1．（2023?北碚區(qū)校級開學）如圖，在中，，，，，點在上且，動點從點出發(fā)，沿運動，到達點時停止．設點運動路程為，的面積為．（1）求關于的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（2）在坐標系中畫出的函數(shù)圖象；（3）觀察函數(shù)圖象，請寫出一條該函數(shù)的性質當時，隨的增大而增大；；（4）在坐標系中畫出的函數(shù)圖象，并結合圖象直接寫出時的取值范圍．【解答】解：（1）動點從點出發(fā)，沿運動，當點在邊上時，如圖所示：作，垂足為點，，，，，；當點在邊上時，如圖所示：作，垂足為點，，，，，，，，，，，，；綜上，，故答案是．（2）由（1）得，，在平面直角坐標系中描出相應的點，畫出的函數(shù)圖象，故答案如圖所示：（3）由圖可得，當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。还蚀鸢笧椋寒敃r，隨的增大而增大．（4）在平面直角坐標系中描點畫出的函數(shù)圖象，如圖所示：當時，令，解得，當時，令，解得或（不符合題意舍），時，，故答案是．2．（2022秋?細河區(qū)期末）如圖，矩形放置在平面直角坐標系上，點，分別在軸，軸的正半軸上，點的坐標是，其中，反比例函數(shù)的圖象交交于點．（1）（用的代數(shù)式表示）；（2）設點為該反比例函數(shù)圖象上的動點，且它的橫坐標恰好等于，連接、．①若的面積比矩形面積多4，求的值；②現(xiàn)將點繞點逆時針旋轉得到點，若點恰好落在軸上，求的值．【解答】解：（1）當時，，點的坐標為，．故答案為：；（2）①設，過點作于點，則．，．．解得（舍，，．②過點作軸于點．，，，且，．，即．解得，（舍．．3．（2023?大武口區(qū)模擬）如圖，直線的圖象與軸，軸分別交于點，，點與點關于原點對稱，反比例函數(shù)的圖象經過平行四邊形的頂點．（1）求證：．（2）求反比例函數(shù)的解析式．（3）動點從點到點，動點從點到點，都以每秒1個單位的速度運動，設運動時間為秒，當為何值時，四邊形的面積最?。看藭r四邊形的面積是多少？【解答】（1）證明：令，則，，令，則，，點，關于原點對稱，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，；（2）解：反比例函數(shù)的圖象經過點，；反比例函數(shù)的解析式為：；（3）解：根據(jù)點，的運動可知，，，如圖，過點作于點，，，，，，即，，，，當時，四邊形的面積的最小值為．4．（2023?興慶區(qū)模擬）已知在平面直角坐標系中有矩形，滿足，；（1）如圖1，若反比例函數(shù)的圖象經過矩形邊，且與邊交于點，求點的坐標；（2）如圖2，若將矩形沿線段翻折，使得點與點重合，此時點，同時在另一個反比例函數(shù)的圖象上，試求出此時矩形的邊的長度；（3）連接，試計算的度數(shù)．【解答】解：（1）矩形，，，的橫坐標為2，把代入得，，點的坐標為；（2）連接，設反比例函數(shù)為，，，，，，，由題意可知，，由勾股定理得：，，，，，整理得，，，，或（舍去），；（3）連接，矩形沿線段翻折，使得點與點重合，，，，，在中，，，．5．（2023春?鎮(zhèn)平縣期末）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＜0）的圖象交于第二象限內的點A（﹣4，2）和B（﹣2，m），與x軸交于點C．（1）分別求出這兩個函數(shù)的表達式．（2）不等式k1x+b≤的解集是x≤﹣4或﹣2≤x＜0．（3）在坐標平面內是否存在點P，使得由點O，B，C，P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＜0）的圖象交于第二象限內的點A（﹣4，2）和B（﹣2，m），∴，∴，∴一次函數(shù)y1＝x+6，反比例函數(shù)y2＝；（2）由圖象可得：當x≤﹣4或﹣2≤x＜0時，k1x+b≤，故答案為：x≤﹣4或﹣2≤x＜0；（3）∵一次函數(shù)y1＝x+6與x軸交于點C，∴點C（﹣6，0），設點P（x，y），∵點O（0，0），點B（﹣2，4），點C（﹣6，0），∴當OB為對角線時，0+（﹣2）＝（﹣6）+x，0+4＝0+y，∴x＝4，y＝4，∴點P（4，4）；當BC為對角線時，﹣2﹣6＝0+x，4+0＝0+y，∴x＝﹣8，y＝4，∴點P（﹣8，4）；當CO為對角線時，﹣6+0＝﹣2+x，0+0＝4+y，∴x＝﹣4，y＝﹣4，∴點P（﹣4，﹣4）；綜上所述：點P（4，4）或（﹣8，4）或（﹣4，﹣4）．