w高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識回顧：向量

一、向量的概念：

★（1）:既有_又有的量.向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就

是有向線段，為什么？（向量可以任意平移）

★（2）：的向量叫零向量，記作：—，注意零向量的方向是；

★（3）：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量；

★（4）：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量；

★（5）（也叫共線向量）:的非零向量Z、3叫做平行向量，記作：

______?

規(guī)定和任何向量平行；

★（6）位置向量：起點為原點的向量.

二、向量的幾何運算：

1、向量的基本運算：

★（1）向量的加法運算：法則和法則：

★（2）向量的減法運算：三角形法則；（減數(shù)指向被減數(shù)）

★（3）：實數(shù)；I與非零向量1的積是一個向量，記作.

①，4石與￡方向相同，長度為岡?同；

②，4?。與々方向相反，長度為岡?卜|；

③,—6.

2、向量的數(shù)量積：

★（1）：對于兩個非零向量a和坂，如果以。為原點，作。4=a,0B=B,那么

射線0日與。耳的夾角。叫做￡和坂的夾角，0的取值范圍是；

★（2）：3在［上的投影為,。為向量々和■的夾角：

—,——?2I—>|2

★(3)公式：a?b=；(a)

★★(4)的：75等于其中一個向量3的模問與另一個向量B在向量公的方

向上的投影Wcosd的乘積.

★3、公式：.

4、向量的平行與垂直：

★(1)：；

★(2)：.

★★5、平面向量分解定理：如果1和公是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對該平面內(nèi)的

任一向量a,有一對實數(shù)為、A2,使

6、三點共線:

★(1)平面上有A、B、C三點，若，則AB、C三點共線;

★★(2)設(shè)方、礪不平行，點P在AB上O存在實數(shù)入〃使得

_____________________________________且4+〃=］(%//eR).

三、向量的坐標表示與運算：

1、向量的坐標表示：

★(1)i：x軸正方向單位向量，j：y軸正方向單位向量;

★(2)向量的坐標表示：平面直角坐標系中，以］,亍為基底，則平面內(nèi)的任一向量［可

表示為，稱(x,y)為向量〉的坐標；

★(3)A(xl,yi),B{x2,y2)=>AB=(x2-xl,y2-yl).

2、向量的模：

★(1);

★(2)已知。=(玉，yj,則。的單位向量_________________.

3、向量的坐標運算：

★(1)a=(X］，x)E=(%,y2)na±B=(X1±X2，y±y2)；

★(2)<2=(xI,y1),2e7?=>/l6r=(2x1,/ly1)；

★(3)a^(xl,yi),b=(x2,y2)=^a?b=xlx2+yiy2.

4、向量的平行與垂直：

★(1)向量的平行：;

★(2)向量的垂直：.

5,定比分點：

★★(1)定比分點公式：已知A(x，%)、8區(qū),%)是直線上任一點，且

AP^APB(AeR,A^-\),令P(x,y),則：；

★(2)中點公式：若點P(x,y)為A(x”y)、8(%,y2)兩點中點，則；

★★(3)重心公式：若點G(x,y)為AABC重心，且A(尤「y)、B(x2,y2)>C(x3,y3),

則.

⑥題型與方法

一、向量的概念與運算(加法'減法'數(shù)乘)

【例1】在下列命題中：(1)若問=忖，則￡=坂；(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，

終點相同；(3)若麗=反，則AfiCD是平行四邊形；(4)若43co是平行四邊形，則=覺;

(5)若a=B,B=c,則a=c；(6)若?！癇〃c,貝ij〃〃c.其中正確的是.

【例2】己知〃=(一4,5),1=(—2,4),則

【例3】已知點A(l,3),5(4,-1),則與向量43同方向的單位向量為()

3_3'34'

A.B.1C.5,5D.1)

【例4】已知3=(1,x),3=(4,2),若則實數(shù)x=

【例5】如圖：在梯形ABC。中，AO//3c且AO=-6C,AC與8。相交

2

于。，設(shè)麗=￡,DC^b,用表示的，則的=.

【例6】在直角坐標系內(nèi)6(4,-3),6(-2,6),點P在直線6鳥上，且網(wǎng)=2|M|,求出p的坐

標.

【鞏固訓(xùn)練】

1.判斷下列命題是否正確，并說明理由.

①若向量。與?同向，且|。|>|例,則”>〃；

②若向量|。|=|臼，則。與b的長度相等且方向相同或相反;

③對于任意|。|=|力|,且。與力的方向相同，則。=b;

④向量。與向量方平行，則向量。與力方向相同或相反.

2.設(shè)xwR,向量"=(X,1)3=(1,—2),且,則|Z+B|=.

3.已知向量2=(公，左+1筋=化4),若5〃九則實數(shù)攵的值是.

4.已知A(3,-l),B(-4,-2),P是直線A3上一點，若Z4戶=34分，求點P的坐標.

5.有以下命題成立：設(shè)點P,Q是線段AB的三等分點，則有而+麗=礪+礪.將此命題推廣，

設(shè)點是線段A8的六等分點，則

OA^+OA^+OA^+OA^+OA^=(OA.+OB^.

6.已知點P、。是AA8C所在平面上的兩個定點，且滿足⑸+正=6,2)+/+0不=配,

^\PQ\=A\BC\,則正實數(shù);1=.

二、向量的數(shù)量積

向量數(shù)量積運算的基本方法：1、向量的分解；2、坐標法；3、向量數(shù)量積的幾何意義.

