微專題96平面幾何

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、相似三角形的判定與性質(zhì)

（1）相似三角形的判定

①三個(gè)角：若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角都相等，則這兩個(gè)三角形相似

注：由三角形內(nèi)角和為180?？芍?，三角形只需兩個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等即可

②兩邊及一夾角：若兩個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且所夾的角相等，則這兩個(gè)三角形相

似

③三邊：若兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似

④（直角三角形）若兩個(gè)直角三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)直角三角形相似

（2）相似三角形性質(zhì)：若兩個(gè)三角形相似，這它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例即相似比（主

要體現(xiàn)出“對(duì)應(yīng)”兩字），例如：若AABC?AA'A。'，則有:

2、平行線分線段成比例：如圖：已知丫/卜/射且直線小〃與

平行線交于A,B,C,D,E,F,則以下線段成比例：

ABDE

(1)（上比下）

~BC~~EF

ABDE

(2)（上比全）

~AC~~DF

BCEF

(3)（下比全）

AC-~~DF

3、常見線段比例模型:

（1）“A"字形:在“LBC中，平行BC的直線交三角形另兩邊于

即形成一個(gè)“A”字，在“A”字形中，可得進(jìn)而

有以下線段成比例：

ADAE

①

而一'~EC

DBCE

②

~\B~AC

ADAE_DE

③~BC

（2）“8”字形：己知A6〃C￡>,連結(jié)相交于。，即形成一個(gè)“8”字，在“8”字

形中，有：

AB

△AOB~ADOC,從而也=吆=任

ODCOCD

4、圓的幾何性質(zhì):

（1）與角相關(guān)的性質(zhì)

①直徑所對(duì)的圓周角是直角

②弦切角與其夾的弧所對(duì)的圓周角相等

③同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓周角是圓心角的一半

④圓內(nèi)接四邊形，其外角等于內(nèi)對(duì)角

（2）與線段相關(guān)的性質(zhì):

①等弧所對(duì)的弦長(zhǎng)相等

②過圓心作圓上一條弦的垂線，則直線垂直平分該弦

③若一條直線與圓相切，則圓心與切點(diǎn)的連線與該直線垂直

5、與圓相關(guān)的定理

（1）切割線定理：設(shè)Q4是。。的切線，為割線,

則有：PA2=PB-PC

（2）相交弦定理：設(shè)AB,CD是圓內(nèi)的兩條弦，且

相交于p,則有=

（3）切線長(zhǎng)定理：過圓外一點(diǎn)P可作圓的兩條切線，且這

兩條切線的長(zhǎng)度相等

6、射影定理：已知在直角三角形ABC中，N8C4=90,CD為斜邊A8上的高（雙垂直特

點(diǎn)），則以下等式成立：

注：射影定理結(jié)合勾股定理，以及等面積法。在直角三角形ABC

中的邊AC,BC,BD,DA,CD這五條線段中，可做到已知兩條邊

的長(zhǎng)度，即可求出所有邊的長(zhǎng)度

7、平面幾何中線段長(zhǎng)度的求法：

（1）觀察所求線段是否是某個(gè)定理的一部分，從而湊齊該定理的其他條件即可求出該線段

（2）考慮所求線段是否與其它線段存在比例關(guān)系

（3）可將此線段放入三角形中，考慮是否能通過正余弦定理解決

（4）若不易找到題目中各線段與所求線段的聯(lián)系，可考慮將所求線段設(shè)為X,通過方程進(jìn)行

求解。

二、典型例題：

例1：如圖，已知Q4切。。于A點(diǎn)，割線PCD與弦A3相交于E點(diǎn)，且PA=PE=BE,

若PC=4,CO=21,則AE的長(zhǎng)為

思路：由Q4是切線，PC。是割線聯(lián)想到切割線定理，所以有：

PA1=PCPD^PC(PC+CD)=\OO,解得出=10,從而

PE=BE=1。,求AE可聯(lián)想到相交弦定理：AEBE=CEDE,

CF-DF

即AE=----------,其中CE=PE—PC=6,DE=CD—CE=15,代入可得：

答案：9

例2：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。，DE與圓。相切于點(diǎn)。，ACr>BD=F,/為AC

的中點(diǎn)，OeBD,CD=M，BC=5,則Z)E=.