6．（2023春?儀征市期末）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，連接，如圖1，將繞著點順時針旋轉至點，點正好落在軸上．（1）求的值和點的坐標；（2）若點在反比例函數(shù)圖象上，連接并延長至點，使得，連接，，①如圖2，連接并延長交軸于點，當軸時，試說明平分；②如圖3，連接交于點，將沿著翻折，記點的對應點為，若點恰好落在線段上，求△與△面積之比．【解答】（1）解：如圖1，過點作軸于點，則，將繞著點順時針旋轉至點，，，，，△，，，，，，，，，，，，，，；（2）①證明：如圖2，過點作軸于點，過點作于點，則，，軸，，，，連接并延長至點，使得，，，四邊形是矩形，，，同理可得，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，平分；②解：將沿著翻折，點的對應點為恰好落在線段上，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，設直線的解析式為，將，代入，得，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立得，解得：（舍去），，，，，，，，．7．（2023春?漳州期末）如圖1，直線與軸正半軸交于點，與軸交于點，已知：，點在平面直角坐標系中．（1）求直線的解析式；（2）若最大，求點坐標；（3）如圖2，在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）直線與軸交于點，，，，代入得，直線的解析式為：；（2）過點作關于直線的對稱點，作直線，交直線與點，如圖1，由對稱性可知，，在直線上任意取一點，若點是直線上異于的點，則，這時，的值最大，點是點關于直線的對稱點，，，設直線的解析式為：，把，代入得：，解得：，直線的解析式為：，把代入得：，；（3）存在，設，又，，，當、為對角線時，則、的中點重合，，解得：，；當、為對角線時，則、的中點重合，，解得：，；當、為對角線時，則、的中點重合，，解得：，；綜上所述，存在，點的坐標為或或．8．（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，點，點，直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限相交于點，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖2，點是反比例函數(shù)圖象上一點，連接，，試問在軸上是否存在一點，使的面積與的面積相等，若存在，請求點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的條件下，坐標原點關于點的對稱點為，且點在軸的正半軸上，若點是反比例函數(shù)的第一象限圖象上一個動點，連接，以為邊做正方形，當頂點恰好落在直線上時，求點的坐標．【解答】解：（1）設直線的解析式為，把點，點分別代入上式可得：，解得：，，把代入中，，解得：，，把代入可得：，解得：，反比例函數(shù)解析式為；（2）在反比例函數(shù)圖象上，，，的面積與且的面積相等，當點在軸的正半軸上時，設過點與直線平行的直線解析式為，，解得，，；當點在軸的負半軸上時，點關于點的對稱點為，此時的面積與且的面積相等，；綜上所述：點坐標為或；（3）由題意得：，設，，①當點左側時，過點作軸，過點作交于點，過點作交于點，則，，四邊形為正方形，，，，，，，，，，，，，，解得，，；②點在右側時，過點作軸，交軸于點，過點作交于點，，同理可得：，，，，，，，代入可得：，解得：，，綜上所述：點坐標為：或．9．（2023?