1．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分別為BC上兩動(dòng)點(diǎn)，BD＝CE．（1）如圖1，若EH⊥AD于H交AB于K，求證：AE＝EK；（2）如圖2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG＝GF，求證：；（3）如圖3，若AB＝4，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得EM，N為BM中點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ACD的面積．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACE＝，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝90°，EH⊥AD于H交AB于K，∴∠AKE＝90°﹣∠BAD，∠KAE＝90°﹣∠CAE，∴∠AKE＝∠KAE，∴AE＝EK；（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AC，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P∴∠PCA＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠PCE＝∠ABC＝45°，∵AD∥EF，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠ADB＝∠FEC，∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝PC＝AC，∴AD+EF＝PE+EF＝PF，過G作QG⊥GC，使GC＝GQ，∴△GCQ是等腰直角三角形，∴，連接FQ，CQ，∵GF⊥AG，GF＝AG，∴△AGF是等腰直角三角形，∴△GAC≌△GFQ，∴AC＝FQ，∠GAC＝∠GFQ＝45°，∴∠AFQ＝∠AFG+∠GFQ＝90°，∴∠QFC＝∠PCF＝90°，∴PC∥FQ，∵AC＝PC＝FQ，∴四邊形FPCQ是平行四邊形，∴PF＝CQ，∵PF＝AD+EF，∴AD+EF＝CG；（3）解：如圖，過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過點(diǎn)M作MP⊥BC延長(zhǎng)線于P，連接MC，連接GN交AM于H，過點(diǎn)N作NF∥AM交AB于F，∵AE＝ME，∠AEM＝90°，∴∠GAE+∠GEA＝∠PEM+∠GEA＝90°，∴∠GAE＝∠PEM，在AGAE和△PEM中，，∴△GAE≌△PEM（AAS），∴AG＝EP，GE＝PM，又∵AG＝GC，∴GC＝EP，∴GC﹣EC＝EP﹣EC，∴GE＝CP，∴PM＝CP，∴∠MCP＝45°∵G為BC中點(diǎn)，N為BM中點(diǎn)，∴GN∥CM，∴∠NGC＝45°，∵N為BM中點(diǎn)，F(xiàn)N∥AM，∴FN是△BAM的中位線，∴F是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)N＝AM，在△AGN和△CGN中，，.∴△GNA≌△CGN（SAS），∴AN＝CN，∴AN+AM＝CN+NF，∴如圖，當(dāng)C、N、F三點(diǎn)共線時(shí)，CN+NF的值最?。▋牲c(diǎn)之間，線段最短），此時(shí)AN+AM取得最小值，∵∠MCP＝∠ABC＝45°，∴MCI∥AF，又∵NF∥AM，∴四邊形AFCM是平行四邊形，∴MC＝FA＝AB＝2，∴MP＝EG＝＝，AG＝BG＝CG＝＝2，∴BD＝CE＝2，CD＝2，∴S△ACD＝?CD?AG＝﹣×3×2＝6．2．（2023春?金平區(qū)期末）如圖1，已知，直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．點(diǎn)是右側(cè)一點(diǎn)，連接，，平分，平分．（1）若，，則70，．（2）寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，當(dāng)時(shí)，若，過點(diǎn)作于．將射線繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過秒后，射線恰好平行于，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的值．【解答】解：（1）如圖（1）所示：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，平分，，平分，，由，得，由，得，，（2），理由如下：由（1）得．，，，，，（3）如圖（2）所示：的初始位置為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至，處時(shí)平行于，，，且由（1）知，，平分，，，，，①若時(shí)，，，故此時(shí)，，解得，②若時(shí)，則，解得，綜上所述，當(dāng)?shù)闹禐?1或67秒時(shí)，與平行．3．（2023春?舞陽(yáng)縣期末）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)在邊上，平分．（1）分別延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，與的平分線、交于點(diǎn)，若的度數(shù)為，求的度數(shù)；（2）如圖2，已知交邊于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且平分，若，試比較與的大小，并說明理由．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)作，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，，，；（2）．理由：，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，解得：，，．4．（2016春?濱州期中）如圖1，，是直線、間的一條折線．（1）猜想、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）如圖2，將折一次改為折二次，若，，，則．（3）如圖3，若改為折多次，直接寫出，，，，，之間的數(shù)量關(guān)系：．【解答】解：（1）如圖1，，理由：過點(diǎn)作直線，，，，，，，；（2）滿足的關(guān)系式是：，（2）如圖2，過作，，，，，，，，，．故答案為：；（3）由（1）、（2）可知，如果兩平行線間存在一條折線，則所有同向角的和相等；或者：向左凸出的角的和等于向右面凸出的角的和．即．故答案為：．5．探究：（1）如圖，若，則，你能說明為什么嗎？（2）反之，若，直線與有什么位置關(guān)系？請(qǐng)證明；（3）若將點(diǎn)移至圖所示位置，此時(shí)、、之間有什么關(guān)系？請(qǐng)證明；（4）若將點(diǎn)移至圖所示位置，情況又如何？