【例7】已知向量Z=（3,Y）＞=（O,—1）,則向量Z在向量B的方向上的投影是.

【例8】平面向量￡與否的夾角為60°,同=1,6=（3,0）,則|21+q=.

【例9】在邊長為1的正方形ABC。中，M為BC的中點，點E在線段A3上運動，則反?前

的最大值為.

【例10】已知A43C的外接圓的圓心為。，AC=6,8C=7,A8=8,則而?前=.

【鞏固訓(xùn)練】

1.在平行四邊形ABCD中，若畫=2,|砌=LNB4D=6（y,則福麗=.

2.已知向量。與向量坂，同=2,同=3,a、B的夾角為60°,當時,

|+〃可的最大值為.

3.在用AABC中，AB=AC=3,M,N是斜邊3c上的兩個三等分點，則AM,?麗的值為

4.如圖，在圓O中，若弦AB=3,弦AC=5,則布?前的值是

三、向量的應(yīng)用

(-)三點共線的應(yīng)用；

(-)三角形“四心”：

1.出+而+且=6=G是AABC的重心.

2.衣=〃-4竺+-4￡-)(/170)0「經(jīng)過小48。的內(nèi)心.

\AB\\AC\

3.|蘇卜|麗|=|無|00為八4BC的外心.

4.瓦?麗=麗?衣=瓦屈="為AABC的垂心.

【例11】已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且

AM=xAB,AN=yAC,則的值為_________.

x+y

【例12】設(shè)不高是平面內(nèi)兩個不共線的向量，通=(。-1)1+￡，*=病一應(yīng)，a>0,b>0.

12

若A氏C三點共線，則一+丁的最小值是_______

ab

UUUUUUUluuu

【例13】已知同一平面上的向量PA,PB,AQ,3。滿足如下條件：

zuunuuu、

ULIULIUUUA3AOIUllfiUUUUUIUuuuUUlUuuu

①|(zhì)PA+P8|=|AB|=2；②+-BQ=0;③|AB+AQ|=|AB-AQ|,則|PQ|的最

{\AB\\AQ\J

大值與最小值之差是.

【鞏固訓(xùn)練】

1.如圖，在△ABC中，點。是8C的中點，過點。的直線分別交直線AB,

AC于不同的兩點M,N,若通=機汨，AC=nAN,則〃?+〃的值為

2.已知點。是AA3C的重心，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,且

2a-OA+bOB+^-cOC^O>則角C的大小是

3

易錯題型

零向量、向量的夾角

【例1】已知點A(1,3),夙4,一1),則與A3共線的單位向量為.

【變式訓(xùn)練】

1.與1=(8,—⑸垂直的單位向量為

ab

2.已知向量〃=,其中5、bZ均為非零向量，則萬的取值范圍是.

Rh

【例2】設(shè)。為兩個非零向量々、Z的夾角，已知對任意實數(shù)，各+N的最小值為1,則

A、若。確定，則同唯一確定B、若6確定，則否唯一確定

C、若口確定，則。唯一確定。、若欠確定，則。唯一確定

【變式訓(xùn)練】

I.已知向量。4e,，=1滿足：對任意/eH,恒有a-feNa-e,貝ij()

A、aLeB、a_L.-e)C、e_L(a-e)D(a+e)_L(a-e)

2.已知z=(2,1)與坂=(i,2),要使B+可最小，則實數(shù)f的值是

3.已知e是向量Z、B的夾角，且對任意的feR,^一國的最小值為1，則慟=

【例3】在A4BC中,過中線AO中點E任作一直線分別交A3、AC于M、N兩點，設(shè)赤xAB,

AN=yAC｛xy，0），則4x+y的最小值是

【變式訓(xùn)練】

1.在AABC中，M為邊8C上任意一點，N為AM的中點，AN=AAB+juAC,則4+〃的值

為______

2.在AA8C中，點。是8C的中點，過點。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,

若Q=AC=mAN,則加+〃的值為

3.已知等差數(shù)列｛凡｝的前n項和為S“，若麗=4赤+/00反，且A、B、C三點共線（該直

線不過原點。），則S2oo=

4.已知在平面直角坐標系中，A（—2,0）,夙1,3）,0為原點，且而=。厲+夕麗（其中￡+月=1,

a,￡均為實數(shù)），若N（l,0）,則MN的最小值是

【例4】已知a,h,c分別為AA8C中NA,ZB,NC的對邊，點G為AA8C的重心，且

a-GA+hGB+cGC=Q,則A43c為（）

A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形

【變式訓(xùn)練】

1.已知。為A4BC所在平面內(nèi)一點，滿足|麗—反卜］麗+反—2蘇卜則A4BC一定是（）

A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等邊三角形

2.己知AABC,若對任意，eR,BA-tBC>AC,則AABC()

A、必為銳角三角形B、必為鈍角三角形C、必為直角三角形D、答案不確定

3.在A4BC中，若荏2=瓶?元+麗灰+而?在，則AABC是（）

A、等邊三角形B,銳角三角形C、鈍角三角形。、直角三角形

(—一、

ABACAHAT1

4.已知非零向量贏與正滿足?BC=O且=?尸'=—，則A48c為()

1網(wǎng)1阿網(wǎng)4a2

A、三邊均不相等的三角形3、直角三角形C、等腰非等邊三角形。、等邊三角形