高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)專題一

函數(shù)圖像研究

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)利用基本初等函數(shù)圖像、函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)圖像；

2.會(huì)利用函數(shù)圖像求解簡單的函數(shù)綜合性問題

【基礎(chǔ)回顧】

1.一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖像是什么？

2.函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性分別有怎樣的函數(shù)圖像特點(diǎn)？

3.函數(shù)的定義域、值域、零點(diǎn)在圖像上如何反映？

【例題講解】

<nlx-1|

例1：.畫出函數(shù)y=（目的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值

域.

/31),

解：原函數(shù)變形為y=?

團(tuán)(x<1),

顯然函數(shù)y=Q）岡是偶函數(shù),

先畫出y=G）x（xNO）的圖象，再作出其關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象，即得y=g）岡

的圖象，再向右平移1個(gè)單位，如圖所示.

,,⑴伙一1|,,_

由圖象可知，函數(shù)y=[jJ在（-8,1）上是增函數(shù)，在（1,十8）上是減

函數(shù)，其值域是（0,1].

變式練習(xí)：利用函數(shù)y=f(x)=2x的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象:

(1)f(x-1);(2)f(|x|)；(3)f(x)-1；(4)-f(x);(5)|f(x)-1|.

【解】利用指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象及變換作圖法可作出所要作的函數(shù)圖

象.如圖所示.(5)

作函數(shù)圖象的方法

(1)描點(diǎn)法——求定義域；化簡；列表、描點(diǎn)、連線.

(2)變換法——熟知函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn).

①平移：y=f(x)左加右減＞y=f(x士加；

y=f(x)上加下減＞y=f(x)土k.(其中h＞0,k＞0)

②對(duì)稱：y=f(x)關(guān)于'丫軸對(duì)稱＞y=f(—x)；

y=f(x)關(guān)于'X軸對(duì)稱＞y=-f(x)；y=f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱＞y=-f(-x).

(3)利用變換作圖法作圖要注意：

①選擇哪個(gè)函數(shù)作為起始函數(shù).

②平移的方向及單位長度.

此外，函數(shù)y=f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)y=|f(x)|的圖象可由函數(shù)y

=f(x)的圖象保持在x軸上及其上方的部分不動(dòng)，把x軸下方的部分翻折到x軸

上方得到.

例2：設(shè)函數(shù)f(x)=min｛|x-2|,xt|x+2|｝，其中min｛、y,z｝表示&y,z中的最小者.下列說法

錯(cuò)誤的()

A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)B.若x￡[l,+oo)時(shí)，有f(x-2)Wf(x)

C.若x￡R時(shí)，f(f(x))<f(x)D,若x6[-4,4]時(shí)，|f(x-2)|>f(x)

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)定義作f(x)的圖像，然后依據(jù)圖像逐個(gè)檢驗(yàn)即可.

【詳解】在同一坐標(biāo)系中畫出y=|x-2|,y=x2,y=|x+2|的圖像(如圖所示),

故f(x)的圖像為圖所示.

f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，故f(x)為偶函數(shù)，故A正確.

由圖可知x￡[l,+oo)時(shí)，有f(x-2)Sf(x),故B成立.

從圖像上看，當(dāng)x￡[0,+oo)時(shí),有Owf(x)wx成立，令t=f(x),則t",故f[f(x)]Sf(x),

故C成立.

取x=|，則《-；)=?=；,g)=；,|f(x-2)|<f(x),故D不成立.

綜上，選D.

【限時(shí)訓(xùn)練】

1.函數(shù)f(x)=x2—2岡的圖象是()

x2—2xx0

解析：選cf(x)=2“'二二分段畫出，應(yīng)選C.

[x2+2x,x<0,

2.已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖所示，不含端點(diǎn))，則

■等于()

A.一彳B.1

c2-2

C.-3D.3

X—10VxV1

解析：選B由題圖可知，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=,二一二八所

[x+1,—1<x<0,

以GH--一系所以《硼=｛一患一知4

x~+xx>0

3.若函數(shù)/(x)=：'—(ae/?)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()C

x"-ax,x<G

A./(?)>/(2?)>/(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)

C./(2a)>/(?)>/(0)D./(2a)>/(0)>f(a)

4.在股票買賣過程中，經(jīng)常用兩種曲線來描述價(jià)格變化情況：一種是即時(shí)

價(jià)格曲線y=f(x),另一種是平均價(jià)格曲線y=g(x),如f(2)=3表示股票開始買

賣后2小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元；g(2)=3表示2小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元.下面