思路：由OE與圓。相切可想到切割線定理：即DE?=EA-EB,

因?yàn)?。是直徑，且F為AC的中點(diǎn)，所以8D垂直平分AC,且/\J?才

△84。和ABCD為對(duì)稱的直角三角形。所以AD=CD=而，\\//J

AB=BC=5,所以3D=JAD'+AB)=底。在AEZW中，B

由切線可知ED_L3￡>,且AOL3E,,所以由射影定理可知

BD2=BABE=BE=^-=7,則鉆=BE—AB=2,進(jìn)而DE=jEA-EB

答案：V14

例3：如圖，Q4與圓O相切于A,PCB為圓O的割線，并且不過圓心。，已知N3/%=30°,

PA=2瓜PC=1,則圓。的半徑等于.

思路：由Q4與圓。相切于A可知PA2=PC-PB,可得_一

PA2

PB=——=12,從而BC=PB-PC=ll,在△24。中,

PC

可由N5Q4=30°,PA=2百，可得：DA=2,PD=4,

pA

從而CD=3,8O=5,觀察圓內(nèi)的弦，延長(zhǎng)40交圓于E,從而有AD-DE=CD-DB,與

半徑進(jìn)行聯(lián)系可得：AD{2R-AD）=CDDB,代入數(shù)值可得R=7

答案：R=7

例4：如圖，P是半圓0的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PT切半圓于點(diǎn)T,TTiLBC于H,若

PT=l,PB+PC=2a,則P//=()

21aa

A.-B.-C.-D.一

aa23

思路：因?yàn)槭琓切半圓于點(diǎn)T,所以考慮連結(jié)圓心與切點(diǎn)，可得：OTLPT,在RMPTO中

具有雙垂直的特點(diǎn)，所以只需已知兩條邊即可求出PH,由切割線定理可得：PT-^PCPB,

PB+PC=2aPC^a-yJa2-l

._____所以

PB-PC=]PB—a+\a2

BC=PC-PB-2yla2—1,即r=\ja2—I,從而OT=r=—I,PO=PC+r—a,

PT2]

由射影定理可得：P『=PH?POnPH=——=-

POa

答案：B

例5：如圖，P3為AABC外接圓。的切線，BD平分NPBC,交圓。

于。，C,O,P共線.若ABJ.BD,PCLPB,PD=1,則圓。的半徑A

是?

思路：由A3_LB￡>可知為圓。的直徑，由弦切角性質(zhì)可得

ZBAD=ZDBP,且在圓中N84￡>=N8CD（對(duì)同弧8。），由8。平

分NPBC可得/DBP=/DBC進(jìn)而

NBAD=NBCD=ZDBC=ZDBP,在Rt^BPD中，可知：

NBCD=ZDBC=NDBP

n/BCD=ZDBC=NDBP=30

NBCD+ZDBC+ZDBP=90

，所以由PD=1可得:BD=2PD=2,在RMABD中,N84￡>=30°,可得4)=230=4,

從而r――AD-2

2

答案：2

例6：如圖，A48c內(nèi)接于。。，過8C中點(diǎn)。作平行于AC的直線/,

/交于點(diǎn)E,交。。于G、F,交。。在點(diǎn)A切線于點(diǎn)P,若

PE=3,ED=2,EF=3,則PA的長(zhǎng)為.

思路：由Q4為切線可想到切割線定理，所以PA2=PGPF,

PF=PE+ED+EF=S,只需求出PG即可。因?yàn)镻A為切線，所以

弦切希NPAE=NC,因?yàn)镻/〃AC,所以NBDE=/C,從而NBDE=/PAE,進(jìn)而可

PEAE

證&PAE~&BDE=>==>AE?BE—PE-DE,由相交弦定理可知：

BEDE

PE.DE

AEBE=GEEF,所以PE?DE=GE?EFnGE=------=2,所以

EF

PG=PE—GE=1,代入弘2=PG-PE可得：PA=y/6

答案：V6

例7：如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線

與AC的延長(zhǎng)線相交于。，過點(diǎn)C作3。的平行線與圓交于點(diǎn)

E,與A3相交于點(diǎn)尸，AF=6,FB=2,E尸=3,則線段

CD的長(zhǎng)為

思路：由3。是切線且。C4是割線可想到切割線定理，所以

CD-AO=B￡>2①，分別計(jì)算各線段長(zhǎng)度。由AE=6,尸3=2,七/=3可使用相交弦定理

AF-FBCFAF316

得：CF=-------=4,再由C產(chǎn)〃8D可得：—=—=-,所以80=，,同時(shí)

EFBDBF43

—=—=4=^AD=4CD,代入①可得：4CD2=BD2=>CD=-BD=-

CDFB23

Q

答案：-

3

例8：如圖，已知PA與。。相切，A為切點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線交。0于5,C兩點(diǎn)，弦CD//AP,

4),8。相交于點(diǎn)￡,點(diǎn)F為CE上一點(diǎn),且NP=/EDF,若CE:BE=3:2,DE=3,

EF=2,則R4=.

