2024-2025學年浙江省嘉興市高二下學期3月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題，共40分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】明確集合中的元素，根據交集，可得答案.【詳解】集合，，所以.故選：C.2.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路，“高原版”復興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構成，設有6個商務座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達160千米，全列定額載客676人．假設“高原版”復興號動車開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則當時，“高原版”復興號動車的加速度為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】通過求導，利用導數求瞬時變化率求解．【詳解】因為，所以，故當時，，即時，“高原版”復興號動車的加速度為，故選：B3.為配合垃圾分類在學校的全面展開，某學校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別有1名?2名?3名同學獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學排成一排合影，要求同年級同學排在一起，則不同的排法共有（）A.18種 B.36種 C.72種 D.144種【正確答案】C【分析】根據相鄰問題捆綁法即可由全排列求解.【詳解】由題意可得，故選:C4.已知函數在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4 C.6 D.2或6【正確答案】A【分析】根據求出c，進而得到函數的單調性，然后根據極小值的定義判斷答案.詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增.函數在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，時，，單調遞增，時，，單調遞減，所以在處有極大值，不滿足題意；綜上：c=2.故選：A.5.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】判斷的奇偶性和在上的單調性，即可唯一確定正確選項.【詳解】設，則的定義域是，同時，故是奇函數，排除B選項；當時，，，所以當時，；當時，.故在上遞增，在上遞減，能夠體現在上先遞增后遞減的圖象只有D選項.故選：D.6.若，，，則以下不等式正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將變形為，構造函數，利用導數研究其單調性，再結合作差法比較即可.【詳解】因為，令，定義域為，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，所以，又，所以，所以，即.故選：D.7.已知函數f(x)，滿足在定義域內單調遞減，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由已知可得在上恒成立，利用給定單調性建立不等式并分離參數，構造函數并求出最小值，即可得出實數a的取值范圍.【詳解】函數的定義域為，求導得.由在定義域內單調遞減，得在上恒成立，即在上恒成立，而因此當時，取得最小值，則，因此實數a的取值范圍是.故選：D8.已知是定義在上的偶函數，是的導函數；當時，有恒成立，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】令，根據是定義在上的偶函數，易得在上也是偶函數，再根據時，，得到在上單調遞減，在上單調遞增，然后結合，利用其單調性求解.【詳解】令，因為是定義在上的偶函數，則，所以在上也是偶函數.又因當時，有，則對成立，所以在上單調遞減；由偶函數性質得在上單調遞增，且.當時，由，得，即，解得；當時，由，得，即，解得.綜上所述，不等式的解集是故選：B二、多選題（本大題共3小題，共18分）9.下列求導數的運算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據導數的求導法則和復合函數求導的方法即可得到答案.【詳解】對A，，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D錯誤；故選：AC.10.如圖，用種不同的顏色把圖中五塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（）A.B.當時，若同色，共有48種涂法C.當時，若不同色，共有48種涂法D.當時，總的涂色方法有420種【正確答案】ABD【分析】根據同色或者不同色，即可結合選項，根據分步乘法計數原理求解.【詳解】對于A，由于區(qū)域,兩兩相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確，對于B，當時，此時按照的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有種涂法，涂時，由于同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，B正確；對于C，當時，涂有種，當不同色（D只有一種顏色可選），此時四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂只能用與同色，此時共有24種涂法，C錯誤；對于D，當時，此時按照的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有種涂法，涂時，當同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與同色的顏色中選擇一種涂，故共有種涂法，當不同色，此時四塊區(qū)域所用顏色各不相同，共有，只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂此時共有種涂法，綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，故選：ABD11.已知函數的導數為，若存在，使得，則稱是的一個“巧值點”，則下列函數中，存在“巧值點”的是（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】結合“巧值點”的定義，逐個求解是否有解即可【詳解】對于A，，令，得，有“巧值點”；對于B，，令，如圖，作出函數，的圖象，結合，的圖象，知方程有解，有“巧值點”；對于C，，令，即，得，無解，無“巧值點”；對于D，，令，得，令，則，所以函數在上為增函數，又，所以函數在上有唯一零點，即方程在上有解，即有“巧值點”.