給出了四個(gè)圖象，實(shí)線表示y=f(x),虛線表示y=g(x),其中可能正確的是()

C［根據(jù)即時(shí)價(jià)格與平均價(jià)格的相互依賴關(guān)系，可知，當(dāng)即時(shí)價(jià)格升高時(shí)，

對(duì)應(yīng)平均價(jià)格也升高；反之，當(dāng)即時(shí)價(jià)格降低時(shí)，對(duì)應(yīng)平均價(jià)格也降低，故選項(xiàng)

C中的圖象可能正確.］

5.已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(一°°,0］上是增函數(shù)，若f(a)<f(2),

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.aW2B.a2—2

C.-2<a<2D.aW—2或32

解析：選D.因?yàn)閥=f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間(一8,0］上是增函數(shù)，所以y

=f(x)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù),由f(a)4f(2),得f(|a|)Wf⑵,所以|a|N2,得aw

一2或在2,故選D.

【課后作業(yè)】

Y

1.函數(shù)必=俞-2*的圖象大致形狀是()

2xx>0

解析：選B由函數(shù)￡僅)=裔-2*='\可得函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞

II、2,xv。，

增，且此時(shí)函數(shù)值大于1；在(一8,0)上單調(diào)遞減，且此時(shí)函數(shù)值大于一1且小

于零.結(jié)合所給的選項(xiàng)，只有B滿足條件，故選B

2.函數(shù)y=abl(a>1)的圖象是(

解析：選B該函數(shù)是偶函數(shù).可先畫出注。時(shí)，y=ax的圖象，然后沿y

軸翻折過去，便得到xvO時(shí)的函數(shù)圖象.

3.函數(shù)丫=a一1的值域是()

A.[1,+~)B.[0,+~)

C.(—30]D.(-1,0]

窗T，XM，

解析：選D將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，則y=〈圖象如圖

x<0,

所示,

所以函數(shù)的值域?yàn)?-1,0].

4.已知y=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x?()時(shí)，/(x)=f一2x,則不等式

〃2xT)>0的解集為()

A.17，-加(|，+8)B.18,一|'g引

C.(-00,-5)U(3,+oo)D.(ro,-3)U(3,+oo)

4【解析】因?yàn)閥=/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x2()時(shí),/(x)=f-2x

令尤<0,貝！Jr>0,所以滿足〃T)=>+2X,而偶函數(shù)滿足/(x)=/(-x)

x2—2x,x>0

所以當(dāng)尤<0時(shí)，f(x)=f(-x)=^+2x,即/(x)h

x2+2x,x<0

由函數(shù)圖像可知，若/(2x-I)>0成立,

,13

則滿足2x-l<-2或2x-l>2,解得x<或x>”

22

即〃2x-l)>0的解集為卜寸故選:A

5.已知函數(shù)f(x)=x2-3x-3,xe[O,4],當(dāng)x=a時(shí)，f(x)取得最大值b,

【答案】D

【解析】由題意，函數(shù)f(x)=x2-3x-3,XG[O,4],

對(duì)稱軸為x=1.5,開口向上，最大值為f(4)=1,所以a=4,b=1,

可得函數(shù)g(x)=。產(chǎn)]，相當(dāng)于把y=(：再向左平移1個(gè)單位，所以D選項(xiàng)復(fù)

合題意.

故選：D.

6.(多選題)當(dāng)時(shí)，函數(shù)丁=奴+匕和y="'的圖像不可能是()

c.D.

7.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x2+4x,則f(x+2)>5

的解集為()

A.(—8,—7)U(—1,+°0)

B.(-8,-3)U(3,+~)

C.L，-7)U(3,+~)

D.(一°°,—5)U(3,+°°)

【解析】由X40時(shí)，f(x)=x2+4x,畫出X40時(shí)的函數(shù)圖象.因?yàn)閒(x)是

定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

從而畫出x>0時(shí)的圖象，如圖所示.當(dāng)x40時(shí)，令x?+4x=5,解得x=一

5,由圖象的對(duì)稱性得f(—5)=f(5)=5,由圖可知要使f(x+2)>5,只需x+2<—

5或x+2>5,解得xv—7或x>3.故選C.

x2-x-2,x<a

8.已知函數(shù)/。)=,1,若函數(shù)圖像與x軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)

1——,x>a

數(shù)”的取值范圍是(

(T?,-1)U[1,2)C

D.(-1,1]U(2,-K?)