宿遷）規(guī)定：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點，則稱這兩個函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點稱為“兄弟點”．（1）下列三個函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②（填寫序號）；（2）若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標．①求實數(shù)的值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標是、；（3）若函數(shù)為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標分別為、、，且，求的取值范圍．【解答】解：（1）如圖：由圖可知，與二次函數(shù)有3個交點的是，與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②，故答案為：②；（2）①把代入得，把，代入函數(shù)得，；②，，，，，，，或．故答案為：，．（3）滿足方程，即，，滿足方程，即，是方程的兩個根，△，即，，．10．（2023春?安溪縣期末）如圖1，直線分別與軸、軸交于點，，直線分別與軸、軸交于點，，，的交點在第一象限，且，．（1）求，滿足的關系式；（2）若四邊形的面積為22．①點，分別在軸、直線上，當以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；②如圖2，正方形中，頂點在軸的正半軸上，同時正方形的兩個頂點，在反比例函數(shù)的圖象上，另兩個頂點，分別在軸、軸的正半軸上．當?shù)闹蹈淖儠r，正方形的大小也隨之改變，若變化的正方形與正方形有重疊部分時，直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）直線與軸、軸交于點、，直線與軸交于點，，，，，，，，，，；（2）①直線分別與軸交于點，，，，，的交點在第一象限，，解得：，四邊形的面積為22，，，即，化簡得：，又，，，，直線的解析式為，直線的解析式為，，，點，分別在軸、直線上，設，，當、為對角線時，則、的中點重合，，解得：，；當、為對角線時，則、的中點重合，，解得：，；當、為對角線時，則、的中點重合，，解得：，；綜上所述，點的坐標為或或；②設，，則，，，，，過點作軸于點，過點作軸于點，與交于點，如圖，則，，四邊形是正方形，，，，，△△△△，，，，解得：，，△為等腰直角三角形，，，，，，，，，直線、的解析式分別為和，當在邊上時，如圖，把代入，得：，解得：，，，；當與直線重合時，如圖，把代入，得：，，；當正方形與正方形有重疊部分時，．11．（2023?唐河縣模擬）如圖，矩形的頂點，分別在函數(shù)和的圖象上，且．（1）求，的值；（2）若點，分別在和的圖象上，且不與點，重合，是否存在點，，使得，若存在，請直接寫出點，的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將點的坐標代入得：；過點作軸于點，過點作軸于點，四邊形為矩形，則，，．．，．，則和的相似比為：，則，，故點．將點的坐標代入，得：．（2）、．理由如下：由（1）知，兩個反比例函數(shù)的表達式分別為：、，假設存在點，符合題設條件，設點，點，過點作軸于點，過點作軸于點，如圖：由（1）知，．所以，，解得：或（舍去）；，．即且，解得：或1或（舍去）或（舍去），點不與點重合，不合題意舍去，，，即；，，，即，；綜上所述，存在符合題設要求的點，，它們的坐標分別為、．12．（2023?虎林市校級三模）如圖1，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、分別在軸負半軸、軸正半軸上，、的長分別是方程的兩個根，且．（1）求點的坐標；（2）如圖2，過點且垂直于的直線交軸于點，在直線上截取，過點作軸于點，求經過點的反比例函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，在軸上是否存在一點，使以，，為頂點的三角形與相似？