（5）在圖中，，與又有何關(guān)系？（6）在圖中，若，又得到什么結(jié)論？【解答】解：（1）過作，則，，，，．（2）若，由，，，，，；（3）若將點(diǎn)移至圖所示位置，過作，，，，；（4），，，；（5），；（6）由以上可知：；6．（2023春?姜堰區(qū)期末）已知l1∥l2，李想同學(xué)將△ABC放置在這兩條平行線上展開探究，其中△ABC三邊與兩條平行線分別交于點(diǎn)D、E、F、G．（1）【特例探究】如圖1，∠C＝90°．①∠CED+∠CGF＝270度；②若∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P，則∠EPG＝135度；（2）【一般探索】如圖2，∠C＝α，∠EPG＝β．①若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF，求α與β的關(guān)系；②若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF（n≥2且n為整數(shù)），直接寫出α與β的關(guān)系α+nβ＝360°；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P1，∠P1ED與∠P1GF的角平分線相交于點(diǎn)P2，∠P2ED與∠P2GF的角平分線相交于點(diǎn)P3；…，以此類推，則的值是多少？（直接寫出結(jié)果）?【解答】解：（1）①作CM∥l1，∴∠CED+∠ECM＝180°，∵l2∥l1，∴CM∥l2，∴∠CGF+∠GCM＝180°，∴∠CED+∠ECM+∠CGF+∠GCM＝360°，∵∠ECG＝∠ECM+∠CGF＝90°，∴∠CED+∠CGF+90°＝360°，∴∠CED+∠CGF＝270°，故答案為270°；②∵∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P，∴∠CED＝2∠CEP，∠CGF＝2∠CGP，由①知：∠CED+∠CGF＝270°，∴2∠CEP+2∠CGP＝270°，∴∠CEP+∠CGP＝135°，∵∠CEP+∠CGP+∠EPG+∠ECG＝360°，∴∠EPF＝135°；（2）∵l2∥l1，∠ECG＝α，由（1）①知∠CED+∠CGF+∠ECF＝360°，∴∠CED+∠CGF＝360°﹣∠ECG＝360°﹣α，由（1）②知若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF，∴∠CED＝∠CEP，∠CGF＝∠CGP，∴∠CEP+∠CGP＝∠CED+∠CGF＝（∠CED+∠CGF）＝（360°﹣α），∵∠CEP+∠CGP+∠EPG+∠ECG＝360°，∴（360°﹣α）+β+α＝360°，整理得：α+3β＝360°；②若∠DEP＝∠CED，∠FGP＝∠CGF（n≥2且n為整數(shù)）時(shí)，由①同理可得α與β的關(guān)系：α+nβ＝360°；（3）通過前面的證明易得∠CED+∠CGF＝360°﹣∠C＝360°﹣α，當(dāng)∠CED與∠CGF的角平分線相交于點(diǎn)P1，∠P1ED與∠P1GF的角平分線相交于點(diǎn)P2，∠P2ED與∠P2GF的角平分線相交于點(diǎn)P3；…，以此類推，則∠EP1G＝（∠CED+∠CGF）（∠CED+∠CGF）＝（360°﹣α），∠EP2G＝（∠CED+∠CGF）＝（∠CED+∠CGF）＝）＝（360°﹣α），∠EP3G＝（∠CED+∠CGF）＝（∠CED+∠CGF））＝（360°﹣α），∠EP4G＝（∠CED+∠CGF）＝（∠CED+∠CGF））＝（360°﹣α），∠EP5G＝（360°﹣α），.....．∠EPnG＝（360°﹣α），當(dāng)n＝2023時(shí)，∠EP2023G＝（360°﹣α），∴＝＝22023，7．（2023春?大足區(qū)期末）已知直線，為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．（1）如圖1，已知，，求的度數(shù)；（2）如圖2，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）如圖3，，平分，若，求的度數(shù)．【解答】解：（1）過點(diǎn)作，如圖：則，，，，，，（2）過點(diǎn)作，則，如圖：，，，，，即．故答案為：．（3）過作，過作，如圖：，設(shè)，則，，，由（2）可知，即，解得．8．（2023春?海安市期末）如圖，在中，．過點(diǎn)作．（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）如圖2，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），平分交射線于，過點(diǎn)作于．①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，若，求的度數(shù)；②點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說明理由．【解答】解：（1）平分，，，．，平分，（2），，、是角平分線，，，，，．②設(shè)，，，如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，由（1）知，平分交射線于，，又，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖：、是角平分線，，，，，，，．綜上，或．9．（2023春?西鄉(xiāng)塘區(qū)期末）如圖1，直線，被直線所截，直線分別交直線，于點(diǎn)，點(diǎn)，滿足．將三角形按圖1放置，點(diǎn)在直線上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），點(diǎn)在直線上，．（1）求證．（2）若，求的度數(shù)．（3）如圖2，的平分線交直線于點(diǎn)．現(xiàn)將三角形沿直線平移，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：，，，．（2）解：過點(diǎn)作，由（1）知：，，，，，即：，，，，．（3）解：與的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：為的平分線，，，，由（2）可知：，又，，，．10．（2023春?福清市期中）如圖，直線，點(diǎn)為線上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)為直線、之間的定點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)，求證：；（2）點(diǎn)在直線上，且，平分．①如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求的度數(shù)；②若點(diǎn)不在的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你利用圖1補(bǔ)全圖形，探究并證明與之間的數(shù)量關(guān)系．