思路：由Q4與。。相切可想到切割線定理，即

PA2=PB-PC,只需求出PB,PC即可。從題目條件中很難

直接求出這兩個(gè)量，考慮尋找題目中的相似三角形。由

NP=4EDFAFEP

可得:AAEPfFED,所以——=——=AE-ED=EPEF①。由切

ZAEP=/FEDFEED

割線定理可知=②。因?yàn)镃0//AP,所以/C=NP,進(jìn)而/C=NEDF,

ZC=ZEDFCEDE2

所以＜=>ACED~&DEF則一=——=DE?=CE-EF代入

ZCED=ZCEDEDEF

9227

DE=3,EF=2可得CE=—,所以BE=-CE=3,由①可算得EP=—,所以

234

BP=EP-BE=@,PC=PE+CE=起。則PA=，PB-PC=@旦

444

內(nèi)6156

答案：-----

4

例9：如圖，P4切圓。于點(diǎn)A,割線PBC經(jīng)過圓心0,若PB=OB=T,OO平分Z4OC

交圓。于點(diǎn)。，連結(jié)PO交圓。于點(diǎn)￡,則PE的長(zhǎng)等于

思路：由圖可知若要求得PE,可想到切割線定理

模型=只需求得PA,P￡）即可。由

割線PBC與切線B4可想到切割線定理，從而可

計(jì)算出PA=G,考慮計(jì)算PO,可將其放入

△OOP中計(jì)算，已知的邊有00=1,0P=2,需

JT/77

要求解NOOP,在中，通過邊的關(guān)系可判定NAOP=—,進(jìn)而NAOC=—,由

33

角平分線可知乙40。=工，所以NOOP=2工。從而可用余弦定理計(jì)算出PD,即可算出PE

33

解：?.?/達(dá)切圓。于點(diǎn)A

:.PN=PBPC由P6=QB=1可得：r=l

在AAOP中，0A_!AP,0A=1.0P=2,AP=G

171

平分ZAOC/.ZAOD^-ZAOC^-

23

.?.在APOD中,由余弦定理可得：DP2=OP2+0D1-2OP-ODcosPOD=7

PA1335/7

1

由切割線定理可得：PEPD=PA而一乃一〒

g金3百

答案：

7

例10：如圖，AB,CO是圓。的兩條平行弦，AF〃BD交

CD于點(diǎn)E,交圓。于點(diǎn)尸，過B點(diǎn)的切線交CO延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、P,若PD=CE=1,PB=下,則BC的長(zhǎng)為.

DD-

思路：由切割線定理可得p]=PO-PC=>PC=——=5

PD

從和DE=PC—PD—CE=3,由兩組平行關(guān)系可得四邊形ABOE為平行四邊形，從而

CMCF113

AE=BD,由AE〃班）可得：-=—=若設(shè)6C為x,則CM=己了，

CBCD444

可想到相交弦定理，AM?短①，所以只需用x表示出即可得到關(guān)于

x的方程。因?yàn)榕c圓相切，所以NC=NDBP,結(jié)合NP可得：ABCP~ADBP,所以

CP11

有---=----=v5=>BD=—j=x,即AE=—f=x,結(jié)合比例可知：

DBBP亞V5

331

AM=-AE^^x,EM^—j=x,由相交弦定理可得：

44V54V5

CE-ED3亞

AEEF=CEED^EF=-------=-,代入①可得：

]3__

—x—x,解得:x=A/15

44

答案：BC=V15

三、歷年好題精選

1,（2015,天津）如圖，在圓。中，M,N是弦A5的三等分點(diǎn)，弦8,CE分別經(jīng)過點(diǎn)