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.由1、2、3、4可以組成______個2在百位的沒有重復數字的四位數.【正確答案】6【分析】用列舉法寫出所有四位數可得．【詳解】滿足題意的四位數有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6個，故6.13.已知函數，則曲線在點處的切線方程為______________.【正確答案】【分析】直接求導代入得，再求出切點和斜率即可得到切線方程.【詳解】由題：，所以，，所以，所以，，，，所以切線方程為，即.故14.曲率在數學上是表明曲線在某一點彎曲程度的數值.對于半徑為的圓，定義其曲率，同樣的，對于一般曲線在某點處的曲率，我們可通過該點處的密切圓半徑計算.其中對于曲線在點處的密切圓半徑計算公式為，其中表示的導數，表示的導數.已知曲線，則曲線在點處的曲率為_____；C上任一點處曲率的最大值為_____.【正確答案】①.##②.##【分析】首先求處的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用導數求函數的最小值，即可求解曲率的最大值.【詳解】，，，，,所以曲線在點處的曲率為；上任一點處的，，，得（舍）或，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時，取得最小值，此時曲率取得最大值，最大值為.故；四、解答題（本大題共5小題，共77分）15.現有4個數學課外興趣小組，其中一、二、三、四組分別有3人、4人、5人、6人.（1）選1人為負責人，有多少種不同的選法？（2）每組選1名組長，有多少種不同的選法？（3）推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，有多少種不同的選法？【正確答案】（1）18（2）360（3）119【分析】（1）根據分類加法計數原理即可求解；（2）根據分步乘法計數原理即可求解；（3）根據分步乘法、分類加法計數原理即可求解；【小問1詳解】分四類：第一類，從一組中選1人，有3種方法；第二類，從二組中選1人，有4種方法；第三類，從三組中選1人，有5種方法；第四類，從四組中選1人，有6種方法.所以不同的選法共有種方法.【小問2詳解】分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四組中選1名組長，所以不同的選法共有種方法；【小問3詳解】分六類：第一類，從一、二組中各選1人，有種方法；第二類，從一、三組中各選1人，有種方法；第三類，從一、四組中各選1人，有種方法；第四類，從二、三組中各選1人，有種方法；第五類，從二、四組中各選1人，有種方法；第六類，從三、四組中各選1人，有種方法；所以不同的選法共有種方法.16.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，的面積為，求b，c的值．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）由正弦定理結合和差角的正弦公式化簡求解即可；（2）由面積公式可得，再根據余弦定理求解即可.【小問1詳解】由正弦定理及．得，即，即，因為，所以，所以，所以．【小問2詳解】由題意得的面積，所以①．又，且，所以②．由①②得．17.已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）討論的單調性；（3）若函數在上的最小值是，求的值.【正確答案】（1）極小值為，無極大值；（2）答案見解析；（3）【分析】（1）直接代入求導，令即可得到其極值；（2）求導得，再對分和討論即可；（3）求導得，再對分，和討論即可.【小問1詳解】當時，，，令，則，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，則的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，，若，則在上恒成立，所以在上單調遞增，當時，令，解得，令，解得，則其在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問3詳解】，，若，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，不滿足題意；若，令，解得，令，解得，所以函數在單調遞減，單調遞增，所以，解得，滿足題意；若，則在上恒成立，所以在上單調遞減，所以，解得，不滿足題意，綜上，.18.如圖，已知四邊形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面.（1）若是的中點，證明:；（2）求二面角的余弦；（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，點為的中點【分析】（1）根據面面垂直的性質，建立空間直角坐標系，根據向量的坐標運算即可求解，（2）求解平面法向量，根據法向量的夾角即可求解，（3）根據線面角的向量法，即可求解.【小問1詳解】連接，因為三角形是正三角形，且是的中點，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為四邊形是矩形，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，以為坐標原點，分別為軸，過平行于的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，可得，則，所以.小問2詳解】由（1）可得：，設平面的法向量，則，令，則，可得，設平面的法向量，則，令，則，可得，設二面角為，則，又二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【小問3詳解】由（1）可得，設，可得，由（2）可知：平面的法向量，則由，整理可得，解得或（舍去），即，可知存在點，點為的中點.19.已知函數.（1）當時，判斷函數的零點個數；（2）若在上恒成立，求的取值范圍；（3）設，若函數有兩個極值點、，求證.【正確答案】（1）個（2）（3）證明見解析【分析】（1）當時，分析函數的單調性，結合零點存在定理可得出結論；（2）直接驗證，分、兩種情況討論，結合分離參數法以及導數法求出實數的取值范圍；（3）求導，分析可知，函數在上有兩個不等的零點，利用二次方程根的分布求出的取值范圍，結合韋達定理可得出，其中，然后利用導數分析函數在上的單調性，即可證得結論成立.【小問1詳解】當時，，該函數的定義域為，，所以，函數在上為增函數，因為，，則，由零點存在定理可知，函數在區(qū)間內存在唯一零點，所以，函數在定義域內存在唯一零點.【小問2詳解】因為，當時，則，由可得，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，則；當時，則，