第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省長沙市望城區(qū)第一中學(xué)2025屆高三3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A=x?1≤x≤2,B=x∈Nx<2A.xx<2 B.0,1 C.?1,0,1 D.2.復(fù)數(shù)z1?i2022=1+i20252i2+i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)A.15 B.15i C.?3.如圖，在四面體A?BCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，點G是線段EF上靠近點E的一個三等分點，令A(yù)B=a,AC=b,A.13a+16b+164.已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a2+a4+a6A.3 B.2 C.1 D.?15.四色猜想又稱四色問題、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一.四色定理的內(nèi)容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對該地圖的五個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇(4種顏色不一定用完)，滿足四色定理的不同的涂色種數(shù)為

A.96 B.72 C.108 D.1446.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態(tài)．圖(1)形成對稱形態(tài)，圖(2)形成“右拖尾”形態(tài)，圖(3)形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖做出以下判斷，不正確的是(

)A.圖(1)的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B.圖(2)的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)

C.圖(2)的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù) D.圖(3)的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)7.已知函數(shù)y=sinx?fx+2是定義域為R的偶函數(shù)，且fx+1=f7?x，當(dāng)x∈0,2A.23 B.22 C.8.已知拋物線C:x2=2py(p>0)，O為原點，過拋物線C的焦點F作斜率為3的直線與拋物線交于點A，B，直線AO，BO分別交拋物線的準(zhǔn)線于點C，D，則ABA.2 B.3 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)fx=sin2x+A.fx的圖象關(guān)于直線x=π6對稱

B.fx的圖象關(guān)于點π3,0對稱

C.fx在?π310.已知a≠0,a,b∈R.設(shè)命題p：過點1,1恰可作一條關(guān)于y=ax3+bx的切線.以下為命題p的充分條件的有A.b+a=1 B.b?a=1 C.a=eb 11.若平面點集，滿足：任意點x,y∈M，存在正實數(shù)t，都有tx,ty∈M，則稱該點集為“t階集”，則下列說法正確的是(

)A.若M={x,y|y=2x}是“t階集”，則t=1

B.若M={x,y|y=2x}是“t階集”，則t為任意正實數(shù)

C.若M={x,y|x2≤4y}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在以O(shè)為中心，F(xiàn)1、F2為焦點的橢圓上存在一點M，滿足MF1=213.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)0.618就是黃金分割，這是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為a=2sin18°，若a2+b=4，則14.在?ABC中，AB=AC，點D在線段BC上，AB⊥AD，BD=3，CD=1，點M是?ABC外接圓上任意一點，則AB?AM最大值為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=x3?a(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．16.(本小題12分)已知：斜三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1⊥AC，AA1與面ABC所成角正切值為2，AA1(1)求證：AC⊥EB；(2)F為棱AA1上一點，且二面角A?BC?F為30°17.(本小題12分)在矩形ABCD中，點E在線段CD上，且AB=5,CE=3,∠AEB=π(1)求BC；(2)若動點M,N分別在線段EA,EB上，且?EMN與?EAB面積之比為2+1:4，試求18.(本小題12分)已知事件A,B滿足0<PA(1)若P(AB)P(B)+P(AB(2)PAB19.(本小題12分)設(shè)點A為雙曲線C:x2?y23=1的左頂點，直線l經(jīng)過點(?1,2)，與C(1)求直線AP,AQ的斜率之和;(2)設(shè)在射線AQ上的點R滿足∠APQ=∠ARP，求直線PR的斜率的最大值．

參考答案1.B

2.A

3.A

4.B

5.D

6.C

7.B

8.A

9.BCD

10.BD

11.ABC

12.613.?114.3+315.(1)由題設(shè)f′x=3xfx=x所以點1,f1處的切線方程為y=x?1，即x?y?1=0(2)由(1)f′x由f′x>0，有x<0或x>23，由故在區(qū)間?∞,0,23,+∞上所以fx的極小值為f2316.(1)證明：取線段AC的中點M，連接EM、BM，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，所以，AC//A1C因為E、M分別為A1C1、AC所以，EM//AA又因為AA1//BB1，則EM//B因為AB=BC，M為AC的中點，則BM⊥AC，因為EM∩BM=M，EM、BM?平面BEM，所以，AC⊥平面BEM，因為EB?平面BEM，所以，EB⊥AC．(2)解：由(1)可知，AC⊥平面EMBB過點E在平面BB1EM內(nèi)作EO⊥BM因為AC⊥平面BB1EM，EO?平面B又因為EO⊥BM，BM∩AC=M，BM、AC?平面ABC，則EO⊥平面ABC，所以，直線AA1與平面ABC所成的角為所以，tan∠EMO=EOOM因為EM=EO2+O因為AB=BC=22AC=2所以，AB2+B因為M為AC的中點，所以，MB=1以點O為坐標(biāo)原點，Ox、OB、OE的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,?1,0、B0,1,0、M0,?1,0、CME=0,1,2，則即點A12,0,2，同理可得點B1設(shè)AF=λAA則CF=CA+設(shè)平面BCF的法向量為m=則m?CB=2x+2y=0m?CF=4x+λy+2λz=0所以，平面BCF的一個法向量為m=易知平面ABC的一個法向量為n=因為二面角A?BC?F為30則cosm,n因為0≤λ≤1，解得λ=8617.(1)過E作EH⊥AB于H，設(shè)BC=m，易知AH則tan∠AEH=2m整理得到m2?5m?6=0，解得m=6或m=?1(舍)，所以(2)由(1)易知AE=36+4=2又S?EMN得到ab=152+22所以MN≥15，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，故MN18.(1)因為AB∪AB=B,AB∩AB=?，所以由PABPB+P而PA由PA=1?PA=1?PAB(2)一方面，PAB又因為AB?B另一方面，P=PAB綜上所述，有PAB19.(1)由題知A(?1,0)．由于平移不改變斜率，作平移變換x′=x+1y′=y則A點的坐標(biāo)變?yōu)锳(0,0)，點(?1,2)的坐標(biāo)變?yōu)?0,2)雙曲線C方程變?yōu)閤′?1設(shè)點x′,y′與A點連線的斜率為k，則k=y①式兩邊同除以x′2，得1?2由題知，直線PQ不過點A(0,0)，所以設(shè)直線PQ:m因為直線PQ過點P(0,2)，所以2n=1，