（本問中的角均為小于的角）【解答】（1）證明：過點(diǎn)向右作，如圖，則，，，，，即；（2）①平分，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，，由（1）知，，，，，，；②．證明：如圖，平分，，，，由（1）得，，．11．（2022春?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是秒，且、滿足．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即，且．（1）3；（2）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，求燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩燈的光束第一次互相平行？（3）如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)，①用含的代數(shù)式表示；②過作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，探究與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1），解得故答案為：3，1；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒時(shí)，兩燈光第一次互相平行，由平行線性質(zhì)，易知：，解得；（3）①易知，經(jīng)過秒，，，，故答案為：；②顯然點(diǎn)一定在的右側(cè)，，即，，，，，．12．（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)分別在射線和上，且滿足，．點(diǎn)在直線上且在點(diǎn)左側(cè)，滿足，的角平分線與直線相交于點(diǎn)．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，若，補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；（3）若左右平移線段，是否存在的可能？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1），，，，平分，，，，，，；（2），故，，，故點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如圖，平分，，，，，，；（3）如圖1，當(dāng)在之間時(shí)，，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如備用圖，同上，，，，，，，，，，，（舍去）．38．（2022春?和平區(qū)期中）如圖（a），已知，、、是三條折線段．（1）若，如圖（b）所示，求證：；（2）根據(jù)圖（a），寫出與之間的關(guān)系，不需證明．【解答】解：（1），，，，，，，（2）由（1）可知：，，，上述兩式相加得：；13．（2022秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）已知直線、，點(diǎn)、為分別在直線、上，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、，且．（1）求證：；（2）如圖2，射線、分別平分和，交直線于點(diǎn)，與內(nèi)部的一條射線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：過作，如圖，，，，，，；（2）解：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則：，，，，，又．，即，，．14．（2022春?龍亭區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，、分別在、上，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）當(dāng)，平分，平分時(shí)：①如圖1，若，則的度數(shù)為；②如圖2，在的下方有一點(diǎn)，平分，平分，求的度數(shù)；（2）如圖3，在的上方有一點(diǎn)，若平分．線段的延長(zhǎng)線平分，則當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）①如圖，分別過點(diǎn)，作，，，，，，同理可得，，，平分，平分；，，，故答案為：；②如圖，過點(diǎn)作，，恰好平分，恰好平分，，，設(shè)，，，，，，，，，由①可知，；（2）結(jié)論：．理由：在的上方有一點(diǎn)，若平分，線段的延長(zhǎng)線平分，設(shè)為線段的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，，設(shè)，，如圖，過點(diǎn)作，則，，，，，，由（1）可知，，，，，．15．（2021春?浦江縣校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)，分別在直線，上，點(diǎn)，在直線，之間，．（1）如圖，，①與的關(guān)系，并說明理由；②和的角平分相交于點(diǎn)，求的度數(shù)．（2）若，，和的角平分相交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．（用含或具體數(shù)字表示）【解答】解：（1）①，理由：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，，，，，，，，，；②如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，平分，平分，，，由①得：，，，，是的一個(gè)外角，，的度數(shù)為；（2），，，由（1）中的①得：，，由（1）中的①得：，，，，由（1）中的②得：，故答案為：．16．（2021春?吉安縣期末）已知，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，分別作和的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)．（3）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，且．試判斷以下兩個(gè)結(jié)論是否正確，并證明你認(rèn)為正確的結(jié)論．①為定值；②為定值．【解答】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)作，，，，，，，．（2）如圖所示，過點(diǎn)作，，，，平分，平分，，，，，（3）結(jié)論②正確，理由如下：如圖所示，將與的交點(diǎn)記作，平分，且，，，平分，，設(shè)，，由（1）同理可得，，，，在中，，①，②，②為定值，故②是正確的．17．（2021春?青浦區(qū)期中）已知，直線（1）如圖（1），點(diǎn)為、間的一