B

9.已知函數(shù)G)=小一)a-.(其中2>訪的圖象如右圖所示，則函數(shù)g(x)=a*+b的圖象

是()

【答案】A

【解析】

試題分析：由f(x)函數(shù)圖像可知函數(shù)與X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a,b,且Ova<l,bv-1

,.g(0)=a°+b=l+b<0，函數(shù)為減函數(shù)，因此A項(xiàng)正確

考點(diǎn)：二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)

10.(多選)若函數(shù)y=-—4X-4的定義域?yàn)椋?,刈,值域?yàn)椋?8,Y,則〃?的值

可能是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】ABC

【解析】

【分析】

作出函數(shù)y=/-4x-4的部分圖像，由圖像與題中條件，即可得出結(jié)果.

【詳解】函數(shù))=/一以-4的部分圖像如圖，/(0)=/(4)=-4,/⑵=-8.

因?yàn)楹瘮?shù)y=/-4x-4的定義域?yàn)椋?,耐，值域?yàn)椋?8,-4］,

所以"的取值范圍是⑵4］,

【點(diǎn)睛】本題主要考查由二次函數(shù)定義域與值域求參數(shù)的問題，熟記二次函數(shù)

的圖像與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

11.已知函數(shù)/(力是定義在[T())u(O,4]上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0,4]時(shí),〃力的圖

象如圖所示，那么滿足不等式/(力23'-1的x的取值范圍是()

y

-----?--；---------i

61234

A.[-l,O)U(O,l]B.[-4,-2]U(O,l]

C.H，-2]U[2,4]D.[-l,0)U[2,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

Q

根據(jù)題意作出“X)與g(x)的圖像，可知其交于兩點(diǎn)A(1,2),B(-2,-Q,因此,根據(jù)圖

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像即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)g(x)=3'-1,如下圖所示，畫出函數(shù)“力在[<0)5。，4]上的圖像，

Q

可知/(x)與g(x)圖像交于兩點(diǎn)A(l,2),B(-2,--),

/(x)>3'-1,即/(%)的圖像要在g(x)上方，

所以滿足條件的x的取值范圍為:xe[T,-2]U(0』，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像解不等式問題，涉及了函數(shù)奇偶性等知識(shí)，需要學(xué)生熟

悉并掌握基本初等函數(shù)的各項(xiàng)性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法解題.

—X2—ax—5(x<1),

12.已知函數(shù)f(x)=<%>])是R上的增函數(shù)，則a的取值范

圍是.

解：因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以f(x)需滿足在區(qū)間(一汽1]和

(1,+8)上都是單調(diào)遞增的，并且端點(diǎn)處(x=1)的函數(shù)值-12—a—54*即a>

-3；f(x)=-x2—ax—5的對(duì)稱軸為直線x=—*f(x)在區(qū)間(-8,1]上單調(diào)遞

增，所以一|)，即aw—2；f(x)號(hào)在區(qū)間(1,+叼上單調(diào)遞增，所以a<0.綜上

所述，a的取值范圍是[-3,-2].

13.設(shè)max{a,b}表示a,b兩數(shù)中的最大值，若f(x)=max{|x|,關(guān)于x=1

對(duì)稱，則t=.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用函數(shù)y=|x|的圖象和函數(shù)y=|x-t|的圖象關(guān)于直線x==對(duì)稱，從而得出結(jié)

論.

【詳解】f(x)=max{|x|,Ix7}={f苦累禺,

由函數(shù)y=岡的圖象關(guān)于x=0對(duì)稱，函數(shù)y=|x-1|的圖象關(guān)于x=t對(duì)稱，

0+1

即有函數(shù)f(X)的圖象關(guān)于x=—1對(duì)稱，

f(x)=max{|x|,|x-t|}關(guān)于x=1對(duì)稱，

即有;=1,求得t=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)f(x)=|-x2+2x+3|.

(1)畫出函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四個(gè)不相等的實(shí)根}.

［解］(1)當(dāng)一X2+2X+320時(shí)，得一14x43,函數(shù)f(x)=-x2+2x+3=—(x

—1產(chǎn)+4,

當(dāng)一x2+2x+3<0時(shí)，得x<—1或x>3,

函數(shù)f(x)=x2—2x—3=(x—1)2—4,

/-□x-1n2+4,-1<X<3,

即f(x)1口2—4,x<—1或x>3的圖象如圖所