若CM=2,MD=4,CN=3,則線段NE的長(zhǎng)為（

105

C.—

32

2、（2015,廣東）如圖，已知AB是圓。的直徑，A3=4

圓。的切線，切點(diǎn)為C,BC=1,過圓心。作BC的平行線，分別

交EC,AC于點(diǎn)。和點(diǎn)P,則。。=

圖1

3、（2014,重慶）過圓外一點(diǎn)P作圓的切線PA（A為切點(diǎn)）,

再作割線P8C依次交圓于若PA=6,AC=8,8C=9,則

AB=_______

4、（2015,新課標(biāo)II）如圖，。為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，與

△ABC的底邊3C交于兩點(diǎn)，與底邊上的高AO交于

點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于瓦廠兩點(diǎn)

（1）證明：EF//BC

（2）若AG等于00的半徑，且AE=MN=26,求四

邊形的面積

5、（2014,湖北）如圖，P為0。外一點(diǎn)，過P點(diǎn)作的

兩條切線，切點(diǎn)分別為4,8,過A4的中點(diǎn)。作割線交00于C,。兩點(diǎn)，若QC=1,8=3,

則P8=

6、（2014）新課標(biāo)全國(guó)卷I）如圖，四邊形A8CD是的內(nèi)接四邊形，A8的延長(zhǎng)線與OC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且CB=CE

（1）證明：N￡>=NE

（2）設(shè)AD不是。。的直徑，的中點(diǎn)為〃，且=

7、（2014,新課標(biāo)II）如圖，P是0。外一點(diǎn)，是切線，A

為切點(diǎn)，割線P8C與0。相交于點(diǎn)反C,PC=2P4,D是PC

的中點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,證明：

（1）BE=EC

（2）ADDE=2PB2

8、（2014,天津）如圖所示：AABC是圓的內(nèi)接三角形，NBAC

的平分線交圓于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)8的圓的切線與AO

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，在上述條件下，給出以下四個(gè)結(jié)論：

①BD平分NCBF；?FB2=FDFA；③AECE=BE-DE；

@AFBD=ABBF,則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.③④C.①②③D.①②④

9、如圖，在AABC中，AB=3,3C=4,C4=5,點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn)，的，4?于石，BE的延長(zhǎng)線交AOEC的外接圓于點(diǎn)尸，

則砂的長(zhǎng)為

10、如圖，是圓。的直徑，點(diǎn)。在圓。上，延長(zhǎng)3C到。使

BC=CD,過。作圓。的切線交AO于E.若AB=8,OC=4,

貝!IDE=.

習(xí)題答案：

1、答案：A

解析：由例,N三等分A3,不妨沒AM=MN=NB=x,則由

切割線定理可得：AMMB=CMDM=>2x2=2-4,解得

x=2,再由切割線定理可得：ANNB=CNNE,所以

“AN-NB4-28

NE=--------=----=-

CN33

2、答案：8

解析：連結(jié)OC,由4?=2r=4可得OC=r=2,因?yàn)镋C

且圓。于C,所以O(shè)C_LEC；另一方面，由A3是直徑可得

BCA.AC,所以CB的平行線OPJ_AC,且由。是AB中

點(diǎn)可得0P為AABC的一條中位線，所以O(shè)P='BC=L,

22

則在AOCD中，由雙垂直(OP_LAC,OC_LC￡>)可用射影定理=op.。。，從而

OC2

OD==8

OP

3、答案：4

解析：設(shè)=則由切割線定理/^:依/《二尸氏伊臺(tái)+水力可得：

62=X(X+9),解得：x=3,PC=12,因?yàn)镼4是切線，所以NC=SR,再利

用公共角NP可得：ARW?所以必=二，即=2蛆="=4

ABACPC12

4、解析：(1)證明：?「△ABC是等腰三角形，且AD_L3C

.?.AO是NC48的平分線

,.?A￡,AR為。0的切線:.AE^AF,ADLEF

（2）由（1）可知AO是無下的垂直平分線，又因?yàn)镋尸是00的弦

二O在AD上

連結(jié)則由AE是切線可得

設(shè)。。的半徑為r,則AG=r

可得：ZEAO=30nZEAF=60

：.^ABC,^AEF均為等邊三角形

:.OD=\,從而AD=AO+O￡>=5AB=^^-

3

5^答案：4

解析：由切割線定理可知：。42=。。.。。=。。.（。。+8）=4,從而QA=