若存在，寫出點的個數(shù)及其中兩個點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）方程的兩個根為：，．，，．．（2）過點作交延長線于點，，，，，在和中，，，，，，四邊形為矩形，，，，設過點的反比例函數(shù)解析式為，，．（3）存在，，，，，理由如下：當時，，，，，根據(jù)解析（2）可知，點的坐標為，此時點的坐標為或；當時，，，，，此時點的坐標為：或；綜上分析可知，有四個點，坐標分別為，，，．13．（2022?成都自主招生）如圖，在平面直角坐標系中，直線經過點，與軸正半軸交于點，與反比例函數(shù)交于點，且，軸交反比例函數(shù)于點．（1）求、的值；（2）如圖1，若點為線段上一點，設的橫坐標為，過點作，交反比例函數(shù)于點．若，求的值．（3）如圖2，在（2）的條件下，連接并延長，交軸于點，連接，在直線上方是否存在點，使得與相似（不含全等）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）作軸于，如圖，，，直線經過點，，解得，直線解析式為：，，，，，點坐標為，將點坐標代入，得．（2）軸，點的縱坐標為3，代入，得，點坐標為，將點橫坐標代入，得，，點縱坐標為，代入，得，點坐標為，，，，解方程得或（舍，．（3）存在，理由如下：如圖2，過點作軸于點，由（2）知，，直線的解析式為：，，，，，．，．Ⅰ、當時，如圖2所示，設與交于點，由（2）知，軸，，，，設，則，在中，由勾股定理可得，，解得；；，，直線的解析式為：；①若，則，不符合題意，舍去；②若，，即，解得，設，，解得，負值舍去，；Ⅱ、當時，①若，如圖4，，，，即點在上，，，，，直線的解析式為：；②若，，即，解得，設，，解得，負值舍去，，；Ⅲ、當時，，直線的解析式為：；①若，則，不符合題意，舍去；②若，如圖5，，即，解得，設，，解得，正值舍去，，；綜上，符合題意的點的坐標為：或或，或，．14．（2022秋?市中區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，、是矩形的兩個頂點，點是線段上的一個動點（不與、重合），雙曲線經過點，與矩形的邊相交于點．（1）如圖①，當點為中點時，的值為24，點的坐標為．（2）如圖②，當點在線段上的任意位置時（不與、重合），連接、，求證：．（3）是否存在反比例函數(shù)上不同于點的一點，滿足：為直角三角形，，且，若存在，請直接寫出滿足以上條件時點的橫坐標，若不存在，請說明理由．【解答】（1）解：、是矩形的兩個頂點，，，，點是的中點，，，，當時，，，故答案為：24，；（2）證明：設點的橫坐標為，點的坐標為，，反比例函數(shù)的解析式為：，點的坐標為，，，，，，即，；（3）解：根據(jù)題意可知，需要分兩種情況：①當點在直線上方時，如圖，過點作軸于點，過點作于點，，，，，，，，，，，，設點的橫坐標為，則，，，，，解得（負值舍去）．即此時點的橫坐標為：．②當點在直線下方時，如圖，過點作軸于點，過點作于點，，，，，，，，，，，，設點的橫坐標為，則，，，，，解得（負值舍去）．即此時點的橫坐標為：．綜上，滿足題意的點的橫坐標為：或．15．（2021?廣東模擬）如圖1，兩個全等的等腰直角三角形按如圖方式放置在平面直角坐標系中，在軸上，已知，，反比例函數(shù)的圖象經過點．（1）求的值；（2）把沿射線移動，當點落在圖象上時，求點經過的路徑長度；（3）如圖2，點與點關于點成中心對稱，連接，把繞點逆時針旋轉得到△，所在直線與軸交于點，所在直線與反比例函數(shù)交于點，試問，是否存在的一個值，使得，若存在，請求出點的坐標及的值，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）和全等，且為等腰直角三角形，，．點的坐標為．代入得．（2）如圖1，設平移后與反比例函數(shù)圖象的交點為，由平移性質可知，過點作軸于點，交于點，設交軸于點．，，．點的坐標為．設橫坐標為，則．．．．在反比例函數(shù)圖象上，圖1，，解得或（舍去）．．，即點經過的路徑長度為．（3）如圖2，存在．理由如下：當，連接．又，，．．點與點關于點成中心對稱，圖2，．．．點的橫坐標為．由（1）知，反比例函數(shù)解析式為，點的縱坐標為．．如圖2，作于點．在中，，，．．．在中，．16．