點(diǎn)D滿足=λ（0<λ<1B，D兩點(diǎn)作平面α，滿足直線AC∥α，設(shè)平面α與PC交于點(diǎn)E，直線PC與平面α所成的角為，求λ的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）λ=【解析】1得結(jié)論；（2方程求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，，由余弦定理得：，，即，作，垂足為，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；，平面，平面，平面，.【小問(wèn)2詳解】，平面平面，，又，第16頁(yè)/共22頁(yè)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為垂直于平面的直線為角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面，即平面的法向量，則，令，解得：，，，直線與平面所成角為，，解得：，滿足，.18.已知k、，函數(shù)的定義域?yàn)?，直線l的方程為，記集合第17頁(yè)/共22頁(yè)．（1）若，求集合；（2）若，且存在實(shí)數(shù)k、m使得集合中有且只有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3是單元素集合”是“直線l是曲線在點(diǎn)處的切線”的充要條件．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）由已知求得，解不等式即可求解；（2）的解集為，進(jìn)而得方程有重根及，據(jù)此求解即可．（3）記，必要性，則有，由題意可得的單調(diào)性，可得結(jié)論；充分性，時(shí)，結(jié)合已知可得函數(shù)在處取得極大值，進(jìn)而可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，由，得，解得，所以．【小?wèn)2詳解】存在實(shí)數(shù)k，m使得集合，則的解集為，即的解集為，所以方程有重根及．第18頁(yè)/共22頁(yè)因此恒成立，故有，則是二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是．【小問(wèn)3詳解】記，則，在上嚴(yán)格遞減，①若直線l是曲線在點(diǎn)處的切線，則有，所以．故時(shí)，，所以函數(shù)在是是s上嚴(yán)格遞減，；時(shí)，，所以函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，；所以的解集為，集合是單元素集合；②若集合是單元素集合，故時(shí)，，而函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，所以．則在的附近其他自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于，故函數(shù)在處取得極大值，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，直線l是曲線在點(diǎn)處的切線．是單元素集合”是“直線l是曲線在點(diǎn)處的切線”的充要條件．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，關(guān)鍵在于得到方程有兩個(gè)二重根，進(jìn)而得到恒成立，從而可求解.19.已知雙曲線，左、右頂點(diǎn)分