2024-2025學(xué)年廣東省江門(mén)市鶴山市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在數(shù)列中，，且，則（）A. B. C.2 D.1【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即數(shù)列為周期數(shù)列，然后求出即可.【詳解】；則;;數(shù)列為周期數(shù)列，周期為3.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)..故選：A.2.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則（）A. B. C. D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，所以.故選：A3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.12 B.16 C.20 D.22【正確答案】D【分析】由等差數(shù)列及前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解；【詳解】由，可得：，所以，又，故選：D4.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)得，由題意，故為等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得.【詳解】由得，又，故數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故，得，故，故選：C5.已知數(shù)列通項(xiàng)公式是（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義即可列不等式求解.【詳解】為單調(diào)遞增的數(shù)列，故，解得，故選：C6.已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】對(duì)于原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，分別取，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得，所以.故選：D.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.36 B.28 C.24 D.30【正確答案】D【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，又因?yàn)?，所以，所以，故選：D8.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題知過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最小.設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時(shí)點(diǎn)到直線距離.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法逐項(xiàng)判斷可得結(jié)果.【詳解】令，，因?yàn)?，，所以，故A正確；因?yàn)闉槌?shù)，所以，故B錯(cuò)誤；令，，因?yàn)?，，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列命題中正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.若，，則C.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則D.若，公比，則數(shù)列是遞增數(shù)列【正確答案】AD【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，利用等比數(shù)列的定義，即可求解；對(duì)于B，根據(jù)選項(xiàng)條件，直接求出，即可求解；對(duì)于B，利用，求接求出，再利用等比數(shù)列的性，即可求解，對(duì)于D，根據(jù)通項(xiàng)公式，結(jié)合選項(xiàng)條件及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉槌?shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，則，解得，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，令，得到，令，得到，所以，令，得到，所以，由題有，解得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，公比，所以?shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)D正確，故選：AD.11.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【正確答案】BCD【分析】根據(jù)遞推式可得、，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B；應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式判斷C；應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，則是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意得，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列，則

，故B正確；所以，故C正確；，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.物體位移s和時(shí)間t滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系，則當(dāng)時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為_(kāi)_____．【正確答案】80【分析】由瞬時(shí)變化速度計(jì)算公式可求當(dāng)時(shí)，物體的瞬時(shí)速度.【詳解】因?yàn)?所以該物體時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為.故8013.若數(shù)列滿(mǎn)足，，則_______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合累乘法即可求解.【詳解】由，得．所以，又滿(mǎn)足上式，所以．故答案為.14.已知,分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則________【正確答案】【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，又，所以，故答案為.四、解答題：本題5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為．（1）求函數(shù)的解析式;（2）若曲線在點(diǎn)P處的切線與直線垂直，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【正確答案】（1）（2）2【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再利用切線方程求出即可；（2）由兩直線垂直得到斜率關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)的意義求解即可；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，，在點(diǎn)處的切線為，解得，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則由題可知，即，所以P的橫坐標(biāo)為2．16.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的關(guān)系求的通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，所以.【小問(wèn)2詳解】由題知，所以，，兩式相減得所以17.數(shù)列中，（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）由裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的前項(xiàng)和為，然后證明即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，將以上各式相加，得，則，當(dāng)時(shí)也符合上式，故【小問(wèn)2詳解】由題意，.18.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的平均變化率；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.【正確答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）由平均變化率的公式即可求解；（2）依次求出的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程；（3）首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線方程．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以在區(qū)間上的平均變化率為．【小問(wèn)2詳解】由，有，從而，，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．小問(wèn)3詳解】易知直線與曲線不相切，故設(shè)切點(diǎn)為，則由，可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，，此時(shí)滿(mǎn)足題意的切線方程為，顯然它過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為，，此時(shí)滿(mǎn)足題意的切線方程為，即，顯然它過(guò)點(diǎn)，綜上所述，滿(mǎn)足題意的切線方程為或．19.在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求的通項(xiàng)公式.（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3