（2023春?泉港區(qū)期末）如圖，點是平面直角坐標系的原點，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，其中，．（1）試求出、的值；（2）已知點為軸正半軸上的動點，過點作軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點，交函數(shù)的圖象于點，過點作軸交的圖象于點．①連結，，，的面積是否隨點的運動變化而變化？請說明理由．②當與互相垂直時，試求出點的坐標．【解答】解：（1）點在函數(shù)的圖象上，，，點在函數(shù)的圖象上，；（2）①的面積隨點的運動變化沒有發(fā)生變化，理由如下：如圖，延長交軸于點，設點，則點，，，軸，點，，點，，，，的面積是一個固定值，不會隨點的運動變化而變化；②點，點，設直線的解析式為：，將代入，解得：，直線的解析式為：；直線是函數(shù)圖象的對稱軸，又，點，關于直線對稱；，，，，，解得或（舍，．17．（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于第一象限內，兩點在右側），分別交軸，軸于，兩點．（1）若點的坐標為，求和的值；（2）在（1）的條件下，是否存在軸上一點，使與相似，若存在，求出點的坐標．若不存在，請說明理由；（3）過點作交軸于點，過點作，交軸于點，連接，，當點的坐標為時恰有，求的面積．【解答】解：（1）一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于點，，，，；（2）由（1）知一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為，解得，，，一次函數(shù)與軸，軸交于，兩點，，，，，設，，，①當時，，，，，；②當時，，，，，，，，解得，，，綜上所述，或，；（3）一次函數(shù)與軸，軸交于，兩點，，，，，，，，，，過點作軸，過點作軸，過點作交的延長線于點，，，，，，，設，則，，，，在反比例函數(shù)上，，解得，，，，．18．（2023春?新吳區(qū)期末）如圖1，已知點，，且、滿足平行四邊形的邊與軸交于點，且為中點，雙曲線經過、兩點．（1），；（2）求反比例函數(shù)表達式：（3）點在雙曲線上，點在軸上，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出滿足要求的所有點的坐標．【解答】解：（1），且，，，解得，故答案為：，；（2）設反比例函數(shù)表達式為，由（1）知，，，，，為中點，，設，又四邊形是平行四邊形，，，，，點在反比例函數(shù)的圖象上，，，反比例函數(shù)表達式為；（3）點在雙曲線上，點在軸上，設，，①當為邊時：如圖1所示：若為平行四邊形，則，解得，此時，；如圖2所示：若為平行四邊形，則，解得，此時，；②如圖3所示：當為對角線時：，且；，解得，，；綜上所述，；；．19．（2023春?洛江區(qū)期末）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與直線將于交于、兩點，直線交軸于點，點是軸正半軸上的一點，（1）求反比例函數(shù)及直線的解析式；（2）若，求點的坐標；（3）若點的坐標為，點為軸上的一點，點為直線上的一點，是否存在點和點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）將代入，得，解得：，反比例函數(shù)的解析式為：；將代入，得，，直線經過、兩點，，解得：，直線的解析式為：；（2）在中，令，得，，點是軸正半軸上的一點，設，，，，，即，解得：；點的坐標為；（3）若點的坐標為，點為軸上的一點，點為直線上的一點，是否存在點和點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．（3）存在．點的坐標為或或．設直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為：；設、，又、，當、為平行四邊形的對角線時，、的中點重合，，解得：，；當、為平行四邊形的對角線時，、的中點重合，解得；當、為平行四邊形的對角線時，、的中點重合，解得．綜上所述，點的坐標為或或．20．（2023春?廣陵區(qū)期末）如圖1，將函數(shù)的圖象向左平移4個單位得到函數(shù)的圖象，與軸交于點．（1）若，求的值；（2）如圖2，為軸正半軸上一點，以為邊，向上作正方形，若、恰好落在上，線段與相交于點．①求正方形的面積；②直接寫出點的坐標．【解答】解：（1）當時，點平移前的點的坐標是；（2）①把點代入中得：，，如圖2，過點作軸于，過點作于，，，四邊形是正方形，，，，，，，當時，，，同理得：，，，，，，正方形的面積；②由①得：，，設的解析式為：，，解得：，的解析式為：，，解得：，點在第一象限，，，．21．（2023?東城區(qū)二模）某校學生參加學農實踐活動時，計劃圍一個面積為4平方米的矩形圍欄．設矩形圍欄周長為米，對于的最小值問題，小明嘗試從“函數(shù)圖象”的角度進行探究，過程如下．請你補全探究過程．（1）建立函數(shù)模型設矩形相鄰兩邊的長分別為，．由矩形的面積為4，得，即；由周長為，得，即．滿足要求的應是兩個函數(shù)圖象在第一象限內交點的坐標；（2）畫出函數(shù)圖象函數(shù)的圖象如圖所示，而函數(shù)的圖象可由直線平移得到．請在同一平面直角坐標系中畫出直線；（3）平移直線，觀察函數(shù)圖象當直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點時，直線與軸交點的縱坐標為；（4）得出結論若圍出面積為4平方米的矩形圍欄，則周長的最小值為米，此時矩形相鄰兩邊的長分別為米、米．【解答】解：（1），，滿足要求的應是兩個函數(shù)圖象在第一象限內交點的坐標．故答案為：一；（2）列表012210描點、連線，畫出函數(shù)圖象，如圖所示．（3）觀察函數(shù)圖象，可知：當直線平移到與函數(shù)的圖象有唯一交點時，直線與軸交點的縱坐標為故答案為：4；（4）由（3）可知：的最小值為4，的最小值為8，此時，此時矩形相鄰兩邊的長分別為2米、2米．故答案為：8，2，2．22．（2023?越秀區(qū)校級三模）如圖，已知矩形，在軸上，在軸上，，．雙曲線與矩形的邊、分別交于點、．（1）若點是的中點，求點的坐標；（2）將沿直線對折，點落在軸上的處，過點作于點．問：與是否相似？若相似，請求出相似比；若不相似，請說明理由．【解答】解：（1）點是的中點，，，點的坐標為，將點的坐標代入，可得，即反比例函數(shù)解析式為：，點的橫坐標為4，點的縱坐標，點的坐標為；（2）由折疊的性質可得：，，，，，，又，，結合圖形可設點坐標為，，點坐標為，則，，，在中，，，即，，．23．（2023春?江陰市期末）解決數(shù)學問題是一個不斷思考，不斷發(fā)現(xiàn)，不斷歸納的過程．如圖，在平面直角坐標系中，點、在反比例函數(shù)的圖象上，連接，，滿足，過點分別作軸、軸的平行線，過點分別作軸、軸的平行線，交點組成四邊形，直線交軸于點，作射線，交于點．（1）①四邊形的形狀是矩形；②點是否在射線上？試說明理由；（2）求證：；（3）若，過點作軸的平行線，在上存在點，使原點關于直線的對稱點恰好在四邊形的對角線所在直線上，請直接寫出滿足條件的點的坐標．【解答】（1）①解：如圖，延長至，過點分別作軸、軸的平行線，過點分別作軸、軸的平行線，四邊形是平行四邊形，，軸，，四邊形是矩形，故答案為：矩形；②解：點在射線上，理由如下：設點，點，點，點，直線的表達式為：，當時，，點在射線上；（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，即；（3）解：如圖，過點作于，延長交于，設直線于交于點，，，，，，，，，，，，，，點，點，，點是中點，點，，原點關于直線的對稱點恰好在四邊形的對角線所在直線上，，點與點重合或點在線段的延長線上，當點與點重合時，點與點關于直線對稱，垂直平分，設與交于點，點，，直線的解析式為，當時，，點，；當點在的延長線上時，點與點關于直線對稱，，同理可求：直線的解析式為當時，，點，，綜上所述：點的坐標為，或，．24．（2023春?蘇州期中）如圖1，平面直角坐標系中，點的坐標是，過作軸于，軸于，點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